最后更新: 2025-11-22 10:29 查看: 150 次纠错评论(0) 课件开VIP

σ代数

## σ代数
**定义2.3** 设 $X$ 是一集合，$\Gamma \subset P (X)$ ，即 $\Gamma$ 是由 $X$ 的部分子集构成的集合．称 $\Gamma$ 是 $X$ 的一个 $\sigma$ 代数，如果
（i）$\varnothing \in \Gamma$ ；
（ii）若 $A \in \Gamma$ ，则 $A^c \in \Gamma$ ；
（iii）若 $A_i \in \Gamma(i=1,2, \cdots)$ ，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \Gamma$ ．从前面的讨论知， $R ^n$ 的全体可测集，构成 $R ^n$ 的一个 $\sigma$ 代数，即 $A$ 是 $R ^n$ 的 $\sigma$ 代数．

可测集列 $\left\{E_k\right\}$ 的上极限和下极限都是可测集经可数次并或交运算的结果，因而是可测的，但是一般地没有

$$
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right) \text { 或 } m\left(\varlimsup_{k \rightarrow \infty} E_k\right)=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right) .
$$

下面讲一种很有用的特殊情况．

### 渐张可测集列与渐缩可测集列
**定理 2.3** （i）渐张可测集列 $\left\{E_k \mid E_k \subset E_{k+1}, \forall k \in N\right\}$ 的极限集 $\lim _{k \rightarrow \infty} E_k=$ $\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$ 可测，并且

$$
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k^*\right)
$$

（ii）渐缩可测集列 $\left\{E_k \mid E_{k+1} \subset E_k, \forall k \in N \right\}$ 的极限集 $\lim _{k \rightarrow \infty} E_k=\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k$ 可测，若还有某个 $E_N$ 的测度有限（ $N$ 是某个正整数），则

$$
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)
$$

证明（i）因为这时 $\lim _{k \rightarrow \infty} E_k$ 是可测集的可数并，所以是可测的，下面证明求测度和求极限可以交换次序．不妨设所有 $m\left(E_k\right)<\infty$（否则会有 $m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=$ $\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)=\infty$ ，定理自然成立），令 $F_k=E_k \backslash E_{k-1}$ 及 $E_0=\varnothing$ ，则 $\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k$ ，而所有 $F_k$ 互不相交，并且每个 $F_k$ 有

$$
m\left(F_k\right)=m\left(E_k\right)-m\left(E_{k-1}\right)
$$

因此

$$
\begin{aligned}
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right) & =m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right)=m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\right)=\sum_{k=1}^{\infty} m\left(F_k\right) \\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\left(m\left(E_k\right)-m\left(E_{k-1}\right)\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right) .
\end{aligned}
$$

（ii）这时 $\lim _{k \rightarrow \infty} E_k$ 是可测集的可数交，所以是可测的．若有 $N$ 使 $m\left(E_N\right)<$ $\infty$ ，则

$$
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leqslant m\left(E_N\right)<\infty .
$$

令 $F_k=E_N \backslash E_k\left(k \in N _{+}\right)$，注意 $k>N$ 时 $E_k \subset E_N$ ，我们用两种方法来计算 $m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\right):$ 一方面，

$$
m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\right)=m\left(E_N \backslash \bigcap_{k=1}^{\infty} E_k\right)=m\left(E_N\right)-m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right) ;
$$

另一方面，由于 $\left\{F_k\right\}$ 渐张，

$$
m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(F_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(m\left(E_N\right)-m\left(E_k\right)\right)=m\left(E_N\right)-\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)
$$

于是，

$$
m\left(E_N\right)-m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=m\left(E_N\right)-\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)
$$

从这个等式两边同时减去有限数 $m\left(E_N\right)$ 即得所需结论．
对于上面定理所说的 $\left\{E_k\right\}$ 渐缩的情况，要注意＂有某个 $N$ 使测度 $m\left(E_N\right)<$ $\infty$＂这个附加条件，没有它不能保证 $m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)$ ．

例如设 $E_k=(k,+\infty) \subset R ^1(k=1,2, \cdots)$ ，则 $\left\{E_k\right\}$ 是渐缩的，但是所有 $m\left(E_k\right)=\infty$ ，而 $m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=m\{\varnothing\}=0$ ，因此 $m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right) \neq \infty=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)$ ．

## 回忆：数学分析里的逼近

**分划和逼近**
在实变函数里，通常进行分划和逼近？当我们要逼近无穷的时候，就 $\leq 1, \leq 2, \cdots, \leq n, \cdots$ 就可以了。当我们要逼近0的时候，就考虑 $\geq 1, \geq \frac{1}{2}, \cdots, \geq \frac{1}{n}, \cdots$ 就可以了。 
同理，可推知，我们要逼近 $R ^n$ 中一个开集的话，一方面可以用同心球的方式覆盖，但是显然，长方体（box）也是一个不错的选择。我们已经体会过数分中被高维不规则图形支配的恐惧，那如果一个集合能写成 $\left[a_1, b_1\right] \times \cdots\left[a_n, b_n\right]$ 的形式，实分析告诉你，那就这么逼。

当我们要逼近一个可积函数的时候，我们可以考虑拿函数的值去对从而把定义域划分成一层一层的东西，比如说对于正值函数来说，$I=\bigcup_{n \geq 1} A_n^1:=\bigcup_{n \geq 1}\{x: n-1 \leq f(x) \leq n\}$ 是一个多么显然的分划啊。那么再细一点，能不能考虑

$$
I=\bigcup_{n \geq 1} A_n^2:=\left\{x: 0 \leq f(x) \leq \frac{1}{2}\right\} \bigcup\left\{x: \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 1\right\} \bigcup \cdots
$$

当然可以了。最后越画越细越画越细，那么

$$
\begin{aligned}
& \sum_{i \geq 0} i A_i^1=0 A_0^1+1 A_1^1+\cdots \\
& \sum_{j \geq 0} \frac{j}{2} A_j^2=0 A_0^2+\frac{1}{2} A_1^2+\cdots
\end{aligned}
$$

等等是不是就是一个自然的对可积函数的逼近。？实分析告诉你，我们就可以用这种简单函数去逼近一个可积函数了。

**两个有用的分划。**
－我们不妨假定一个函数总是非负的，为啥？因为一个函数总可以写成 $f=f^{+}-f^{-}$。其中前者的定义域是 $\{x: f(x) \geq 0\}$ ，后者同理。
－我们总希望在一个区间里面函数总要尽可能好，啥是好呢，比如这样，假设我们是个太阳，我们能看到的是什么呢？

![图片](/uploads/2025-03/61f7a9.jpg)

从东面看，每个极大值都能对应一个区间的右端点，在这个区间里面的函数值都小于极大值，除了左右端点，而且上去之后不许下来。Lebesgue微分定理就是这种思想。

## 理解：代数
通常来说

（i）$\varnothing \in \Gamma$ ；
（ii）若 $A \in \Gamma$ ，则 $A^c \in \Gamma$ ；
（iii）若 $A_i \in \Gamma(i=1,2, \cdots)$ ，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \Gamma$ ．

表示了3个意思： 考虑一个数集， 
（i）可以看做0属于代数系统。
（ii）如果a在数集里，那么a的补也在数集里
（iii）集合里元素的运算仍在数集里，
满足上面的条件则构成了一个代数。

理解：σ代数

### 一句话概括

**σ代数是一个集合族（即“集合的集合”），它规定了我们能够“测量”哪些集合。** 它是定义“测度”（比如长度、面积、体积的推广）的基础。

---

### 为什么需要σ代数？

让我们从一个简单的问题开始：我们如何测量一个区间的长度？比如区间 `[0, 1]`，它的长度显然是1。这很简单。

但现在考虑一个更复杂的问题：**如何测量一个不规则集合的“长度”？** 比如，所有有理数构成的集合 `Q`，它在 `[0, 1]` 区间内的“长度”是多少？

1.  有理数是密密麻麻地分布在数轴上的，但它又是可数的（可以一个一个列出来）。
2.  每个单独的有理数点，它的长度是0。
3.  如果把可数个长度为0的点加起来，总和应该是0。

所以，我们“感觉” `Q ∩ [0, 1]` 这个集合的“长度”应该是0。但是，如果我们想测量 *所有* 的集合，就会遇到很多数学上的麻烦和悖论（比如著名的维塔利悖论）。这告诉我们，**不可能对实数轴上的所有子集都定义一个满足我们直观要求的“长度”（即测度）**。

因此，我们需要退一步：**我们不追求测量所有集合，只测量“足够好”的集合**。这些“足够好”的、可以被测量的集合，所构成的家族，就是 **σ代数**。

---

### σ代数的正式定义

设 `X` 是一个全集（比如实数轴 `R`），一个 **σ代数** `Σ` 是 `X` 的一些子集构成的集合族（即 `Σ` 里面的元素都是 `X` 的子集），它必须满足以下三个条件：

1.  **包含全集：** 全集 `X` 本身必须在 `Σ` 中。
    *   *直观理解：* 如果我们要测量整个空间的“大小”（比如整个数轴的长度），这个操作必须是合法的。

2.  **对补集封闭：** 如果集合 `A` 在 `Σ` 中，那么它的补集 `Aᶜ = X \ A` 也必须在 `Σ` 中。
    *   *直观理解：* 如果你能测量一个集合的大小，你也应该能测量“不在这个集合里”的部分的大小。

3.  **对可数并封闭：** 如果有一系列（可数多个）集合 `A₁, A₂, A₃, ...` 都在 `Σ` 中，那么它们的并集 `∪ₙ Aₙ` 也必须在 `Σ` 中。
    *   *直观理解：* 这是最关键的一条，也是前缀 **σ** 的由来（σ 代表可数）。如果你能测量每一个小部分的大小，那么你应该也能测量把它们全部拼在一起后形成的整体的大小。注意，是“可数多个”集合，而不是任意多个。

**由第1和第2条可以推出，空集 `∅` 也在 σ代数中。**（因为 `∅` 是 `X` 的补集）。

---

### 实例说明

**例子1：最简单的σ代数**
对于任意集合 `X`，最平凡的σ代数是 `{∅, X}`。它只包含空集和全集。它满足所有定义，但没什么用。

**例子2：最大的σ代数**
`X` 的全体子集构成的集合族（称为幂集）也是一个σ代数。但当 `X` 是实数轴时，这个σ代数太大了，会导致我们无法建立一套好的测度理论。

**例子3：最重要的例子——博雷尔σ代数**
这是在实变函数和概率论中最重要的σ代数。

*   **全集：** 实数轴 `R`。
*   **起点：** 我们从所有开区间 `(a, b)` 开始。这些区间我们有直观的“长度”概念。
*   **生成：** 博雷尔σ代数 `B(R)` 是**包含所有开区间的最小的那个σ代数**。
    *   “最小”是指没有多余的集合，只包含那些通过开区间进行“可数次交、并、补”运算能得到的集合。
*   **里面有什么？** 它包含了你能想到的几乎所有“正常”集合：
    *   所有开区间 `(a, b)`，闭区间 `[a, b]`，半开半闭区间。
    *   所有开集，闭集。
    *   可数集（如有理数集、整数集）。
    *   等等。
*   **里面没有什么？** 它不包含那些非常怪异、无法构造的集合（如维塔利集）。这些“不可测集”对我们来说就像是数学上的“怪物”，在常规分析和应用中几乎不会遇到。

所以，**博雷尔σ代数就是实数轴上“可以被测量”的常规集合的大家庭**。

---

### σ代数在实变函数中的角色

在实变函数中，σ代数的核心作用有两个：

1.  **定义测度的舞台：**
    我们所说的“测度”（比如勒贝格测度，是长度的推广）永远都是在一个σ代数上定义的。一个测度函数 `μ` 的输入就是σ代数 `Σ` 里的集合，输出是这个集合的“大小”。
    *   公式：`μ： Σ → [0, ∞]`

2.  **定义可测函数：**
    实变函数研究的主角是“可测函数”。一个函数 `f： R → R` 是可测的，当且仅当对于实数轴上任何博雷尔集 `B`，它的原像 `f⁻¹(B)` 仍然是可测的（即在某个σ代数中）。
    *   直观理解：可测函数就是把可测集映射为可测集的函数。连续函数是可测的，我们遇到的大部分函数都是可测的。可测函数是进行勒贝格积分的前提。

### 总结

你可以把σ代数理解为一套 **“可测量集合的规章制度”**：

*   **目的：** 为了避免数学矛盾，明确划定哪些集合是“合法”的、可以被赋予“大小”的。
*   **规则：** 整个空间是合法的；一个集合合法，它的补集也合法；可数个合法集合拼在一起也合法。
*   **在实变函数中的应用：**
    *   在σ代数上才能定义“测度”（长度、面积等的推广）。
    *   基于σ代数才能定义“可测函数”，而可测函数是勒贝格积分理论的研究对象。

希望这个解释能帮助你理解这个核心概念！

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