最后更新: 2025-11-08 14:06 查看: 202 次纠错评论(0) 课件开VIP

命题公式

##  命题公式的定义
 上一节说明了命题可以表示为符号串，那么符号串是否都代表命题呢？显然不是， 如＂$p q \wedge$＂＂$p \rightarrow$＂．那么哪些符号串可以代表命题呢？
 
简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位。由于简单命题的真值唯一确定，所以也称简单命题为**命题常项**或**命题常元**。从本节开始对命题进一步抽象，用 $p, q, r, \cdots$ 符号表示一个抽象的命题，而不是一个具体的命题时，就称它为**命题变项**或**命题变元**。当 $p, q, r$ ， $\cdots$ 表示命题变项时，它们就成了取值 0 或 1 的变项，因而命题变项已不是命题．当一个命题变项用一个特定的命题代替时，才能确定其真值．

这样一来 $p, q, r, \cdots$ 既可以表示命题常项，也可以表示命题变项．在使用中，需要由上下文确定它们表示的是命题常项还是命题变项．

将命题常项或命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串称为命题公式．命题公式的定义如下。

**定义1.6 命题公式** 
（1）单个命题常项或命题变项是命题公式，称为**原子命题公式**．
（2）若 $A$ 是命题公式，则 $(\neg A)$ 也是命题公式．
（3）若 $A, B$ 是命题公式，则 $(A \wedge B),(A \vee B),(A \rightarrow B),(A \leftrightarrow B)$ 也是命题公式．
（4）只有有限次地应用（1）$\sim$（3）形式的符号串才是命题公式．

`例`判定下列各式中哪些是命题公式。
（1）$(\neg p$ ．
（2）$(p q \wedge)$ ．
（3）$((\neg p) \vee q) \rightarrow r) \leftrightarrow s)）$ ．
（4）$(\neg p)$ ．
（5）$(p \wedge q)$ ．
（6）$((((\neg p) \vee q) \rightarrow r) \leftrightarrow s)$ ．
解 根据公式的定义容易知道（1）～（3）都不是命题公式，（4）～（6）是命题公式。
需要说明的是：定义1．6给出的命题公式的定义方式称为归纳定义或递归定义，本书中还将多次出现这种定义方式．定义中的 $A$ 和 $B$ 等符号表示任意的命题公式，可以把它们替代为任意的具体公式．在不混淆的情况下，可以将命题公式简称为**公式**．

为方便和简洁起见，可以将命题公式中的一些括号省略．省略原则如下：

> **（1）最外层括号可以去掉。
（2）符合联结词运算优先级别的，括号可以去掉（见下表） 
（3）同级的运算符，按从左到右次序计算时，括号可去掉．
（4）括号不是省略得越多越好，重要的是保持公式清晰性和可理解性．**

![图片](/uploads/2025-11/51772f.jpg)

如上例 中命题公式（4）$\sim$（6）可以分别简化为 $\neg p, p \wedge q$ 和 $\neg p \vee q \rightarrow r \leftrightarrow s$ ．但（6）的简化表达式 $((\neg p \vee q) \rightarrow r) \leftrightarrow s$ 比 $\neg p \vee q \rightarrow r \leftrightarrow s$ 形式更清晰．

下面给出命题公式层次的定义．

### 命题层次
**定义1．7** 命题公式的层次。
（1）若公式 $A$ 是单个的命题变项或常项，则称 $A$ 为 0 层合式．
（2）称 $A$ 是 $n+1(n \geqslant 0)$ 层公式是指下面情况之一：
（i）$A=\neg B, B$ 是 $n$ 层公式．
（ii）$A=B \wedge C$ ，其中 $B, C$ 分别为 $i$ 层和 $j$ 层公式，且 $n=\max (i, j)$ ．
（iii）$A=B \vee C$ ，其中 $B, C$ 的层次及 $n$ 同（ii）．
（iv）$A=B \rightarrow C$ ，其中 $B, C$ 的层次及 $n$ 同（ii）．
（v）$A=B \leftrightarrow C$ ，其中 $B, C$ 的层次及 $n$ 同（ii）．
（3）若公式 $A$ 的层次为 $k$ ，则称 $A$ 是 $k$ 层公式．
易知 $p, \neg p, \neg p \rightarrow q,(\neg p \wedge q) \rightarrow r,(\neg(p \rightarrow \neg q)) \wedge((r \vee s) \leftrightarrow \neg p)$ 分别为 $0,1,2,3,4$层公式．

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