最后更新: 2025-11-28 15:18 查看: 398 次纠错评论(0) 课件开VIP

Tonelli 特勒密定理

## Tonelli 特勒密定理
**定理 4.21**（Tonelli 定理）的证明 因可测函数可用简单函数的递增列逼近，故由引理 4.2 知，只要对任意可测集 $E$ ，证明 $\chi_E(x, y) \in F$ 即可．我们对 $E$ 相应为矩形，开集，有界闭集，$G_\delta$ 型集，零测集以至一般可测集共六种情形来完成这个证明。
$1{ }^{\circ}$ 当 $E=[a, b) \times[c, d)$ 时，则

$$
\chi_E(x, y)=\chi_{[a, b)}(x)_{\chi_{[c, d)}}(y)
$$

由此表示式明显可见， $\chi _{\varepsilon}$ 满足（i）．由于有关函数非负可测，立即可见（ii）中的积分存在，并且可以算出，

$$
\int_{R} \chi_E(x, y) d y=(d-c) \chi_{[a, b)}(x)
$$

可见（ii）成立，（iii）也可以通过计算得到验证．
$2^{\circ}$ 当 $E$ 是 $R ^2$ 的开集，这时

$$
E=\bigcup_{j=1}^{\infty} I_j
$$

其中 $I_j$ 是 $R ^2$ 的互不相交的半开方体．由 $1^{\circ}$ 及引理4．2知

$$
\chi_{\varepsilon}(x, y)=\bigcup_{j=1}^{\infty} \chi_{L_j}(x, y)=\lim _{k \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^k \chi_{L_j}(x, y) \in F,
$$

$3^{\circ}$ 当 $E$ 为有界闭集，这时存在开球 $B \supset E$ ，根据 $E=B \backslash(B \backslash E)$ ，有 $\chi_E=\chi_B-$ $\chi_{B I E}$ ，再用引理4．2的（iii）知 $\chi_E \in F$ ．
$4^{\circ}$ 当

$$
E=\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k
$$

其中 $\chi_{E_k} \in F, E_k \supset E_{k+1}(k=1,2, \cdots), m\left(E_1\right)<+\infty$ ，则也有 $\chi_E \in F$ ．这是因为

$$
E_1 \backslash E=\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(E_1 \backslash E_k\right)
$$

而 $E_1 \backslash E_k$ 是渐增集合列，

$$
\chi_{E_1}(x, y)-\chi_E(x, y)=\chi_{E_1 \backslash E}(x, y)=\lim _{k \rightarrow \infty} \chi_{E_1 \backslash E_k}(x, y),
$$

再用引理 4.2 便得。
$5^{\circ}$ 当 $m(E)=0$ 时，这时存在开集 $G_k, G_k \supset G_{k+1}, G_k \supset E$ ，且 $\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(G_k\right)=0$ ．令 $H=\bigcap_{k=1}^{\infty} G_k$ ，则由 $2^{\circ}$ 与 $4^{\circ}$ 知 $\chi_H \in F$ ，因此

$$
\int_{R} d x \int_{R} \chi_B(x, y) d y=\int_{ R ^2} \chi_H(x, y) d x d y=0 .
$$

由 $E \subset H, m(E)=0$ ，知

$$
\int_{R} d x \int_{R} \chi_E(x, y) d y=0=\int_{ R ^2} \chi_E(x, y) d x d y
$$

即 $\chi _E$ 满足（iii）．上式表明

$$
\int_{ R } \chi_E(x, y) d y=0, \text { a. e. } x \in R
$$

从而

$$
\chi_E(x, y)=0, \text { a. e. } x \in R
$$

这就证明了 $\chi_E$ 满足（i），（ii）．
$6^{\circ}$ 对一般的 $E \in M$ ，由于

$$
E=\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\right) \cup Z
$$

其中 $F_k$ 是 $R ^2$ 的有界闭集，$m( Z )=0,\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\right) \cap Z =\varnothing$ ．令 $K=\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k$ ，不妨设 $F_k \subset F_{k+1}$（否则，用 $\bigcup_{j=1}^k F_j$ 代替 $F_k$ ），则由 $3^{\circ}$ 与引理4．2知 $\chi_k \in F$ ，从而

$$
\chi_E=\chi_\kappa+\chi_z \in F
$$

至此，定理4．21全部证完．
关于 Fubini 定理与 Tonelli 定理，我们需要再作几点说明．
（i）从 Tonelli 定理的叙述可知，只要被积函数是非负（二维）可测的，则相应的重积分化累次积分与累次积分交换次序都是可行的．所以在实际计算中，在有关的几个积分（重积分与积分次序不同的累次积分）当中，只需要随意计算一个（较容易算的），如果算出来是有限值，则所有其他的积分都取值有限且相等；而如果算出来的是 $+\infty$ ，则其他的积分也都是 $+\infty$ 。我们知道，为了使所讨论的积分有意义，其被积函数可测是必不可少的最低条件，因此可以说，对非负函数来说，进行这种积分的变换基本上没有任何限制．

对一般的可测函数，Fubini 定理告诉我们，只要 $f($ 二元）可积，则其重积分化累次积分以及相应累次积分交换积分次序都可行，而根据 $L$ 积分的绝对可积性，要断定 $f$（二元）可积只需验证

$$
\int_{ R ^2}|f(x, y)| d x d y<+\infty .
$$

但根据 Tonelli 定理，如果这个非负可测函数的积分是有限的，那么 $|f|$ 的二重积分就可以化成任意一种积分次序的累次积分（当然这些累次积分也就可以交换积分次序），所以在应用 Fubini 定理的实际计算过程中，只需要在 $|f|$ 的重积分与有关几个累次积分当中，随意计算一个（较容易算的）。如果算出的值有限，便知（5）成立，即 $f \in L\left( R ^2\right)$ ，从而 $f$ 的重积分以及有关几个累次积分都相等。这样看来，在一般情况下对于重积分化累次积分，Fubini 定理所给出的条件也是十分宽松的．
细想一下，积分也是一种极限，因此积分与取极限可以交换次序，实际上说的是两种特殊的累次极限可以交换次序。在 $L$ 积分理论中，积分与极限交换次序所需要的条件十分宽松，自然也启发人们，两个相继的积分交换次序的条件也应十分宽松．但宽松到如 Tonelli 定理所说的，对非负可测函数就没有任何限制，对一般可测函数，如 Fubini 定理所说的也只需 $f \in L\left( R ^2\right)$ 的地步，这确实是有些令人意想不到．可见 Fubini 定理，Tonelli 定理与 Levi 定理，Fatou 引理，Lebesgue 控制收敛定理等这一系列定理的确是 $L$ 积分理论中最美妙的结果．
（ii）Fubini 定理与 Tonelli 定理，是指全平面上的积分化为两次单积分的结果，其实很容易推广到平面的一般区域或点集上．例如，设 $f \in L(I)$ ，其中 $I=$ $[a, b] \times[c, d]$ ．则我们可在 $I$ 外令 $f(x, y)$ 为 0 ，把 $f$ 延拓到全平面，也就是令

$$
f^*(x, y)= \begin{cases}f(x, y), & (x, y) \in I, \\ 0, & (x, y) \notin I,\end{cases}
$$

则 $f^* \in L\left( R ^2\right)$ ．对 $f^*$ 用 Fubini 定理，得

$$
\int_{ R ^2} f^*(x, y) d x d y=\int_{ R } d x \int_{R} f^*(x, y) d y=\int_{R} d y \int_{R} f^*(x, y) d x .
$$

注意到 $f^*$ 与 $f$ 的关系，上式变为

$$
\int_{[a, b] \times[c, d]} f(x, y) d x d y=\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y=\int_c^d d y \int_a^b f(x, y) d x,
$$

这就是 $I$ 上的 Fubini 定理．对其他区域可类似地推出．
（iii）从这两个定理的证明过程容易看出，它们可推广到高维积分的情形．例如，设

$$
x \in R ^p, y \in R ^q, f(x, y) \in L\left( R ^{p+q}\right)
$$

其中 $p, q$ 是正整数，则有

$$
\int_{ R ^{p+q}} f(x, y) d x d y=\int_{ R ^p} d x \int_{ R ^q} f(x, y) d y=\int_{ R q} d y \int_{ R p} f(x, y) d x .
$$

例10 设 $F \subset R$ 为闭集，其余集具有有限测度，证明：函数

$$
I(x)=\int_{R} \frac{\delta(y, F)}{|x-y|^2} d y
$$

在 $F$ 上几乎处处有限，其中 $\delta(y, F)=\inf \{d(y, z) \mid z \in F\}$ 为点 $y$ 到点集 $F$ 的距离（参见 § 1.4 ，那里用了记号 $d(y, F)$ ）

证明 与 §4．3 例7相似，我们若能证得 $I \in L(F)$ ，则本题结论正确（由定理 4．8）．不同的是，在那里要证级数收敛，此处要证积分有限．

因为在用 $I$ 表示的积分中被积函数非负，由 Tonelli 定理得到（注意 $y \in F$时，$\delta(y, F)=0$ ）

$$
\begin{aligned}
\int_F I(x) d x & =\int_F \int_{R} \frac{\delta(y, F)}{|x-y|^2} d y d x \\
& =\int_{R} \int_F \frac{\delta(y, F)}{|x-y|^2} d x d y=\int_{F^c} \int_F \frac{d x}{|y-x|^2} \delta(y, F) d y
\end{aligned}
$$

而对于 $x \in F, y \in F^c,|x-y| \geqslant \delta(y, F)$ ．记 $t=y-x$ ，则 $|t| \geqslant \delta(y, F)$ ，故

$$
\int_F \frac{d x}{|y-x|^2} \leqslant \int_{\delta(y, F)}^{+\infty} \frac{2 d t}{t^2}=2(\delta(y, F))^{-1}
$$

代回上式，知 $\int_F I(x) d x \leqslant 2 \int_{F c}(\delta(y, F))^{-1} \delta(y, F) d y=2 m\left(F^c\right)<+\infty$ ．
作为 Fubini 定理的应用，下面讲述 Lebesgue 积分的几何意义．
我们知道，Riemann 意义下的定积分 $\int_a^b f(x) d x(f(x) \geqslant 0)$ 在几何上表示曲边梯形 $\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y \leqslant f(x)\}$ 的面积，一般非负函数 $f$ 在区域 $Q \subset$ $R ^n$ 上的积分 $(R) \int_Q f(x) d x$ 表示以 $Q$ 为底 $y=f(x)$ 为顶的曲顶柱体的 $(n+1$ 维）体积．与此类似，对于可测集 $E \subset R ^n$ 及非负可测函数 $y=f(x)(x \in E)$ ，Lebesgue积分 $\int_E f(x) d x$ 在几何上就是点集

$$
R(E, f)=\left\{(x, y) \mid x \in E \subset R ^n, 0 \leqslant y \leqslant f(x)\right\}
$$

的 $(n+1$ 维）测度 $(R(E, f)$ 称为函数 $f$ 的下方图形）．前面曾经一再提到过这一点，现在来证明它．其实，如果先能证明 $R(E, f)$ 是 $R ^{n+1}$ 的可测子集，则

$$
\chi_{R(E, f)}(x, y)\left(x \in R ^n, y \in R \right)
$$

是 $R ^{ n +1}$ 上的非负可测函数，因此由 Tonelli 定理可得

$$
\begin{aligned}
m R(E, f) & =\iint_{ R ^{n+1}} \chi_{R(E, \Omega}(x, y) d x d y \\
& =\int_{ R ^n}\left(\int_{-\infty}^{\infty} \chi_{R(E, \Omega}(x, y) d y\right) d x \\
& =\int_E\left(\int_0^{f(x)} d y\right) d x=\int_E f(x) d x .
\end{aligned}
$$

这就证得了上述结论．为叙述简单起见，下面仅就 $n=1$ 的情形来证明 $R(E, f)$的二维可测性，即下述定理。

## 理解
Tonelli 定理是实变函数与测度论中关于**非负可测函数**的重积分与累次积分交换顺序的重要定理。  
它是 Fubini 定理的一个特例（对非负函数成立，不要求可积），在理论和应用上都非常重要。

他的核心思想：**对于非负函数，积分与求和类似，可以无条件交换顺序**

---

## 1. 定理的陈述

设  
- $(X, \mathcal{M}, \mu)$ 和 $(Y, \mathcal{N}, \nu)$ 是 $\sigma$-有限的测度空间，  
- $f : X \times Y \to [0, \infty]$ 是 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$-可测的非负函数。

那么：

1. 对几乎所有 $x \in X$，函数 $y \mapsto f(x, y)$ 是 $\mathcal{N}$-可测的；  
   对几乎所有 $y \in Y$，函数 $x \mapsto f(x, y)$ 是 $\mathcal{M}$-可测的。

2. 函数  
   $$
   x \mapsto \int_Y f(x, y) \, d\nu(y)
   $$
   是 $\mathcal{M}$-可测的；  
   函数  
   $$
   y \mapsto \int_X f(x, y) \, d\mu(x)
   $$
   是 $\mathcal{N}$-可测的。

3. 并且有等式：
   $$
   \int_{X \times Y} f \, d(\mu \times \nu)
   = \int_X \left[ \int_Y f(x, y) \, d\nu(y) \right] d\mu(x)
   = \int_Y \left[ \int_X f(x, y) \, d\mu(x) \right] d\nu(y).
   $$
   即：**重积分等于两个累次积分**，并且可以任意交换积分次序。

---

## 2. 直观理解

- **非负性**是关键：因为函数非负，不会出现 $\infty - \infty$ 的不定型问题，所以即使积分值是无穷大，等式仍然成立。
- **$\sigma$-有限**条件是为了保证乘积测度唯一且 Fubini 型定理成立（避免不可测等怪异情况）。
- 定理告诉我们：对于非负可测函数，不需要预先知道函数是否可积，就可以随意交换积分次序。

---

## 3. 与 Fubini 定理的区别

- **Tonelli**：要求 $f \ge 0$，可测，$\sigma$-有限测度空间。结论是积分交换一定成立（可能是无穷大）。
- **Fubini**：要求 $f$ 可积（即 $\int |f| d(\mu\times\nu) < \infty$），不要求非负，结论包括积分交换和函数几乎处处可积。

通常用法（实用技巧）：
1. 要交换一个一般函数的积分次序，先用 Tonelli 定理于 $|f|$：如果 $\int |f| d(\mu\times\nu) < \infty$，则 $f$ 可积。
2. 然后对 $f$ 用 Fubini 定理交换积分。

这叫 **Fubini–Tonelli 定理**的联合应用。

---

## 4. 例子

例：  
在 $\mathbb{R}^2$ 上，$\mu = \nu =$ Lebesgue 测度，  
$$
f(x, y) = e^{-(x^2+y^2)}, \quad f \ge 0
$$
Tonelli 定理允许我们写：
$$
\int_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dA 
= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} e^{-y^2} dy\, dx
= \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \right)^2
$$
这里因为非负，不必先检查可积性，直接可交换。

例：在 $[0,1] \times [0,1]$，勒贝格测度，设  
$$
f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x}} \quad (\text{与 }y\text{ 无关})
$$
这是非负可测的。  
先对 $y$ 积分：$\int_0^1 f(x,y) dy = \frac{1}{\sqrt{x}}$。  
再对 $x$ 积分：$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2$（有限）。  
先对 $x$ 积分：$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2$，再对 $y$ 积分得 $2$。  
二重积分 $\iint \frac{1}{\sqrt{x}} dxdy = 2$。  
Tonelli 保证它们相等。

---

## 5. 核心思想总结

Tonelli 定理的核心是：  
**对于非负函数，积分与求和类似，可以无条件交换顺序**（在 σ-有限测度空间下），不会产生矛盾。  
这大大简化了许多计算和理论推导，因为我们可以自由选择方便的积分顺序。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇： Fubini 富比尼定理

下一篇：可测子集与勒贝格积分的几何意义

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)