最后更新: 2025-11-28 08:23 查看: 189 次纠错评论(0) 课件开VIP

Lebesgue 积分与 Riemann 积分的比较

## Lebesgue 积分与 Riemann 积分的比较
这一节讨论 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系，同时给出有界函数 Riemann 可积的一个简明特征．为了叙述简便，限于一元函数．

数学分析中曾利用达布（Darboux）的上和与下和的概念给出过有界函数 Riemann可积的充分必要条件（以后简称＂Riemann 可积＂为＂$R$ 可积＂，相应的积分用积分号前加（ $R$ ）表示），为了后面应用的方便，在这里重述如下：

设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上定义且有界．对于 $[a, b]$ 的分法

$$
D: a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,
$$

令 $M_i$ 与 $m_i$ 分别表示 $f$ 在小区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right](i=1, \cdots, n)$ 的上确界与下确界，记

$$
S_D=\sum_{i=1}^n M_i\left(x_i-x_{i-1}\right), \quad s_D=\sum_{i=1}^n m_i\left(x_i-x_{i-1}\right),
$$

分别称为 $f$ 关于分法 $D$ 的上和与下和，则有
$1^{\circ}$ Darboux 定理：对于任意一列愈来愈细的分法 $\left\{D_k\right\}$（即对于所有 $k, D_k$的分点都是 $D_{k+1}$ 的分点，并且若记 $D_k$ 的分点为 $\left\{x_i^{(k)} \mid i=1,2, \cdots, n_k\right\}$ ，则 $\left\|D_k\right\|$ $\left.=\max _{1 \leqslant i \leqslant n_k}\left(x_i^{(k)}-x_{i-1}^{(k)}\right) \rightarrow 0\right)$ ，相应的上和序列 $\left\{S_{D_k}\right\}$ 与下和序列 $\left\{s_{D_k}\right\}$ 分别是递减与递增的，并且极限 $\lim _{k \rightarrow \infty} S_{D_k}$ 与 $\lim _{k \rightarrow \infty} s_{D_k}$ 都存在，而分别等于全体上和的下确界 $(f$ 在 $[a, b]$ 的上积分）与全体下和的上确界（ $f$ 在 $[a, b]$ 的下积分）．
$2^{\circ} f$ 在 $[a, b]$ 上 $(R)$ 可积的充分必要条件是，对于一列愈来愈细的分法 $\left\{D_k\right\}, \lim _{k \rightarrow \infty} S_{D_k}=\lim _{k \rightarrow \infty} s_{D_k}$ ．当 $f$ 在 $[a, b]$ 上 $(R)$ 可积时，这个极限等于 （R） $\int_a^b f(x) d x$ ．

**定理 4.17** 若函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上 $(R)$ 可积，则 $f \in L(a, b)$ ，并且

$$
(R) \int_a^b f(x) d x=(L) \int_a^b f(x) d x
$$

证明 这时 $f$ 必有界，可设 $0 \leqslant m \leqslant f(x) \leqslant M$（即 $f$ 非负，否则代替 $f$ 考虑函数 $g(x)=f(x)-m$ ，则 $g$ 非负，且可积性与 $f$ 相同）．设 $\left\{D_k\right\}$ 是 $[a, b]$ 的一列愈来愈细的分法，则函数 $f$ 相应于 $D_k$ 的上和 $S_{D_k}$ 与下和 $s_{D_k}$ 分别是

$$
S_{D_k}=\sum_{i=1}^{n_k} M_i^{(k)}\left(x_i^{(k)}-x_{i-1}^{(k)}\right), \quad s_{D_k}=\sum_{i=1}^{n_k} m_i^{(k)}\left(x_i^{(k)}-x_{i-1}^{(k)}\right),
$$

其中

$$
\begin{aligned}
& M_i^{(k)}=\sup \left\{f(x) \mid x \in\left[x_{i-1}^{(k)}, x_i^{(k)}\right)\right\}, \\
& \left.m_i^{(k)}=\inf |f(x)| x \in\left[x_{i-1}^{(k)}, x_i^{(k)}\right)\right\}, \\
& i=1,2, \cdots, n_k .
\end{aligned}
$$

对每个 $k$ ，我们定义函数 $g_k$ 与 $h_k$ 如下：

$$
g_k(x)=\sum_{i=1}^{n_k} M_i^{(k)} \chi_{\left.\left[x_i^{(k)}\right], x_i^{(k)}\right)}, \quad h_k(x)=\sum_{i=1}^{n_k} m_i^{(k)} \chi_{\left[x_{[k}(\underline{1}) x_i^{(k)}\right]},
$$

另外，$g_k(b)=h_k(b)=f(b)$ ，则 $g_k$ 与 $h_k$ 都是非负简单函数（实际上都是阶梯函数），它们在 $[a, b]$ 上的 Lebesgue 积分就是 $S_{D_k}$ 与 $s_{D_k}$ ．由于 $f$ 在 $[a, b]$ 上 $(R)$ 可积，因此

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} S_{D_k}=\lim _{k \rightarrow \infty} s_{D_k}=(R) \int_a^b f(x) d x
$$

于是我们得到

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}(L) \int_a^b g_k(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty}(L) \int_a^b h_k(x) d x=(R) \int_a^b f(x) d x
$$

但是容易看出，$\left\{g_k\right\}$ 对 $k$ 是递减的，可设极限 $\lim _{k \rightarrow \infty} g_k(x)=g(x) \geqslant 0$ ，从而 $\{M-$ $g_k \mid$ 对 $k$ 递增，其极限 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left(M-g_k(x)\right)=M-g(x)$ 是 $[a, b]$ 上的非负可测函数，按

Lebesgue 积分的定义应有
（L） $\int_a^b(M-g(x)) d x=\lim _{k \rightarrow \infty}(L) \int_a^b\left(M-g_k(x)\right) d x$.
在这个式子的两端消去 $M(b-a)$ ，结合前面得到的式子就得到
$(R) \int_a^b f(x) d x=(L) \int_a^b g(x) d x$.
同理，由于 $\left\{h_k\right\}$ 对 $k$ 递增，设 $h(x)=\lim _{k \rightarrow \infty} h_k(x)$ ，则
（R） $\int_a^b f(x) d x=(L) \int_a^b h(x) d x$.
注意到，

$$
h_k(x) \leqslant f(x) \leqslant g_k(x), \quad(x \in[a, b], k=1,2, \cdots),
$$

取极限后知，$h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)$ ，但是，

$$
(L) \int_a^b g(x) d x=(L) \int_a^b h(x) d x \text {, }
$$

也就是说，非负函数 $g-h$ 的积分 $\int_a^b(g(x)-h(x)) d x=0$ ．因此，$g(x)-h(x)=$ 0 a．e．于 $[a, b]$ ．从而

$$
f(x)=g(x)=h(x), \quad x \in[a, b] \quad \text { a. e. }
$$

于是 $f$ 是 Lebesgue 可积函数，并且（L） $\int_a^b f(x) d x=(R) \int_a^b f(x) d x$ ．
下面的定理给出 Riemann 可积函数的一个简明的特征，在它的证明中，沿用前面的记号．

> **定理 4.18** 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积的充分必要条件是，$f$ 在 $[a, b]$ 上的间断点组成零测集．

证明 对于一列如前的分法 $\left\{D_k\right\}$ ，设 $x_0 \in[a, b]$ 并且不是任一 $D_k$ 的分点 （注意，所有 $D_k$ 的分点只有可数个，从而为零测集）．若能证明，函数 $f$ 在点 $x_0$ 连续的充分必要条件是，$g\left(x_0\right)=h\left(x_0\right)$ ，则当 $f$ 为 $(R)$ 可积时，由前一定理知， $g(x)=h(x)$ a．e．，所以 $f$ 的不连续点之集（即使它含有 $D_k$ 的分点）是零测集；反过来，当 $f$ 在 $[a, b]$ 上的不连续点组成零测集时，则 $g(x)=h(x)$ a．e．于 $[a, b]$ ，从而
（L） $\int_a^b g(x) d x=(L) \int_a^b h(x) d x$.
由前一定理的证明知， $\lim _{k \rightarrow \infty} S_{D_k}=\lim _{k \rightarrow \infty} s_{D_k}$ ，故 $f$ 在 $[a, b]$ 上 $(R)$ 可积．这正反两方面的推论就证明了本定理．因此，剩下来只需证明，$f$ 在 $x_0$ 连续的充分必要条件是 $g\left(x_0\right)=h\left(x_0\right)$ ．

设 $D_k$ 与 $x_0$ 仍如前，函数 $f$ 在 $[a, b]$ 有界并且 $(R)$ 可积，同时在点 $x_0$ 不连续．这时有某个正数 $\varepsilon$ 使得，在 $x_0$ 的任意邻域 $B\left(x_0, \delta\right)$ 中，都存在相应的点 $x^{\prime}$ 满足

$\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x_0\right)\right|>\varepsilon$ ，即

$$
f\left(x^{\prime}\right)<f\left(x_0\right)-\varepsilon \text { 或 } f\left(x^{\prime}\right)>f\left(x_0\right)+\varepsilon \text {. }
$$

而因 $\left\|D_k\right\| \rightarrow 0$ ，故当 $k$ 充分大时，就会使 $x_0$ 所在的分法 $D_k$ 的小区间包含于 $B\left(x_0, \delta\right)$ ，从而

$$
h\left(x_0\right) \leqslant f\left(x^{\prime}\right)<f\left(x_0\right)-\varepsilon<f\left(x_0\right)
$$

或

$$
f\left(x_0\right)<f\left(x_0\right)+\varepsilon<f\left(x^{\prime}\right) \leqslant g\left(x_0\right)
$$

因此 $g\left(x_0\right) \neq h\left(x_0\right)$ ．
若 $D_k, x_0$ 以及 $f$ 仍如上一段所述，但函数 $f$ 在 $x_0$ 连续．则对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得任意 $x \in B\left(x_0, \delta\right)$ 满足 $f\left(x_0\right)-\varepsilon<f(x)<f\left(x_0\right)+\varepsilon$ ．则因 $\left\|D_k\right\| \rightarrow 0$ ，故当 $k$ 充分大时，由函数 $g_k$ 和 $h_k$ 的定义可见，

$$
f\left(x_0\right)-\varepsilon \leqslant h_k\left(x_0\right) \leqslant h\left(x_0\right) \leqslant g\left(x_0\right) \leqslant g_k\left(x_0\right) \leqslant f\left(x_0\right)+\varepsilon
$$

而 $\varepsilon$ 是任意正数，故得 $g\left(x_0\right)=h\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)$ ．这就证明了，$f$ 在 $x_0$ 连续当且仅当 $g\left(x_0\right)=h\left(x_0\right)$ 。 $\square$
下面的定理给出无穷区间上的广义 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系．
**定理4.19** 若定义在 $R$ 上的函数 $f$ 在任何有限区间上有界，且它在 $(-\infty$ ， $\infty$ ）上的反常 Riemann 积分绝对收敛（蕴含 $f$ 在任何有限区间 $R$ 可积），则 $f \in$ $L(-\infty, \infty)$ ，并且
（L） $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=(R) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x$ ．

证明 这时 $f$ 在任何有限区间上可测，从而在 $R =\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}[n, n+1]$ 上可测．由 Lebesgue 积分的可数可加性，
（L）

$$
\begin{aligned}
\int_R|f(x)| d x & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}(L) \int_n^{n+1}|f(x)| d x=\lim _{N \rightarrow \infty}(L) \int_{-N}^N|f(x)| d x \\
& =\lim _{N \rightarrow \infty}(R) \int_{-N}^N|f(x)| d x=(R) \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)| d x<\infty
\end{aligned}
$$

故 $f \in L(R)$ ，再根据上一节的例 6 ，以及无穷限 Riemann 积分的定义可得，两种积分的值相等． $\square$
有限区间上无界函数的 Riemann 积分（㻓积分）与 Lebesgue 积分的关系与此类似，证明留给读者。

> **定理 4.19 表明，无界函数或无穷区间上的广义 Riemann 积分，只有当它绝对收敛（被积函数绝对可积）时，被积函数才是 Lebesgue 可积的，而且相应的 Ri－ emann 积分与 Lebesgue 积分的值相等．但反常 Riemann 积分并非都是绝对收敛的，所以若不如此，这种积分就不能看成 Lebesgue 积分．**

例如考虑积分
$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x
$$

若对其被积函数在 $x=0$ 时补充定义函数值为 1 ，则这函数在 $[0,+\infty$ ）连续，因此在任何有限区间都是 Riemann 可积的。因此，若把这个积分当成无穷区间 $[0$ ， $+\infty$ ）上的反常 Riemann 积分，它的收敛性等价于

$$
\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x
$$

的收敛性．根据数学分析中的 Dirichlet 判别法，它（无穷限的 Riemann 积分）是收敛的，且

$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}
$$

但当 $x \geqslant 1$ ，根据

$$
\frac{|\sin x|}{x} \geqslant \frac{\sin ^2 x}{x}=\frac{1-\cos 2 x}{2 x}
$$

以及 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{2 x} d x$ 收敛，而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{2 x} d x=+\infty$ ，即知

$$
\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x} d x=+\infty
$$

于是，根据 Lebesgue 可积函数的绝对可积性，$\frac{\sin x}{x} \notin L(0,+\infty)$ ．

从本章所讲的 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系来看，我们把 Riemann积分推广到 Lebesgue 积分，是有所得也有所失．得到的是很宽松条件（几乎已是必不可少的条件，如控制收敛）下的积分号下取极限的结果（首先是因为可测函数类对于极限运算是封闭的，而对 Riemann 可积函数类这一点就不成立）；失去的则是没能把非绝对收敛的反常 Riemann 积分包括进去．这不能不说是 Lebesgue 积分的一点小小遗憾．不过，Riemann 积分是有它独特的作用的．回忆数学分析（包括微分方程）中大量基于微元法建立起来的积分应用，用的都是 Riemann积分的概念，而且 Lebesgue 积分的大量具体计算，其实都归结为 Riemann 积分的计算．因此，Riemann 积分与 Lebesgue 积分共存于现代数学之中，各有所长，互相补充．**Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广，而不是它的替代物**．

最后，用一个计算积分的例子作为本节的结束。

`例9`在区间 $[0,1]$ 上定义函数 $f$ ：在康托集 $C$ 上，$f(x)=0$ ；在 $[0,1] \backslash C$ 的每个长为 $1 / 3^k(k=1,2, \cdots)$ 的构成区间上，$f(x)=\frac{1}{k}$ ．试求 $(R) \int_0^1 f(x) d x$ 和 （L） $\int_0^1 f(x) d x$ ．

解 易见 $f$ 在 $[0,1]$ 上有界，其间断点构成零测集 $(f$ 至多只在属于 $C$ 的点
不连续，而 $C$ 为零测集），故它是 Riemann 可积的，且它在［ 0,1 ］上的 Riemann 积分等于它在 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 积分．而由 Lebesgue 积分的可数可加性，它又等于 $[0,1] \backslash C$ 的构成区间上的积分之和

$$
\begin{aligned}
(R) \int_0^1 f(x) d x & =(L) \int_0^1 f(x) d x=\int_{[0,1] \backslash C} f(x) d x \\
& =\sum_{k=1}^{\infty} 2^{k-1}\left(\frac{1}{k 3^k}\right) .
\end{aligned}
$$

而用数学分析的方法（几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 在 $[0,2 / 3]$ 上逐项积分）可算出

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n=\ln 3
$$

因此

$$
\int_0^1 f(x) d x=\frac{\ln 3}{2} .
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇： Lebesgue 控制收敛定理

下一篇： Fubini 富比尼定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)