最后更新: 2025-11-08 14:49 查看: 195 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

等值演算

## 等值演算
两个公式在什么情况下代表了同一个命题呢？抽象地看，**它们的真值完全相同时即代表了相同的命题**。

**定义1.11** 设 $A$ 和 $B$ 为两个命题公式，若 $A, B$ 构成的等价式 $A \leftrightarrow B$ 为重言式，则称 $A$与 $B$ 是等值的，记作 $A \Leftrightarrow B$ ．

设 $A, B, C$ 为任意的公式，公式之间的等值关系具有如下性质：
（1）自反性：$A \Leftrightarrow A$ ．
（2）对称性：若 $A \Leftrightarrow B$ ，则 $B \Leftrightarrow A$ ．
（3）传递性：若 $A \Leftrightarrow B, B \Leftrightarrow C$ ，则 $A \Leftrightarrow C$ ．
设公式 $A, B$ 共含有 $n$ 个命题变项，可能 $A$ 或 $B$ 有哑元，若 $A$ 与 $B$ 有相同的真值表，则说明在 $2^n$ 个赋值的每个赋值下，$A$ 与 $B$ 的真值都相同，于是等价式 $A \leftrightarrow B$ 应为重言式。

例如：$(p \rightarrow q) \Leftrightarrow((\neg p \vee q) \vee(\neg r \wedge r)), r$ 为左边公式的亚元。

注意 定义中给出的符号 $\Leftrightarrow$ 不是联结词符，它是用来说明 $A$ 与 $B$ 等值 $(A \leftrightarrow B$ 是重言式）的一种记法．读者不要将 $\Leftrightarrow$ 与 $\leftrightarrow$ 混为一谈，同时也要注意它与一般等号 $(=)$ 的区别．

可以用真值表的方法判别两个公式是否等值，即列出 $A \leftrightarrow B$ 的真值表，判断 $A \leftrightarrow B$ 是否为重言式．若 $A \leftrightarrow B$ 为重言式，则 $A \Leftrightarrow B$ ，否则 $A \Leftrightarrow B$ ．

例 1.10 判断下列各组公式是否等值．
（1）$\neg(p \vee q)$ 与 $\neg p \wedge \neg q$ 。
（2）$p \rightarrow(q \rightarrow r)$ 与 $(p \rightarrow q) \rightarrow r$ ．
（3）$p \rightarrow(q \rightarrow r)$ 与 $(p \wedge q) \rightarrow r$ ．
解（1）列出 $\neg(p \vee q) \leftrightarrow(\neg p \wedge \neg q)$ 的真值表如表1．11所示．

根据真值表1．11可知 $\neg(p \vee q) \leftrightarrow(\neg p \wedge \neg q)$ 为重言式，故 $\neg(p \vee q) \Leftrightarrow \neg p \wedge \neg q$ ．其实在用真值表法判断 $A \leftrightarrow B$ 是否为重言式时，真值表的最后一列（即 $A \leftrightarrow B$ 的真值表的最后结果）可以省略．若 $A$ 与 $B$ 的真值表相同，则 $A \Leftrightarrow B$ ，否则 $A \Leftrightarrow B$ ．

![图片](/uploads/2025-11/688df9.jpg)
 
 
 （2）列出 $p \rightarrow(q \rightarrow r)$ 与 $(p \rightarrow q) \rightarrow r$ 的真值表如表 1.12 所示．
 
![图片](/uploads/2025-11/8dc131.jpg)
  
  
  
 由于 $p \rightarrow(q \rightarrow r)$ 与 $(p \rightarrow q) \rightarrow r$ 的真值表不相同，所以 $p \rightarrow(q \rightarrow r) \Leftrightarrow(p \righ

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