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Fubini 富比尼定理

## Fubini 定理

在数学分析中，我们知道，把重积分化为累次积分

$$
\iint_{[a, b] \times[c, d]} f(x, y) d x d y=\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y
$$

或者把累次积分交换积分次序

$$
\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y=\int_c^d d y \int_a^b f(x, y) d x,
$$

在微积分的应用中都是十分重要的。但在那里，因为所说的积分都是 Riemann 积分，通常要加上很复杂的条件才允许这样做．具体来说，对于一个包含先后两次单积分的累次积分，如果其中有一个单积分是无穷积分时，就得要求这个无穷积分对参变量在积分域上一致收敛，才能交换积分次序。而对于我们现在讲的 Lebesgue 积分，这样做的条件就可以很宽松．这就是本节要叙述的内容．

为了简便起见，我们先叙述由两个无穷限单积分组成的累次积分的情形，即在什么条件下，全平面 $R ^2$ 上的一个二重积分能化成累次积分，并且相应的两个积分次序不同的累次积分相等．最后会说明，这种情形已经是十分典型的了．另外要注意，在本节下面出现的所有积分都是 Lebesgue 积分．

**定理 4.20 （富比尼（Fubini））** 若 $f(x, y) \in L\left( R ^2\right)=L( R \times R )$ ，则
（i）对几乎处处的 $x \in R , f(x, y)$ 作为 $y$ 的函数是 $R$ 上的 Lebesgue 可积函数；
（ii） $\int_{ R } f(x, y) d y \in L( R )$ ，即含参变量 $x$ 的积分 $\int_{ R } f(x, y) d y$ ，作为 $x$ 的函数
在 $R$ 上是 Lebesgue 可积的；
（iii） $\int_{ R } d x \int_{ R } f(x, y) d y=\int_{ R ^2} f(x, y) d x d y$ ，即 $\int_{ R } f(x, y) d y$ 作为 $x$ 的函数在 $R$进行积分，其积分值等于 $f(x, y)$ 在全平面 $R ^2$ 的二重积分（二维 Lebesgue 积分）值。

**推论** 若 $f(x, y) \in L\left( R ^2\right)$ ，则

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} d x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y=\int_{-\infty}^{+\infty} d y \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x
$$

推论表明，只要 $f(x, y)$ 在平面是二维 $L$ 可积的，则 $f(x, y)$ 对 $x$ 与 $y$ 的两个累次积分可以交换次序，或者说，不同次序的两个累次积分的值是相等的。

我们先承认 Fubini 定理，用它来证明推论．这实际上是很简单的，因为在条件 $f(x, y) \in L\left( R ^2\right)$ 中，$x$ 与 $y$ 是平等的，从而在 Fubini 定理的结论中，完全可以把 $x$ 与 $y$ 位置相交换，于是得到

$$
\int_{ R } d y \int_{ R } f(x, y) d x=\int_{ R ^2} f(x, y) d x d y
$$

把它与 Fubini 定理的（iii）结合起来，便得推论。
下一节是同 Fubini 定理关系密切（也很相似）的一个定理．

##  理解： 富比尼定理

### 核心思想：算体积的两种切法

想象一下，你有一个**长方体的面包**，你想知道它的**体积**。

你有两种切法：

1.  **先切片：** 你把面包沿着一个方向（比如从上到下）切成很多片。你先算出**每一片的面积**，然后再把这些片的面积**叠起来（相加）**，就得到了体积。
    `体积 = 先对厚度求和（把面积叠起来）`

2.  **先切条：** 你把面包沿着另一个方向（比如从左到右）切成很多条。你先算出**每一条的面积**，然后再把这些条的面积**拼起来（相加）**，同样也得到了体积。
    `体积 = 先对宽度求和（把条拼起来）`

**富比尼定理说的就是：只要这个面包形状“规整”（函数性质良好），那么无论你用哪种顺序来切它，最后算出来的体积都是一样的！**

---

### 数学翻译

在数学上，我们计算一个二元函数 $ f(x, y) $ 在矩形区域 $ [a, b] \times [c, d] $ 上的**二重积分**，就相当于求一个“抽象的体积”。

富比尼定理允许我们把这个二重积分拆成两个**单积分**的组合，并且**顺序可以交换**：

$$
\iint_{R} f(x, y) \, dA = \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x, y) \, dy \right) dx = \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx \right) dy
$$

**让我们来解读一下：**

*   **左边**：$ \iint f(x, y) \, dA $ -> 直接求这个“曲面面包”的体积。
*   **中间**：$ \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x, y) \, dy \right) dx $
    *   **先算里面的积分**：$ \int_{c}^{d} f(x, y) \, dy $
        *   **固定** $ x $（比如在 $ x_0 $ 处切一刀），对 $ y $ 进行积分。这相当于得到了在 $ x_0 $ 这个位置的一个**切片的面积**。
    *   **再算外面的积分**：对所有的 $ x $（即对所有切片的面积）进行积分。这相当于把所有这些切片的面积**累积起来**，得到体积。
    *   **形象化：像切土豆丝一样，先切成片，再把片切成丝。**

*   **右边**：$ \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx \right) dy $
    *   **先算里面的积分**：$ \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx $
        *   **固定** $ y $（比如在 $ y_0 $ 处切一刀），对 $ x $ 进行积分。这相当于得到了在 $ y_0 $ 这个位置的一个**切条的面积**。
    *   **再算外面的积分**：对所有的 $ y $（即对所有切条的面积）进行积分。这相当于把所有这些切条的面积**累积起来**，得到体积。
    *   **形象化：像切西瓜片一样，先切成大块，再把块切成片。**

---

### 一个具体的数字例子

假设我们的“面包”是一个长2米、宽3米、高1米的长方体。体积函数就是 $ f(x, y) = 1 $（因为高度恒定）。

区域是 $ [0, 2] \times [0, 3] $。体积显然是 $ 2 \times 3 \times 1 = 6 $。

**方法一：先对y积分，再对x积分**
1.  固定一个 $ x $，计算切片的面积：$ \int_{0}^{3} 1 \, dy = 3 $（这个切片是一个长为3，高为1的长方形，面积是3）。
2.  把所有切片面积加起来：$ \int_{0}^{2} 3 \, dx = 3 \times 2 = 6 $。

**方法二：先对x积分，再对y积分**
1.  固定一个 $ y $，计算切条的面积：$ \int_{0}^{2} 1 \, dx = 2 $（这个切条是一个长为2，高为1的长方形，面积是2）。
2.  把所有切条面积加起来：$ \int_{0}^{3} 2 \, dy = 2 \times 3 = 6 \”。

看，结果都是6！

---

### 为什么这个定理重要？什么时候会失效？

*   **重要性：** 它把复杂的问题简单化了。计算一个二重积分可能很困难，但把它转化成两次单积分，我们就能用微积分基本定理等工具轻松解决。这就像把一道多维的难题降维成两个一维的简单题。

*   **失效的情况（“面包”太奇怪时）：**
    富比尼定理不是永远成立的。在以下情况下，交换顺序可能会出问题：
    1.  **函数无界：** 就像面包里有个无限高的“尖刺”，体积可能变成无穷大，顺序不同可能导致不同结果。
    2.  **积分区域无界：** 面包无限大。
    3.  **函数不连续点太多：** 面包的形状极其怪异，像一团乱麻。

在这些“坏情况”下，两种切法算出来的“体积”可能不相等。但幸运的是，在绝大多数我们遇到的“规整”情况下，比如函数是连续的，富比尼定理都是成立的。

### 总结

**富比尼定理的通俗精髓：**

> 对于一个“性质良好”的二元函数，计算它的二重积分（体积）时，**你先积哪个变量，后积哪个变量，顺序无所谓**，就像切一个面包，无论是先切成片再切条，还是先切条再切片，最后你得到的面包总量（体积）都是一样的。

它是一个非常强大且直观的工具，是我们处理多维积分时简化计算的利器。

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