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Fubini 富比尼定理

## Fubini 定理

在数学分析中，我们知道，把重积分化为累次积分

$$
\iint_{[a, b] \times[c, d]} f(x, y) d x d y=\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y
$$

或者把累次积分交换积分次序

$$
\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y=\int_c^d d y \int_a^b f(x, y) d x,
$$

在微积分的应用中都是十分重要的。但在那里，因为所说的积分都是 Riemann 积分，通常要加上很复杂的条件才允许这样做．具体来说，对于一个包含先后两次单积分的累次积分，如果其中有一个单积分是无穷积分时，就得要求这个无穷积分对参变量在积分域上一致收敛，才能交换积分次序。而对于我们现在讲的 Lebesgue 积分，这样做的条件就可以很宽松．这就是本节要叙述的内容．

为了简便起见，我们先叙述由两个无穷限单积分组成的累次积分的情形，即在什么条件下，全平面 $R ^2$ 上的一个二重积分能化成累次积分，并且相应的两个积分次序不同的累次积分相等．最后会说明，这种情形已经是十分典型的了．另外要注意，在本节下面出现的所有积分都是 Lebesgue 积分．

**定理 4.20 （富比尼（Fubini））** 若 $f(x, y) \in L\left( R ^2\right)=L( R \times R )$ ，则
（i）对几乎处处的 $x \in R , f(x, y)$ 作为 $y$ 的函数是 $R$ 上的 Lebesgue 可积函数；
（ii） $\int_{ R } f(x, y) d y \in L( R )$ ，即含参变量 $x$ 的积分 $\int_{ R } f(x, y) d y$ ，作为 $x$ 的函数
在 $R$ 上是 Lebesgue 可积的；
（iii） $\int_{ R } d x \int_{ R } f(x, y) d y=\int_{ R ^2} f(x, y) d x d y$ ，即 $\int_{ R } f(x, y) d y$ 作为 $x$ 的函数在 $R$进行积分，其积分值等于 $f(x, y)$ 在全平面 $R ^2$ 的二重积分（二维 Lebesgue 积分）值。

**推论** 若 $f(x, y) \in L\left( R ^2\right)$ ，则

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} d x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y=\int_{-\infty}^{+\infty} d y \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x
$$

推论表明，只要 $f(x, y)$ 在

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