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Lebesgue 控制收敛定理

## Lebesgue 控制收敛定理
**定理 4.15（Lebesgue 控制收敛定理）**  设 $\left\{f_k\right\}$ 是 $E \subset R ^n$ 上几乎处处收敛的可测函数列， $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)$ ．若存在非负函数 $F$ ，使得 $F \in L(E)$ 并且

$$
\left|f_k(x)\right| \leqslant F(x) \quad(x \in E, k=1,2, \cdots)
$$

则函数 $f$ 及所有的 $f_k$ 都在 $E$ 上可积，且 $\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) d x$ 存在并等于 $\int_{\varepsilon} f(x) d x$ ．
证明 因为 $\left|f_k(x)\right| \leqslant F(x),|f(x)|=\lim _{k \rightarrow \infty}\left|f_k(x)\right| \leqslant F(x)$ ，而 $F \in$ $L(E)$ ，所以 $f$ 及 $f_k(k=1,2, \cdots)$ 在 $E$ 可积．又因

将定理 4.14 用于非负可测函数列 $\left\{2 F-\left|f_k-f\right|\right\}$ ，就得到

$$
\begin{gathered}
\int_E 2 F(x) d x=\int_E \lim _{k \rightarrow \infty}\left(2 F(x)-\left|f_k(x)-f(x)\right|\right) d x \\
\leqslant \\
\leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \int_E\left(2 F(x)-\left|f_k(x)-f(x)\right|\right) d x \\
=\int 2 F(x) d x-\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E\left|f_k(x)-f(x)\right| d x .
\end{gathered}
$$

由这个不等式两端消去有限数 $\int_E 2 F(x) d x$ ，便得到

$$
\varlimsup_{k \rightarrow \infty} \int_E\left|f_k(x)-f(x)\right| d x \leqslant 0
$$

但 $\left|f_k(x)-f(x)\right|$ 是非负函数，因此只可能

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E\left|f_k(x)-f(x)\right| d x=0
$$

于是由
$$
\left|\int_E f_k(x) d x-\int_E f(x) d x\right| \leqslant \int_E\left|f_k(x)-f(x)\right| d x
$$

可见结论成立。
满足 $\left|f_k(x)\right| \leqslant F(x)(x \in E, k=1,2, \cdots)$ 的 $F$ 称为 $\left\{f_k\right\}$ 的控制函数．注意，本定理中＂存在控制函数 $F \in L(E)$＂这个条件是不能少的，其反例就是本定理前面的例子：$f_k(x)=k \chi_{(0,1 / k)}(x),(0 \leqslant x<1)$ ．对这个函数列，由于不存在控制函数 $F \in \dot{L}(0,1)$ ，故积分号下取极限不成立．

### 有界收敛定理
推论（有界收敛定理）若 $m E<\infty,\left\{f_k\right\}$ 是在 $E$ 上几乎处处收敛的可测函数列，

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x) \quad(\text { a. e. } x \in E)
$$

并且存在常数 $M>0$ ，使得

$$
\left|f_k(x)\right| \leqslant M \quad(x \in E, k=1,2, \cdots),
$$

则

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) d x=\int_E f(x) d x
$$

证明 这是控制收敛定理的一个特例．因为这时可取控制函数为 $F(x) \equiv M$ $(x \in E$ ，即 $F$ 为常值函数），它在测度有限的点集上是可积的．

`例6` 设 $E \subset R ^n$ 可测，$f \in L(E)$ 。试证

$$
\int_E f(x) d x=\lim _{N \rightarrow \infty} \int_{E \cap[-N, N]} f(x) d x
$$

证明 由于

$$
\int_{E \cap[N, N]} f(x) d x=\int_E f(x) \chi_{[-N, N]}(x) d x
$$

由此看到，应用点集的特征函数，可将变化的点集上的积分变成在固定点集上变化的函数的积分．令 $f_N(x)=f(x) \chi_{[-N, N]}(x)(x \in E)$ ，则有

$$
\lim _{N \rightarrow \infty} f_N(x)=f(x),\left|f_N(x)\right| \leqslant|f(x)| \in L(E)
$$

我们定义 Lebesgue 积分时，并没有区分积分域有界或无界．这个例题说明当积分域无界时，我们定义的积分，与按数学分析中无穷积分的定义方式得出的结果是一致的．

下一例题是把控制收敛定理用到一般的函数项级数逐项积分的问题上．

`例7` 试证：若 $f_k \in L(E)\left(E \subset R ^n, k=1,2, \cdots\right)$ ．并且

$$
\sum_{k=1}^{\infty} \int_E\left|f_k(x)\right| d x<\infty,
$$

则级数 $\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)$ 在 $E$ 上几乎处处收敛，其和函数 $f$ 在 $E$ 上可积，并且

$$
\int_E f(x) d x=\sum_{k=1}^{\infty} \int_E f_k(x) d x \quad \text { ( } \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x) \text { 可以逐项积分). }
$$

证明 令 $F(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\left|f_k(x)\right

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