最后更新: 2025-11-22 10:33 查看: 103 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

可测集的特征

## 可测集的特征
上一节说明，可测集有许多良好的性质．但是除了零测集及其余集之外，我们还不知道究竟哪些点集可测？它们有多少？除了定义以外，能否再给出可测集的一些简单特征？为了深人理解测度和可测集，很有必要弄清这些问题．

**定理2.4** 任意（开，闭或半开半闭）矩体 $I$ 是可测集，并且 $m(I)=|I|$ ．
证明 根据可测集后面的简单说明，只需要证明，对于任意开矩体 $J$ 有

$$
|J| \geqslant m^*(J \cap I)+m^*(J \cap I) .
$$

很明显，其中的 $J \cap I$ 仍为矩体（记为 $J_0$ ），而 $J \cap I^c$ 可分解为有限个互不相交的
 ![图片](/uploads/2025-01/412ebb.jpg)
 
 矩体 $J_1, J_2, \cdots, J_N$ 的并（只要延长与 $I$ 相交的 $J$ 的各边即可做到，平面的情形如图2．4）．因此 $J=\bigcup_{k=0}^N J_k$ ，并且由于体积有可加性，

$$
\begin{gathered}
m^*(J \cap I)+m^*\left(J \cap I^c\right) \leqslant \sum_{k=0}^N m^* J_k \\
=\sum_{k=0}^N\left|J_k\right|=|J|
\end{gathered}
$$

因此 $I$ 可测．再由例 $3, m(I)=m^*(I)=|I|$ ．
推论 任意开集和闭集都是可测集。

证明 因为开集是可数个半开矩体的并集，所以开集可测．又由于闭集是开集的余集，因此闭集可测。 $\square$
下面介绍一类重要的点集．
定义2．4 对任何确定的 $n, R ^n$ 中可以表示为可数个开集的交的点集称为 $G_\delta$ 型集；可以表示为可数个闭集的并的点集称为 $F_\sigma$ 型集．一般地，可以用开集或闭集的可数次交与并运算表示的点集称为博雷尔（Borel）集．所有 Borel 集组成的集合称为 Borel 集类。

由 De Morgan 法则可知，$G_\delta$ 型集的余集是 $F_\sigma$ 型集；$F_\sigma$ 型集的余集是 $G_\delta$ 型集；任意 Borel 集的余集仍为 Borel 集。

Borel 集包括所有的开集和闭集，因而很多是常见的．特殊一些的，例如，由 $R ^n$ 中的一点 $x$ 组成的单点集，因为可以表示成 $\{x\}=\bigcap_{k=1}^{\infty} B\left(x, \frac{1}{k}\right)$ ，所以是 $G_\delta$型集（它本身是闭集，也是 $F_\sigma$ 型集），从而可数点集（特别是有理点集），无理点集（有理点集的余集），Cantor 集，空集 $\varnothing$ 以及全空间 $R ^n$ 都是 Borel 集．

由于可测集的可数并，可数交及其余集仍然可

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