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命题公式的赋值与真值表(重言式/矛盾式)

## 命题公式的赋值与真值表

在命题公式中如果有命题变项的出现，则其真值是不确定的．若将公式中出现的全部命题变项都解释成具体的命题之后，则命题公式就成了真值确定的命题了。

`例` 理解 $(p \vee q) \rightarrow r$ 的含义。
解：①若将 $p$ 解释成： 2 是素数；$q$ 解释成： 3 是偶数；$r$ 解释成：$\pi$ 是无理数，则 $p$ 与 $r$ 被解释成真命题，$q$ 被解释成假命题了，此时公式 $(p \vee q) \rightarrow r$ 被解释成：若 2 是素数或 3 是偶数，则 $\pi$ 是无理数．这是一个真命题．

②若 $p, q$ 的解释不变，$r$ 被解释为：$\pi$ 是有理数，则 $(p \vee q) \rightarrow r$ 被解释成：若 2 是素数或 3 是偶数，则 $\pi$ 是有理数。这是个假命题。

其实，将命题符号 $p$ 解释成真命题，相当于指定 $p$ 的真值为 1 ，解释成假命题，相当于指定 $p$ 的真值为 0．下面的问题是，指定 $p, q, r$ 的真值为何值时，$(p \vee q) \rightarrow r$ 的真值为 1 ；指定 $p, q, r$ 的真值为何值时，$(p \vee q) \rightarrow r$ 的真值为 0 ．

### 命题公式的赋值

**定义1.8** 命题公式的赋值。
设 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 是出现在公式 $A$ 中所有的命题变项，给 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 各指定一个真值，称为对 $A$ 的一个赋值（或解释）．若指定的一组值使 $A$ 的真值为 1 ，则称这组值为 $A$ 的成真赋值；若使 $A$ 的真值为 0 ，则称这组值为 $A$ 的成假赋值．

不难看出，含 $n(n \geqslant 1)$ 个命题变项的公式共有 $2^n$ 个不同的赋值．为看清公式在所有赋值下的取值，通常构造下面的＂真值表＂．

### 真值表
**定义1.9** 将命题公式 $A$ 在所有赋值下的取值情况列成表，称作 $A$ 的**真值表**．

构造真值表的具体步骤如下：
（1）找出公式 $A$ 中所含的所有命题变项 $p_1, p_2, \cdots, p_n$（若无下标就按字典顺序排列），列出 $2^n$ 个赋值．默认，赋值从 $00 \cdots 0$ 开始，然后按二进制加法每次加 1 ，依次写出每个赋值，直到 $11 \cdots 1$ 为止．
（2）按从低到高的顺序写出公式的各个层次．
（3）对应各个赋值计算出各层次公式的真值，直到最后计算出公式的真值．
注意 关于 $n$ 个命题变元 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 可以构造多少个真值表呢？由于 $n$ 个命题变元共产生 $2^n$ 个不同赋值，在每个赋值下，公式的值只有 0 和 1 两个值，于是 $n$ 个命题变元的真值表共有 $2^{2^n}$ 种不同情况。

`例`构造下列公式的真值表。
（1）$(\neg p \wedge q) \rightarrow \neg r$ 。
（2）$(p \wedge \neg p) \leftrightarrow(q \wedge \neg q)$ 
（3）$\neg(p \rightarrow q) \wedge q \wedge r$ ．

解（1）$(\neg p \wedge q) \rightarrow \neg r$ 的真值表如表 1.8 所示。

![图片](/uploads/2025-11/3c6f61.jpg){width=600px}
 
 
 （2）$(p \wedge \neg p) \leftrightarrow(q \wedge \neg q)$ 的真值表如表 1.9 所示．
 
  ![图片](/uploads/2025-11/2d7a98.jpg){width=600px}
 
（3）$\neg(p \rightarrow q) \wedge q \wedge r$ 的真值表如表 1.10 所示．

![图片](/uploads/2025-11/9553fc.jpg){width=600px}
 
 ##  命题公式的类型
可根据公式在各种不同赋值情况下的取值情况，将命题公式进行分类．

**定义1．10** 设 $A$ 为任一命题公式。

（1）若 $A$ 在它的所有赋值下取值均为真，则称 $A$ 是**重言式**或**永真式**．
（2）若 $A$ 在它的所有赋值下取值均为假，则称 $A$ 是**矛盾式**或**永假式**．
（3）若 $A$ 不是矛盾式，则称 $A$ 是**可满足式**．
从定义不难看出以下几点：

（1）$A$ 是可满足式的等价定义是 $A$ 至少存在一个成真赋值．
（2）重言式一定是可满足式，但反之不一定成立．若公式 $A$ 是可满足式，且它至少存在一个成假赋值，则称 $A$ 为非重言式的可满足式．
（3）可以根据真值表来判断公式的类型：
（i）若真值表最后一列全为 1 ，则公式为重言式．
（ii）若真值表最后一列全为 0 ，则公式为矛盾式．
（iii）若真值表最后一列中至少有一个 1 ，则公式为可满足式．
从表1．8～表1．10可知，例1．8中（1）为非重言式的可满足式；（2）为重言式；（3）为矛盾式．

`例` 给定命题：＂如果明天天晴，且我有空，我就去踢球。＂用命题公式符号化该命题。
解 设 $P$ ：明天天晴，$Q$ ：我有空，$R$ ：我去踢球，则原命题符号化为 $(P \wedge Q) \rightarrow R$ 。
这里需要强调，联结词之间的运算有不同的**优先级**，联结词运算的优先次序为 $\neg, \wedge$ ， $V, \rightarrow, \leftrightarrow$ ，如果有括号，则先进行括号内的运算。
 
 `例` 写出下列公式的真值表，并求它们的成真赋值和成假赋值：
（1）$(p \vee q) \rightarrow \neg r$
（2）$(q \rightarrow p) \wedge q \rightarrow p$
（3）$\neg(\neg p \vee q) \wedge q$

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![图片](/uploads/2025-01/5d5613.jpg)
  
 
## 练习
`例` 将下列命题符号化
（1）豆沙包是由面粉和红小豆做成的．
（2）苹果树和梨树都是落叶乔木．
（3）王小红或李大明是物理组成员。
（4）王小红或李大明中的一人是物理组成员。
（5）由于交通阻塞，他迟到了。
（6）如果交通不阻塞，他就不会迟到。
（7）他没迟到，所以交通没阻塞．
（8）除非交通阻塞，否则他不会迟到。
（9）他迟到当且仅当交通阻塞．

提示：
分清复合命题与简单命题分清相容或与排斥或
分清必要与充分条件及充分必要条件
答案：（1）是简单命题
（2）是合取式
（3）是析取式（相容或）
（4）是析取式（排斥或）设 $p$ ：交通阻塞，$q$ ：他迟到
（5）$p \rightarrow q$ ，
（6）$\neg p \rightarrow \neg q$ 或 $q \rightarrow p$
（7）$\neg q \rightarrow \neg p$ 或 $p \rightarrow q$ ，
（8）$q \rightarrow p$ 或 $\neg p \rightarrow \neg q$
（9）$p \leftrightarrow q$ 或 $\neg p \leftrightarrow \neg q$
可见（5）与（7），（6）与（8）相同（等值）

`例` 设 $p : 2$ 是素数
$q:$ 北京比天津人口多
$r$ ：美国的首都是旧金山求下面命题的真值
（1）$(p \vee q) \rightarrow r$ 
0
（2）$(q \vee r) \rightarrow(p \rightarrow \neg r)$
1
（3）$(q \rightarrow r) \leftrightarrow(p \wedge \neg r)$
0
（4）$(q \rightarrow p) \rightarrow((p \rightarrow \neg r) \rightarrow(\neg r \rightarrow \neg q))$
0

`例` 用真值表判断下面公式的类型
（1）$p \wedge r \wedge \neg(q \rightarrow p)$
（2）$((p \rightarrow q) \rightarrow(\neg q \rightarrow \neg p)) \vee r$
（3）$(p \rightarrow q) \leftrightarrow(p \rightarrow r)$

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