最后更新: 2025-11-28 08:16 查看: 343 次纠错评论(0) 课件开VIP

Lebesgue 控制收敛定理

## Lebesgue 控制收敛定理
**定理 4.15（Lebesgue 控制收敛定理）**  设 $\left\{f_k\right\}$ 是 $E \subset R ^n$ 上几乎处处收敛的可测函数列， $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)$ ．若存在非负函数 $F$ ，使得 $F \in L(E)$ 并且

$$
\left|f_k(x)\right| \leqslant F(x) \quad(x \in E, k=1,2, \cdots)
$$

则函数 $f$ 及所有的 $f_k$ 都在 $E$ 上可积，且 $\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) d x$ 存在并等于 $\int_{\varepsilon} f(x) d x$ ．
证明 因为 $\left|f_k(x)\right| \leqslant F(x),|f(x)|=\lim _{k \rightarrow \infty}\left|f_k(x)\right| \leqslant F(x)$ ，而 $F \in$ $L(E)$ ，所以 $f$ 及 $f_k(k=1,2, \cdots)$ 在 $E$ 可积．又因

将定理 4.14 用于非负可测函数列 $\left\{2 F-\left|f_k-f\right|\right\}$ ，就得到

$$
\begin{gathered}
\int_E 2 F(x) d x=\int_E \lim _{k \rightarrow \infty}\left(2 F(x)-\left|f_k(x)-f(x)\right|\right) d x \\
\leqslant \\
\leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \int_E\left(2 F(x)-\left|f_k(x)-f(x)\right|\right) d x \\
=\int 2 F(x) d x-\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E\left|f_k(x)-f(x)\right| d x .
\end{gathered}
$$

由这个不等式两端消去有限数 $\int_E 2 F(x) d x$ ，便得到

$$
\varlimsup_{k \rightarrow \infty} \int_E\left|f_k(x)-f(x)\right| d x \leqslant 0
$$

但 $\left|f_k(x)-f(x)\right|$ 是非负函数，因此只可能

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E\left|f_k(x)-f(x)\right| d x=0
$$

于是由
$$
\left|\int_E f_k(x) d x-\int_E f(x) d x\right| \leqslant \int_E\left|f_k(x)-f(x)\right| d x
$$

可见结论成立。
满足 $\left|f_k(x)\right| \leqslant F(x)(x \in E, k=1,2, \cdots)$ 的 $F$ 称为 $\left\{f_k\right\}$ 的控制函数．注意，本定理中＂存在控制函数 $F \in L(E)$＂这个条件是不能少的，其反例就是本定理前面的例子：$f_k(x)=k \chi_{(0,1 / k)}(x),(0 \leqslant x<1)$ ．对这个函数列，由于不存在控制函数 $F \in \dot{L}(0,1)$ ，故积分号下取极限不成立．

### 有界收敛定理
推论（有界收敛定理）若 $m E<\infty,\left\{f_k\right\}$ 是在 $E$ 上几乎处处收敛的可测函数列，

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x) \quad(\text { a. e. } x \in E)
$$

并且存在常数 $M>0$ ，使得

$$
\left|f_k(x)\right| \leqslant M \quad(x \in E, k=1,2, \cdots),
$$

则

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) d x=\int_E f(x) d x
$$

证明 这是控制收敛定理的一个特例．因为这时可取控制函数为 $F(x) \equiv M$ $(x \in E$ ，即 $F$ 为常值函数），它在测度有限的点集上是可积的．

`例6` 设 $E \subset R ^n$ 可测，$f \in L(E)$ 。试证

$$
\int_E f(x) d x=\lim _{N \rightarrow \infty} \int_{E \cap[-N, N]} f(x) d x
$$

证明 由于

$$
\int_{E \cap[N, N]} f(x) d x=\int_E f(x) \chi_{[-N, N]}(x) d x
$$

由此看到，应用点集的特征函数，可将变化的点集上的积分变成在固定点集上变化的函数的积分．令 $f_N(x)=f(x) \chi_{[-N, N]}(x)(x \in E)$ ，则有

$$
\lim _{N \rightarrow \infty} f_N(x)=f(x),\left|f_N(x)\right| \leqslant|f(x)| \in L(E)
$$

我们定义 Lebesgue 积分时，并没有区分积分域有界或无界．这个例题说明当积分域无界时，我们定义的积分，与按数学分析中无穷积分的定义方式得出的结果是一致的．

下一例题是把控制收敛定理用到一般的函数项级数逐项积分的问题上．

`例7` 试证：若 $f_k \in L(E)\left(E \subset R ^n, k=1,2, \cdots\right)$ ．并且

$$
\sum_{k=1}^{\infty} \int_E\left|f_k(x)\right| d x<\infty,
$$

则级数 $\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)$ 在 $E$ 上几乎处处收敛，其和函数 $f$ 在 $E$ 上可积，并且

$$
\int_E f(x) d x=\sum_{k=1}^{\infty} \int_E f_k(x) d x \quad \text { ( } \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x) \text { 可以逐项积分). }
$$

证明 令 $F(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\left|f_k(x)\right|$ ，这是 $E$ 上的非负可测函数，则由逐项积分定理 4.13 及本题假设，

$$
\int_{\varepsilon} F(x) d x=\sum_{k=1}^{\infty} \int_E\left|f_k(x)\right| d x<\infty,
$$

故 $F \in L(E)$ ，从而 $F(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限．因此级数 $\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)$ 几乎处处绝对收敛，从而几乎处处收敛，其和函数 $f(x)$ 在 $E$ 上除某个零测集外处处有意义，而又有

$$
|f(x)|=\left|\sum_{i=1}^{\infty} f_i(x)\right| \leqslant \sum_{i=1}^{\infty}\left|f_i(x)\right|=F(x) \in L(E)
$$

故 $f \in L(E)$ ．
对 $\sum_{i=1}^k f_i(x)$ 用控制收敛定理，得

$$
\begin{gathered}
\int_E f(x) d x=\int_E \lim _{k \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k f_i(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \sum_{i=1}^k f_i(x) d x \\
=\lim _{k \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \int_E f_i(x) d x=\sum_{i=1}^{\infty} \int_E f_i(x) d x
\end{gathered}
$$

下面一个例题是关于积分号下求导数的．

`例8` 设对于每个固定的 $t \in[\alpha, \beta], f(x, t)$ 是 $[a, b]$ 上 $x$ 的可积函数；又 $f(x, t)$ 对 $t$ 可导，且存在常数 $c$ 使得

$$
\left|\frac{\partial}{\partial t} f(x, t)\right| \leqslant c, \quad(a \leqslant x \leqslant b, \alpha \leqslant t \leqslant \beta)
$$

则

$$
\frac{d}{d t}\left(\int_a^b f(x, t) d x\right)=\int_a^b \frac{\partial}{\partial t} f(x, t) d x
$$

证明 设 $\left\{h_k\right\}$ 是任意一串趋于 $0(k \rightarrow \infty)$ 的数列．对于固定的 $t$ ，令

$$
f_k(x)=\frac{1}{h_k}\left[f\left(x, t+h_k\right)-f(x, t)\right]
$$

则 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=\frac{\partial}{\partial t} f(x, t)$ ．由微分中值定理

$$
\left|f_k(x)\right|=\left|\frac{\partial}{\partial t} f\left(x, t+\theta_k h_k\right)\right| \leqslant c,\left(0<\theta_k<1\right)
$$

因此根据有界收敛定理（控制收敛定理的推论），

$$
\begin{aligned}
\int_a^b \frac{\partial}{\partial t} f(x, t) d x & =\int_a^b \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_a^b f_k(x) d x \\
& =\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{1}{h_k}\left[\int_a^b f_k\left(x, t+h_k\right) d x-\int_a^b f_k(x, t) d x\right]
\end{aligned}
$$

$$
=\frac{d}{d t} \int_a^b f(x, t) d x
$$

> **至此，我们给出了三个取积分与取极限交换次序的定理（Levi，Fatou，Lebesgue 定理）．回忆数学分析中学过的有关内容，在 Riemann 积分的情形，这种交换次序都要很强的条件——有关的函数列一致收敛。这样一对比，我们这里的条件是宽松多了．**

在这一节的最后，要说明 Lebesgue 积分有可数可加性，它可由控制收敛定理立即得到．

**定理4.16** 设 $f \in L(E), E=\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$ ，所有 $E_k(k=1,2, \cdots)$ 都可测且互不相交，则

$$
\int_E f(x) d x=\sum_{k=1}^{\infty} \int_{E_k} f(x) d x
$$

证明 按照证明定理4．9（ii）的思想，令

$$
f_k(x)=f(x) \chi_{j=1}^k E_j(x)=f(x)\left(\chi_{E_1}(x)+\chi_{E_2}(x)+\cdots+\chi_{E_k}(x)\right),
$$

则对于所有 $x \in E$ ，

$$
\begin{gathered}
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x), \quad\left|f_k(x)\right| \leqslant|f(x)| \in L(E) \\
(k=1,2, \cdots)
\end{gathered}
$$

又由积分的有限可加性有

$$
\int_E f_k(x) d x=\sum_{i=1}^k \int_E f_i(x) d x
$$

令 $k \rightarrow \infty$ ，根据控制收敛定理立即得到所需结论．

## Lebesgue控制收敛定理（通俗解释）
Lebesgue控制收敛定理是实变函数中**最核心、最实用**的定理之一，本质是解决“积分和极限能否交换顺序”的问题——简单说，它告诉我们：在什么条件下，“先对函数列取极限，再积分”和“先积分，再对结果取极限”是一回事（即 $\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n(x)dx = \int \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)dx$）。

## 先搞懂：为什么需要这个定理？（黎曼积分的“坑”）
在我们学过的**黎曼积分**（比如高数里的定积分）中，积分和极限交换顺序是“碰运气”的——经常出现“先积分再取极限”和“先取极限再积分”结果不一样的情况。

举个直观例子：
- 考虑函数列 $f_n(x)$：在区间 $[0,1]$ 上，$f_n(x) = n \cdot \chi_{[0,\frac{1}{n}]}(x)$（$\chi$ 是“特征函数”，意思是“在 $[0,\frac{1}{n}]$ 上取1，其余地方取0”）。
- 先看极限：当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，所以 $f_n(x)$ 的极限函数 $\lim f_n(x) = 0$（除了点 $x=0$，但单点不影响积分）。如果先取极限再积分，结果是 $\int 0 dx = 0$。
- 再看积分：$\int_0^1 f_n(x)dx = n \cdot \frac{1}{n} = 1$，再取极限就是 $\lim 1 = 1$。

这里出现了 $0 \neq 1$ 的矛盾！黎曼积分解决不了这个问题，而Lebesgue积分通过“控制收敛定理”，给出了一个**万无一失的交换条件**。

## 定理核心：3个条件 + 1个结论（通俗版）
### 前提：所有函数都在“Lebesgue可积”的框架下（不用纠结细节，理解为“积分能算出有限值”即可）。
### 3个条件（满足就可以交换）：
1. **函数列有“极限”**：当 $n$ 无限大时，每个点 $x$ 对应的 $f_n(x)$ 都会收敛到一个固定的函数 $f(x)$（比如上面例子中，$f_n(x)$ 最终收敛到 $f(x)=0$）。  
   ✅ 通俗说：函数列“稳定”了，不会一直摇摆不定。

2. **存在一个“控制函数”$g(x)$**：  
   - 这个 $g(x)$ 本身是Lebesgue可积的（即 $\int g(x)dx$ 是有限值，不是无穷大）；  
   - 对所有的 $n$ 和所有的 $x$，都有 $|f_n(x)| \leq g(x)$（“控制”的意思：每个 $f_n(x)$ 的绝对值都被 $g(x)$ 压住，不会“跑上天”）。

❌ 上面的反例之所以失败，就是因为**没有这样的控制函数**：$f_n(x) = n \cdot \chi_{[0,\frac{1}{n}]}(x)$ 的最大值是 $n$，当 $n$ 无限大时，最大值也无限大，没有一个固定的 $g(x)$ 能压住所有 $f_n(x)$。

3. **（可选弱化）几乎处处收敛**：定理的严格表述是“函数列在**几乎处处**收敛到 $f(x)$”——意思是“除了一个测度为0的集合（比如单个点、可数个点），其余地方都收敛”。  
   ✅ 通俗说：“极少数点不收敛”没关系，不影响积分结果（因为“测度为0”的集合积分值为0）。

### 1个结论（交换成立）：
$$\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n(x)dx = \int \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)dx$$

通俗说：“先积分再取极限”和“先取极限再积分”，结果完全一样！

## 用“生活化例子”理解“控制函数”
把每个 $f_n(x)$ 想象成一个“打工者”，积分 $\int f_n(x)dx$ 是“打工者的总收入”。

- “函数列收敛到 $f(x)$”：每个打工者的收入逐渐稳定到一个固定水平（比如最终都稳定到“月薪5000”）。  
- “控制函数 $g(x)$”：公司有一个“工资上限”（比如月薪10万），所有打工者的工资绝对值都不会超过这个上限，而且这个“工资上限总额”（$\int g(x)dx$）是有限的（不是无穷多钱）。  
- 结论：当所有打工者的工资都稳定后，他们的“平均总收入”（积分的极限），等于他们“稳定后工资的总和”（极限的积分）。

如果没有“工资上限”（没有控制函数），有些打工者的工资会无限上涨（比如上面例子中 $f_n(x)$ 的最大值 $n$ 无限大），这时“平均总收入”（$\lim \int f_n(x)dx = 1$）和“稳定后工资总和”（$\int \lim f_n(x)dx = 0$）就会不一样。

## 关键优势：比黎曼积分“宽容”得多
在黎曼积分中，要交换积分和极限，需要“函数列一致收敛”（非常严格的条件：所有点同时收敛到极限函数），而Lebesgue控制收敛定理只需要“几乎处处收敛+控制函数”，条件宽松太多：

- 例：函数列 $f_n(x) = x^n$ 在 $[0,1)$ 上收敛到 $0$，在 $x=1$ 处收敛到 $1$（几乎处处收敛），且存在控制函数 $g(x)=1$（$\int_0^1 1dx=1$ 有限，且 $|x^n| \leq 1$ 对所有 $n$ 成立）。  
  按照控制收敛定理，$\lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 x^n dx = \int_0^1 \lim\limits_{n \to \infty} x^n dx$，计算验证：  
  左边：$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$；右边：$\int_0^1 0 dx = 0$，结果一致。

### 一个生动的例子：逃逸的喷泉

想象一个在喷水的圆形喷泉。我们定义一个函数序列 $ f_n(x) $：

*   $ f_n(x) $ 在半径为 $ (1 - \frac{1}{n}) $ 的圆内，高度为 $ n $。
*   在这个圆外，高度为 0。

**发生了什么？**

1.  **收敛性**：对于平面上任意一点 $ x $（除了正好在边界单位圆上的点）：
    *   如果 $ x $ 在单位圆**内部**，那么当 $ n $ 足够大时，它终将落入那个小圆内，此时 $ f_n(x) = n $，这个值会趋向于无穷大 $ \infty $。
    *   如果 $ x $ 在单位圆**外部**，它永远在那个小圆外，所以 $ f_n(x) = 0 $。
    *   所以，这个函数序列的**逐点极限** $ f(x) $ 在单位圆内是无穷大，在单位圆外是 0。

2.  **没有控制函数（“笼子”坏了）**：
    *   现在，我们想交换积分和极限的顺序。
    *   **先积分，再取极限**：对于每个 $ f_n(x) $，它的积分是“底面积 × 高” = $ \pi (1-\frac{1}{n})^2 \times n $。当 $ n \to \infty $ 时，这个值会趋向于无穷大。
        $$
        \lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx = \infty
        $$
    *   **先取极限，再积分**：极限函数 $ f(x) $ 在单位圆内是无穷大，所以它的积分也是无穷大。
        *   等等，在这个例子中，两边都是无穷大，好像相等？是的，但这个例子是为了说明“控制”的重要性。我们稍微修改一下例子。

**修改后的例子：一个“被控制”的喷泉**

现在，假设喷泉的水柱被一个巨大的、固定高度的透明穹顶（控制函数 $ g(x) $）盖住了。$ g(x) $ 在整个平面上高度都是 1。

我们定义新的函数序列：
*   $ f_n(x) $ 在半径为 $ (1 - \frac{1}{n}) $ 的圆内，高度为 $ 1 $（因为被穹顶压住了，不能再长高）。
*   在这个圆外，高度为 0。

**现在：**

1.  **收敛性**：极限函数 $ f(x) $ 在单位圆**内部**为 1，在单位圆**外部**为 0。
2.  **控制函数**：显然，所有 $ |f_n(x)| \le 1 $，而常数函数 $ g(x)=1 $ 在任何一个有限区域上的积分都是有限的（是可积的）。笼子生效了！
3.  **结论**：
    *   **先积分，再取极限**：对于每个 $ f_n(x) $，它的积分是底面积 $ \pi (1-\frac{1}{n})^2 $。取极限后是 $ \pi $。
        $$
        \lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx = \pi
        $$
    *   **先取极限，再积分**：极限函数 $ f(x) $ 在单位圆内是 1，所以它的积分就是单位圆的面积 $ \pi $。
        $$
        \int \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx = \pi
        $$
    *   两者完美相等！控制收敛定理保证了这种和谐的结果。

---

### 总结

**勒贝格控制收敛定理的通俗精髓：**

> 当一群“变化多端”的函数趋向于一个极限时，只要存在一个“积分值有限”的函数像笼子一样管着它们，不让它们“无法无天”（即值域不受控制），那么你就可以放心地把“取极限”和“求积分”这两个操作的顺序互换。

这个定理是实分析和大厦的基石，它为我们处理极限和积分交换的问题提供了一个非常强大而实用的工具。

## 一句话总结
Lebesgue控制收敛定理的核心是：**用一个“可积的控制函数”管住函数列的“振幅”，再加上函数列收敛，就能放心地交换积分和极限的顺序**。

它解决了黎曼积分的痛点，让“积分与极限交换”从“碰运气”变成“有章可循”，是实变函数中连接“函数列极限”和“积分”的核心桥梁，也是后续学习概率论、泛函分析的基础工具。

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