最后更新: 2025-01-21 09:09 ● 参与者查看: 20 次纠错分享参与项目词条搜索

σ代数

定义2．3 设 $X$ 是一集合，$\Gamma \subset P (X)$ ，即 $\Gamma$ 是由 $X$ 的部分子集构成的集合．称 $\Gamma$ 是 $X$ 的一个 $\sigma$ 代数，如果
（i）$\varnothing \in \Gamma$ ；
（ii）若 $A \in \Gamma$ ，则 $A^c \in \Gamma$ ；
（iii）若 $A_i \in \Gamma(i=1,2, \cdots)$ ，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \Gamma$ ．从前面的讨论知， $R ^n$ 的全体可测集，构成 $R ^n$ 的一个 $\sigma$ 代数，即 $A$ 是 $R ^n$ 的 $\sigma$ 代数．

可测集列 $\left\{E_k\right\}$ 的上极限和下极限都是可测集经可数次并或交运算的结果，因而是可测的，但是一般地没有

$$
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} m\left(E_k\right) \text { 或 } m\left(\varlimsup_{k \rightarrow \infty} E_k\right)=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right) .
$$

下面讲一种很有用的特殊情况．
定理 2.3 （i）渐张可测集列 $\left\{E_k \mid E_k \subset E_{k+1}, \forall k \in N\right\}$ 的极限集 $\lim _{k \rightarrow \infty} E_k=$ $\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$ 可测，并且

$$
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k^*\right)
$$

（ii）渐缩可测集列 $\left\{E_k \mid E_{k+1} \subset E_k, \forall k \in N \right\}$ 的极限集 $\lim _{k \rightarrow \infty} E_k=\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k$ 可测，若还有某个 $E_N$ 的测度有限（ $N$ 是某个正整数），则

$$
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)
$$

证明（i）因为这时 $\lim _{k \rightarrow \infty} E_k$ 是可测集的可数并，所以是可测的，下面证明求测度和求极限可以交换次序．不妨设所有 $m\left(E_k\right)<\infty$（否则会有 $m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=$ $\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)=\infty$ ，定理自然成立），令 $F_k=E_k \backslash E_{k-1}$ 及 $E_0=\varnothing$ ，则 $\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k$ ，而所有 $F_k$ 互不相交，并且每个 $F_k$ 有

$$
m\left(F_k\right)=m\left(E_k\right)-m\left(E_{k-1}\right)
$$

因此

$$
\begin{aligned}
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right) & =m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right)=m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\right)=\sum_{k=1}^{\infty} m\left(F_k\right) \\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\left(m\left(E_k\right)-m\left(E_{k-1}\right)\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right) .
\end{aligned}
$$

（ii）这时 $\lim _{k \rightarrow \infty} E_k$ 是可测集的可数交，所以是可测的．若有 $N$ 使 $m\left(E_N\right)<$ $\infty$ ，则

$$
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leqslant m\left(E_N\right)<\infty .
$$

令 $F_k=E_N \backslash E_k\left(k \in N _{+}\right)$，注意 $k>N$ 时 $E_k \subset E_N$ ，我们用两种方法来计算 $m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\right):$ 一方面，

$$
m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\right)=m\left(E_N \backslash \bigcap_{k=1}^{\infty} E_k\right)=m\left(E_N\right)-m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right) ;
$$

另一方面，由于 $\left\{F_k\right\}$ 渐张，

$$
m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(F_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(m\left(E_N\right)-m\left(E_k\right)\right)=m\left(E_N\right)-\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)
$$

于是，

$$
m\left(E_N\right)-m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=m\left(E_N\right)-\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)
$$

从这个等式两边同时减去有限数 $m\left(E_N\right)$ 即得所需结论．
对于上面定理所说的 $\left\{E_k\right\}$ 渐缩的情况，要注意＂有某个 $N$ 使测度 $m\left(E_N\right)<$ $\infty$＂这个附加条件，没有它不能保证 $m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)$ ．

例如设 $E_k=(k,+\infty) \subset R ^1(k=1,2, \cdots)$ ，则 $\left\{E_k\right\}$ 是渐缩的，但是所有 $m\left(E_k\right)=\infty$ ，而 $m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right)=m\{\varnothing\}=0$ ，因此 $m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_k\right) \neq \infty=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_k\right)$ ．

上一篇：测度的完全可加性

下一篇：可测集的特征

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)