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可测子集与勒贝格积分的几何意义

定理4．22 若 $E \subset R$ 为可测集，$f$ 为 $E$ 上的非负可测函数，则

$$
R(E, f)=\{(x, y) \mid x \in E, 0 \leqslant y \leqslant f(x)\}
$$

为 $R ^2$ 的可测子集。
证明 对定义在 $R ^2$ 上的函数 $F_1(x, y)=f(x)$ 和 $F_2(x, y)=y((x, y) \in$
$R ^2$ ），若能证得 $F_1$ 和 $F_2$ 是在 $R ^2$ 上的可测函数，则有

$$
\begin{aligned}
R(E, f)= & \left\{(x, y) \in R ^2 \mid F_1(x, y)-F_2(x, y) \geqslant 0\right\} \\
& \cap\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x \in R , y \geqslant 0\right\}
\end{aligned}
$$

从而 $R(E, f)$ 必为 $R ^2$ 的可测子集．而为了证明 $F_1$ 可测，我们先来证明，对 $R$ 的任意可测子集 $S$ ，

$$
S^*=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x \in S, y \in R \right\}
$$

是 $R ^2$ 中的可测集．为此，先考虑

$$
S_N^*=\left\{(x, y) \in R ^2|x \in S,|y|<N\} .\right.
$$

由于 $S$ 可测，存在 $R$ 的 $G_\delta$ 型集 $H$ ，使得 $S \subset H, m(H \backslash S)=0$（定理 2．7）．因此对任意正整数 $k$ ，存在 $G_k \subset R$ ，使得 $H \backslash S \subset G_k$ ，且 $m G_k<1 / k$ ．这时

$$
\left(G_k\right)_N=\left\{(x, y) \in R ^2\left|x \in G_k,|y|<N\right\}\right.
$$

是 $R ^2$ 的开集，且 $m\left(G_k\right)_N=\left(m G_k\right) \cdot 2 N=2 N / k$ ．
由于

$$
\bigcap_{k=1}^{\infty}\left(G_k\right)_N \supset(H \backslash S)_N^*=\{(x, y)|x \in H \backslash S,|y|<N\},
$$

而 $\bigcap_{k=1}^{\infty}\left(G_k\right)_N$ 是 $R ^2$ 的 $G_\delta$ 型集，且

$$
\begin{aligned}
m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}\left(G_k\right)_N^*\right) & =m\left(\lim _{p \rightarrow \infty} \bigcap_{k=1}^p\left(G_k\right)_N^*\right)=\lim _{p \rightarrow \infty} m\left(\bigcap_{k=1}^p\left(G_k\right)_N^*\right) \\
& \leqslant \lim _{p \rightarrow \infty} m\left(G_p\right)_N^*=\lim _{p \rightarrow \infty} \frac{2 N}{p}=0
\end{aligned}
$$

故 $m\left((H \backslash S)_N^*\right)=0$ ，对任意 $N$ 成立，从而

$$
m\left((H \backslash S)^*\right) \leqslant \sum_{N=1}^{\infty} m\left((H \backslash S)_N^*\right)=0
$$

其中

$$
(H \backslash S)^*=H^* \backslash S^*=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x \in H \backslash S, y \in R \right\} .
$$

由 $H^*=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x \in H, y \in R \right\}$ 是 $R ^2$ 上的 $G_\delta$ 型集，知 $S^*$ 可测（定理 2．7）．

结合 $f$ 的可测性，知 $\{x \mid f(x)>a\}$ 可测，从而 $\{(x, y) \mid f(x)>a, y \in R \}$ 可测，即函数 $F_1$ 在 $R ^2$ 可测，同理可证 $F_2$ 在 $R ^2$ 可测．因此 $R(E, f)$ 可测． $\square$
这样，作为 Fubini 定理的简单推论，我们证明了 Lebesgue 积分的几何意义．

## 勒贝格积分

## 1. 黎曼积分的几何意义（回顾）

对于一元函数 $ f : [a,b] \to \mathbb{R} $ 非负：

- **黎曼积分**：把定义域区间 $[a,b]$ 分割成小区间，每个小区间上取函数值（比如左端点值）作高，形成矩形，用矩形面积之和逼近曲线下面积。
- 核心思想：**竖着切**——按定义域划分，近似时用“函数值 × 区间长度”。
- 缺点：如果函数剧烈震荡，某些小区间内函数值变化大，近似效果差，甚至不可积。

---

## 2. 勒贝格积分的基本思想

勒贝格积分是 **横着切**：

- 把值域 $\mathbb{R}$ 分割成小区间：例如 $ [y_0, y_1), [y_1, y_2), \dots $
- 考虑**水平线** $y = t$ 与函数图像相交，看哪些 $x$ 满足 $y_{k} \le f(x) < y_{k+1}$，即看集合
$$
E_k = \{ x \in [a,b] \mid y_k \le f(x) < y_{k+1} \}.
$$
- 这些 $E_k$ 不一定是区间，可能是很复杂的点集，但我们用 **测度 $m(E_k)$** 表示它的“广义长度”。
- 近似面积 = $\sum y_k \cdot m(E_k)$，即用水平带形面积来逼近。

---

## 3. 几何图像

想象非负函数 $y = f(x)$ 的图像：

- **黎曼**：竖着切成窄条，每个窄条高不同，宽固定（dx）。
- **勒贝格**：横着切成水平带，每个水平带的高度区间固定 $[y_k, y_{k+1})$，但宽度是定义域中满足函数值落在此高度区间的那些 $x$ 的测度之和。

所以勒贝格积分是 **先对值域划分**，然后看对应的定义域集合的测度，再算面积。

---

## 4. 为什么这样更有优势？

- 可处理**剧烈震荡**的函数：比如狄利克雷函数 $D(x)$，在 $[0,1]$ 上，有理数处值为 1，无理数处值为 0。
  - 黎曼积分：任何小区间都有最大值 1 和最小值 0，黎曼和无法收敛。
  - 勒贝格积分：值域只有 0 和 1。
    - $E_1 = \{x \mid f(x)=1\}$ 是有理数集，测度 0；
    - $E_0 = \{x \mid f(x)=0\}$ 是无理数集，测度 1。
    - 积分 = $1 \cdot m(E_1) + 0 \cdot m(E_0) = 0$。

- 可以处理**不连续点很多**的函数，只要这些“坏点”的集合测度为 0，就不影响积分值。

---

## 5. 抽象几何意义

对于非负函数 $f$，勒贝格积分
$$
\int_E f(x) \, dx
$$
在几何上就是 **下方集合**
$$
\{ (x, y) \mid x \in E, \; 0 \le y \le f(x) \}
$$
的 **测度**（在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的勒贝格测度）。

这个结论是 **勒贝格积分的基本几何解释**：  
积分值 = 函数图像下方区域的 $(n+1)$ 维勒贝格测度。

---

## 6. 与黎曼积分几何意义的统一

当函数黎曼可积时，勒贝格积分与黎曼积分相等，所以“曲线下面积”的直观对两者一致。  
但勒贝格推广了“面积”的定义，使得更多函数有“面积”（即积分），并且这个面积是下方点集的勒贝格测度。

---

## 7. 总结成一句话

**勒贝格积分的几何意义**仍然是 **函数图像与 x 轴之间区域的面积**（或高维体积），不过这里的“面积”是用勒贝格测度来度量的，它对定义域的划分是按函数值大小进行的（横切），而不是按定义域区间划分（竖切）。

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