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命题、联结词、符号化与优先级

##  命题的概念
命题是逻辑的基本成分．所谓命题就是指具有真假意义的陈述句，即一个陈述事实的陈述句，但不能既真又假．作为命题的陈述句所表达的判定结果称为命题的真值．命题的真值只有＂真＂和＂假＂两种，常用 1 表示真， 0 表示假．真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题．任何命题的真值都是唯一的．

> 注意：感叹句、祈使句、疑问句都不是命题
陈述句中的悖论，判断结果不惟一确定的不是命题

判断给定句子是否为命题，应该分两步：**首先判断它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值**．
 
 
`例`判断下列句子是否为命题．
（1） 4 是素数．
（2）$\pi$ 是无理数．
（3）$x>y$ ．
（4）火星上有水．
（5）大于 2 的偶数均可分解为两个素数的和。
（6）成都是一个旅游城市。
（7）中国是世界上人口最多的国家．
（8）您去学校吗？
（9）请不要吸烟！
（10）这朵花真美丽啊！

解 本题的 10 个句子中，（8）是疑问句，（9）是祈使句，（10）是感叹句，因而这 3 个句子都不是命题。

剩下的 7 个句子都是陈述句，但（3）无确定的真值，根据 $x$ 和 $y$ 的不同取值情况它可真可假，即无唯一的真值，因而不是命题．

本例中，只有（1），（2），（4），（5），（6），（7）是命题。（1）为假命题，（2），（6），（7）为真命题．

虽然今天我们还不知道（4），（5）的真值，但它们的真值客观存在，而且是唯一的．

本例中的命题都不能被分解成更简单的命题，我们称这样的命题是**简单命题**（或**原子命题**、**本原命题**）．

### 悖论逻辑
`例`判断下列句子是否为命题:我正在说假话。
解 该句子为陈述句，若真值为真，即＂我正在说假话＂为真，也就是＂我正在说真话＂，则又推出该句子真值应为假；反之，若真值为假，即＂我正在说假话＂为假，也就是 ＂我正在说假话＂，则又推出句子的真值应为真。于是＂我正在说假话＂既不为真又不为假，因此它不是命题．

**像这样由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论，凡是悖论都不是命题**。

注意（1）一切没有判断内容的句子都不能作为命题，如命令句、感叹句、疑问句、祈使句、二义性的陈述句等。
（2）约定在数理逻辑中像＂$x$＂＂$y$＂＂$z$＂等字母总是表示变量．
（3）命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题．命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、条件、实际情况等才能确定其真值．

## 趣味阅读 
### 1．聪明的囚徒
古希腊有个国王，对处死囚徒的方法作了两种规定：一种是砍头，另一种是绞刑．他自恃聪明地做出一种规定：囚徒可以说一句话．如果囚徒说的是真话，那么处以绞刑；如果囚徒说的是假话，那么处以砍头。

许多囚徒或者是因为说了假话而被砍头，或者因为说了真话而被处以绞刑．
有一位极其聪明的囚徒，当轮到他来选择处死方法时，他说出一句巧妙的话，结果使这个国王无论按照哪种方法处死他，都违背自己的决定，只得将他放了。

试问：这囚徒说了句什么话？

**囚徒说了：国王决定将我砍头**

如果这和国王的规定一致，是说真话，因而按国王决定的处死方法，讲真话应处以绞刑。这样造成了国王的规定（砍头）同按国王决定的处死方法相矛盾。如果这和国王的规定不一致，是说的假话，因而按国王决定的处死方法，讲假话应予以砍头，这样又造成了国王的规定（绞刑）同按国王决定的处死方法相矛盾。国王处于进退维谷的处境，只好免于处死，将囚徒放掉．

### 2．理发师问题

在一个小镇上，有一个理发师公开宣布：他给而且只给小镇上所有不给自己理发的人理发。现在要问：这位理发师的头由谁来理？

如果理发师的头由别人给他理，即理发师自己不给自己理发，那么按规定这位理发师的头应该由自己理。

如果理发师的头由他自己理，按规定他只给那些不给自己理发的人理发，那么理发师的头不能由他自己理，即理发师的头应该由别人给他理。

这就产生了矛盾：理发师的头既不能由别人理，也不能由他自己理，这位理发师的规定是一个悖论．

这类问题，我们可以举出大量的例子．某些集合看起来是集合自身的元素，如所有不是苹果的东西的集合，它本身就不是苹果，它必须是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是集合本身的元素组成的集合，请问：这个集合是它本身的元素吗？这个问题我们是很难作出回答的。

## 复合命题

`例` 判断下列句子是否为命题．
（1） 2 不是无理数．
（2） 3 既是素数，又是奇数．
（3） 2 或 4 是素数．
（4）如果周末天气晴朗，则我们去郊游．
（5）$\triangle A B C$ 是等腰三角形当且仅当 $\triangle A B C$ 中有两个角相等．
以上的句子都是命题．它们通过诸如＂$\cdots \cdots$ 不是 $\cdots \cdots$＂＂$\cdots \cdots$ 且 $\cdots \cdots$＂$\cdots \cdots$ 或 $\cdots \cdots$＂ ＂如果 $\cdots \cdots$ 则 $\cdots \cdots$＂$\cdots \cdots$ 当且仅当 $\cdots \cdots$＂等连词联结而成，这样的命题，称为复合命题．

一般来说，命题可分两种类型：
**（1）原子命题**（简单命题、本原命题）：不能被分解为更为简单命题的命题．
**（2）复合命题**：可以分解为更为简单的命题，而且这些简单命题之间是通过如＂$\cdots \cdots$不 $\cdots \cdots$＂＂$\cdots \cdots$ 并且 $\cdots \cdots$＂＂$\cdots \cdots$ 或者 $\cdots \cdots$＂＂如果 $\cdots \cdots$ 则 $\cdots \cdots$＂＂$\cdots \cdots$ 当且仅当 $\cdots \cdots$＂等这样的关联词和标点符号复合而构成的命题，称为复合命题．

本书中，用小写英文字母或小写英文字母带下标来表示一个简单命题，称为命题标识符。命题真值用 0 或 1 进行表示，其中： 0 表示假， 1 表示真。

例如，可将例1中的简单命题进行符号化。如 $p: 4$ 是素数；$q:

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