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可测集的特征

## 可测集的特征
上一节说明，可测集有许多良好的性质．但是除了零测集及其余集之外，我们还不知道究竟哪些点集可测？它们有多少？除了定义以外，能否再给出可测集的一些简单特征？为了深人理解测度和可测集，很有必要弄清这些问题．

**定理2.4** 任意（开，闭或半开半闭）矩体 $I$ 是可测集，并且 $m(I)=|I|$ ．
证明 根据可测集后面的简单说明，只需要证明，对于任意开矩体 $J$ 有

$$
|J| \geqslant m^*(J \cap I)+m^*(J \cap I) .
$$

很明显，其中的 $J \cap I$ 仍为矩体（记为 $J_0$ ），而 $J \cap I^c$ 可分解为有限个互不相交的
 ![图片](/uploads/2025-01/412ebb.jpg)
 
 矩体 $J_1, J_2, \cdots, J_N$ 的并（只要延长与 $I$ 相交的 $J$ 的各边即可做到，平面的情形如图2．4）．因此 $J=\bigcup_{k=0}^N J_k$ ，并且由于体积有可加性，

$$
\begin{gathered}
m^*(J \cap I)+m^*\left(J \cap I^c\right) \leqslant \sum_{k=0}^N m^* J_k \\
=\sum_{k=0}^N\left|J_k\right|=|J|
\end{gathered}
$$

因此 $I$ 可测．再由例 $3, m(I)=m^*(I)=|I|$ ．
推论 任意开集和闭集都是可测集。

证明 因为开集是可数个半开矩体的并集，所以开集可测．又由于闭集是开集的余集，因此闭集可测。 $\square$
下面介绍一类重要的点集．
定义2．4 对任何确定的 $n, R ^n$ 中可以表示为可数个开集的交的点集称为 $G_\delta$ 型集；可以表示为可数个闭集的并的点集称为 $F_\sigma$ 型集．一般地，可以用开集或闭集的可数次交与并运算表示的点集称为博雷尔（Borel）集．所有 Borel 集组成的集合称为 Borel 集类。

由 De Morgan 法则可知，$G_\delta$ 型集的余集是 $F_\sigma$ 型集；$F_\sigma$ 型集的余集是 $G_\delta$ 型集；任意 Borel 集的余集仍为 Borel 集。

Borel 集包括所有的开集和闭集，因而很多是常见的．特殊一些的，例如，由 $R ^n$ 中的一点 $x$ 组成的单点集，因为可以表示成 $\{x\}=\bigcap_{k=1}^{\infty} B\left(x, \frac{1}{k}\right)$ ，所以是 $G_\delta$型集（它本身是闭集，也是 $F_\sigma$ 型集），从而可数点集（特别是有理点集），无理点集（有理点集的余集），Cantor 集，空集 $\varnothing$ 以及全空间 $R ^n$ 都是 Borel 集．

由于可测集的可数并，可数交及其余集仍然可测，因而容易得到下面的结论．

定理 $2.5 G_\delta$ 型集，$F_\sigma$ 型集，以至一般的 Borel 集，都是可测集．
Borel 集都是可测的，又 Borel 集类对集合的可数并与可数交运算封闭，所以 Borel 集类是 $\sigma$ 代数，并且是可测集类这个 $\sigma$ 代数的 $\sigma$ 子代数．那么，Borel 集类和可测集类这两个 $\sigma$ 代数是否完全相重了？ $R ^n$ 中还有没有不是 Borel 集的可测集？下面从比较这两个集合类的基数来回答这个问题．以 $n=1$ 的情形为例，直线上的 Borel 集可以由端点是有理数的开区间通过可数次的交，并以及取余的运算来得到，从而它可以与有理数序列对应．因此（参看第一章的习题 25 ）， Borel 集类的基数为 $N$（连续统基数，在 $n \geqslant 2$ 的 $R ^n$ 中也一样）；而 $R ^n$ 中可测集类的基数不超过 $R ^n$ 的幂集的基数（即 $2^{ x }$ ），又不小于 Cantor 集 $C$ 的幂集（其元素全是一些零测集）的基数，而后者的基数也是 $2^\kappa$（因 $\overline{\bar{C}}=\kappa$ ）。所以可测集类的基数是 $2^x$ ，比 Borel 集类的基数大，从而肯定存在非 Borel 集的可测集．那么， Borel 集与一般的可测集有什么关系？请看下面的定理．

定理 2.6 若 $E \subset R ^n$ 可测，则
（i）对任意正数 $\varepsilon$ ，存在开集 $G$ ，使得 $G \supset E$ 且 $m(G \backslash E)<\varepsilon$ ；
（ii）对任意正数 $\varepsilon$ ，存在闭集 $F$ ，使得 $F \subset E$ 且 $m(E \backslash F)<\varepsilon$ ．
证明（i）若 $E$ 可测，令

$$
\begin{gathered}
B_k=\left\{x\left|x \in R ^n, k-1 \leqslant|x|<k\right\}, k=1,2, \cdots,\right. \\
E_k=E \cap B_k
\end{gathered}
$$

则所有 $E_k$ 是互不相交的可测集，$m\left(E_k\right)<\infty, E=\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$ 且 $m(E)=$ $\sum_{k=1}^{\infty} m\left(E_k\right)$ ，因此对任意 $k$ ，存在 $E_k$ 的 $L$ 覆盖 $\left\{I_{k l} \mid l=1,2, \cdots\right\}$ 使得

$$
\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_{k l}\right|<m\left(E_k\right)+\frac{\varepsilon}{2^k} .
$$

令 $G_k=\bigcup_{i=1}^{\infty} I_{k l}$ ，则有 $G_k \supset E_k$ 且

$$
m\left(G_k \backslash E_k\right)=m\left(G_k\right)-m\left(E_k\right) \leqslant \sum_{i=1}^{\infty}\left|I_{k k}\right|-m\left(E_k\right)<\frac{\varepsilon}{2^k} .
$$

再令 $G=\bigcup_{k=1}^{\infty} G_k$ ，则 $G$ 为开集且有 $G \supset E$ 以及

$$
\begin{aligned}
m(G \backslash E) & =m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} G_k \backslash \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leqslant m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(G_k \backslash E_k\right)\right) \\
& \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} m\left(G_k \backslash E_k\right)<\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^k}=\varepsilon
\end{aligned}
$$

（ii）由前面的结论出发，应用开集和闭集的对偶性（开集和闭集互为余集）即可得证．具体来说，对于可测集 $E^c$ ，由刚才证的（i），存在开集 $G$ 使 $G \supset E^c$ 且 $m$ $\left(G \backslash E^c\right)<\varepsilon$ ．令 $F=G^c$ ，则 $F$ 为闭集，且有 $F \subset E$ 和 $E \backslash F=G \backslash E^c$ ，故 $m(E \backslash F)=$ $m\left(G \backslash E^c\right)<\varepsilon$.

## 通俗解释

可测集的特征可以用生活中的“规则蛋糕”来通俗解释：

### 一、核心特征
1. **“切割无死角”**  
   可测集就像用**标准刀法**切蛋糕，无论怎么切（包括无限切），每块蛋糕（子集）和剩下的蛋糕渣（补集）都能被精准测量。数学上表现为：对任意集合T，蛋糕总量等于切块和蛋糕渣的量之和。

2. **“组合自由”**  
   • **补集可测**：切掉的蛋糕渣（补集）也是可测的，就像切掉一块后剩下的部分还能用同样方法测量。  
   • **并集/交集可测**：多块蛋糕（可测集）拼在一起或重叠部分，总量仍能精准计算。例如，两块蛋糕的并集测度等于各自测度之和。

3. **“无限切割不混乱”**  
   即使把蛋糕切成无限薄片（无限个不重叠块），只要每块不重叠，总测度仍等于整块蛋糕的体积。这是普通“有限切割规则”无法做到的。

### 二、特殊成员
1. **零测集：忽略不计的“蛋糕渣”**  
   如有理数集（无限但稀疏），虽然存在但测度为0，相当于切蛋糕时掉落的碎屑，不影响整体体积计算。

2. **常见可测集**  
   包括规则形状（矩形、圆形）、开区间、闭区间等，这些集合的测度直接对应几何长度或面积。

### 三、为什么需要可测集？
1. **支撑积分理论**  
   让不连续函数（如狄利克雷函数）的积分得以定义，就像用可测集的规则切割方法计算复杂形状的面积。

2. **刻画“几乎处处”**  
   通过零测集的概念，数学上能严谨描述“几乎所有位置都满足某性质”，例如函数在几乎所有点连续。

总结：可测集是数学中能被“精准测量”的集合，其规则性让复杂问题（如无限分割、不连续函数）得以量化分析，是概率统计和实变函数的理论基石。

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