最后更新: 2025-01-21 20:31 ● 参与者查看: 15 次纠错分享参与项目词条搜索

命题变项与合式公式

命题常项
命题变项（命题变元）
常项与变项均用 $p, q, r, \ldots, p_i, q_i, r_i, \ldots$ ，等表示．
定义1．6 合式公式（简称公式）的递归定义：
（1）单个命题变项和命题常项是合式公式，称作原子命题公式
（2）若 $A$ 是合式公式，则 $(\neg A )$ 也是
（3）若 $A, B$ 是合式公式，则 $(A \wedge B),(A \vee B),(A \rightarrow B),(A \leftrightarrow B)$ 也是
（4）只有有限次地应用（1）—（3）形成的符号串才是合式公式
几点说明：
归纳或递归定义，元语言与对象语言，外层括号可以省去

定义1．7
（1）若公式 $A$ 是单个命题变项，则称 $A$ 为 0 层公式．
（2）称 $A$ 是 $n +1(n \geq 0)$ 层公式是指下面情况之一：
（a） $A =\square B , B$ 是 $n$ 层公式；
（b）$A=B \wedge C$ ，其中 $B, C$ 分别为 $i$ 层和 $j$ 层公式，且 $n = m a x (i, j)$ ；
（c）$A=B \vee C$ ，其中 $B, C$ 的层次及 $n$ 同 $(b)$ ；
（d）$A=B \rightarrow C$ ，其中 $B, C$ 的层次及 $n$ 同 $(b)$ ；
（e）$A=B \leftrightarrow C$ ，其中 $B, C$ 的层次及 $n$ 同 $(b)$ ．
（3）若公式 $A$ 的层次为 $k$ ，则称 $A$ 为 $k$ 层公式。
例如 公式 $A=p, B=\neg p, C=\neg p \rightarrow q, D=\neg(p \rightarrow q) \leftrightarrow r$ ，

$$
E=((\neg p \wedge q) \rightarrow r) \leftrightarrow(\neg r \vee s)
$$

分别为 0 层， 1 层， 2 层， 3 层， 4 层公式．

定义1．8 设 $p_1, p_2, \ldots, p_n$ 是出现在公式 $A$ 中的全部命题变项，给 $p_1, p_2, \ldots, p_n$ 各指定一个真值，称为对 $A$ 的一个赋值或解释。若使 $A$ 为 1 ，则称这组值为 $A$ 的成真赋值；若使 $A$ 为 0 ，则称这组值为 $A$ 的成假赋值。

几点说明：
$A$ 中仅出现 $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ，给 $A$ 赋值 $\alpha=\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n$ 是指 $p_1=\alpha_1, p_2=\alpha_2, \ldots, p_n=\alpha_n, \alpha_i=0$ 或 $1, \alpha_i$ 之间不加标点符号
$A$ 中仅出现 $p, q, r, \ldots$ ，给 $A$ 赋值 $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \ldots$ 是指 $p=\alpha_1, q=\alpha_2, r=\alpha_3 \ldots$
－含 $n$ 个命题变项的公式有 $2^n$ 个赋值．
如 $000,010,101,110$ 是 $\neg(p \rightarrow q) \leftrightarrow r$ 的成真赋值 $001,011,100,111$ 是成假赋值．

上一篇：蕴涵联结词

下一篇：真值表

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)