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命题、联结词、符号化与优先级

##  命题的概念
命题是逻辑的基本成分．所谓命题就是指具有真假意义的陈述句，即一个陈述事实的陈述句，但不能既真又假．作为命题的陈述句所表达的判定结果称为命题的真值．命题的真值只有＂真＂和＂假＂两种，常用 1 表示真， 0 表示假．真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题．任何命题的真值都是唯一的．

> 注意：感叹句、祈使句、疑问句都不是命题
陈述句中的悖论，判断结果不惟一确定的不是命题

判断给定句子是否为命题，应该分两步：**首先判断它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值**．
 
 
`例`判断下列句子是否为命题．
（1） 4 是素数．
（2）$\pi$ 是无理数．
（3）$x>y$ ．
（4）火星上有水．
（5）大于 2 的偶数均可分解为两个素数的和。
（6）成都是一个旅游城市。
（7）中国是世界上人口最多的国家．
（8）您去学校吗？
（9）请不要吸烟！
（10）这朵花真美丽啊！

解 本题的 10 个句子中，（8）是疑问句，（9）是祈使句，（10）是感叹句，因而这 3 个句子都不是命题。

剩下的 7 个句子都是陈述句，但（3）无确定的真值，根据 $x$ 和 $y$ 的不同取值情况它可真可假，即无唯一的真值，因而不是命题．

本例中，只有（1），（2），（4），（5），（6），（7）是命题。（1）为假命题，（2），（6），（7）为真命题．

虽然今天我们还不知道（4），（5）的真值，但它们的真值客观存在，而且是唯一的．

本例中的命题都不能被分解成更简单的命题，我们称这样的命题是**简单命题**（或**原子命题**、**本原命题**）．

### 悖论逻辑
`例`判断下列句子是否为命题:我正在说假话。
解 该句子为陈述句，若真值为真，即＂我正在说假话＂为真，也就是＂我正在说真话＂，则又推出该句子真值应为假；反之，若真值为假，即＂我正在说假话＂为假，也就是 ＂我正在说假话＂，则又推出句子的真值应为真。于是＂我正在说假话＂既不为真又不为假，因此它不是命题．

**像这样由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论，凡是悖论都不是命题**。

注意（1）一切没有判断内容的句子都不能作为命题，如命令句、感叹句、疑问句、祈使句、二义性的陈述句等。
（2）约定在数理逻辑中像＂$x$＂＂$y$＂＂$z$＂等字母总是表示变量．
（3）命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题．命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、条件、实际情况等才能确定其真值．

## 趣味阅读 
### 1．聪明的囚徒
古希腊有个国王，对处死囚徒的方法作了两种规定：一种是砍头，另一种是绞刑．他自恃聪明地做出一种规定：囚徒可以说一句话．如果囚徒说的是真话，那么处以绞刑；如果囚徒说的是假话，那么处以砍头。

许多囚徒或者是因为说了假话而被砍头，或者因为说了真话而被处以绞刑．
有一位极其聪明的囚徒，当轮到他来选择处死方法时，他说出一句巧妙的话，结果使这个国王无论按照哪种方法处死他，都违背自己的决定，只得将他放了。

试问：这囚徒说了句什么话？

**囚徒说了：国王决定将我砍头**

如果这和国王的规定一致，是说真话，因而按国王决定的处死方法，讲真话应处以绞刑。这样造成了国王的规定（砍头）同按国王决定的处死方法相矛盾。如果这和国王的规定不一致，是说的假话，因而按国王决定的处死方法，讲假话应予以砍头，这样又造成了国王的规定（绞刑）同按国王决定的处死方法相矛盾。国王处于进退维谷的处境，只好免于处死，将囚徒放掉．

### 2．理发师问题

在一个小镇上，有一个理发师公开宣布：他给而且只给小镇上所有不给自己理发的人理发。现在要问：这位理发师的头由谁来理？

如果理发师的头由别人给他理，即理发师自己不给自己理发，那么按规定这位理发师的头应该由自己理。

如果理发师的头由他自己理，按规定他只给那些不给自己理发的人理发，那么理发师的头不能由他自己理，即理发师的头应该由别人给他理。

这就产生了矛盾：理发师的头既不能由别人理，也不能由他自己理，这位理发师的规定是一个悖论．

这类问题，我们可以举出大量的例子．某些集合看起来是集合自身的元素，如所有不是苹果的东西的集合，它本身就不是苹果，它必须是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是集合本身的元素组成的集合，请问：这个集合是它本身的元素吗？这个问题我们是很难作出回答的。

## 复合命题

`例` 判断下列句子是否为命题．
（1） 2 不是无理数．
（2） 3 既是素数，又是奇数．
（3） 2 或 4 是素数．
（4）如果周末天气晴朗，则我们去郊游．
（5）$\triangle A B C$ 是等腰三角形当且仅当 $\triangle A B C$ 中有两个角相等．
以上的句子都是命题．它们通过诸如＂$\cdots \cdots$ 不是 $\cdots \cdots$＂＂$\cdots \cdots$ 且 $\cdots \cdots$＂$\cdots \cdots$ 或 $\cdots \cdots$＂ ＂如果 $\cdots \cdots$ 则 $\cdots \cdots$＂$\cdots \cdots$ 当且仅当 $\cdots \cdots$＂等连词联结而成，这样的命题，称为复合命题．

一般来说，命题可分两种类型：
**（1）原子命题**（简单命题、本原命题）：不能被分解为更为简单命题的命题．
**（2）复合命题**：可以分解为更为简单的命题，而且这些简单命题之间是通过如＂$\cdots \cdots$不 $\cdots \cdots$＂＂$\cdots \cdots$ 并且 $\cdots \cdots$＂＂$\cdots \cdots$ 或者 $\cdots \cdots$＂＂如果 $\cdots \cdots$ 则 $\cdots \cdots$＂＂$\cdots \cdots$ 当且仅当 $\cdots \cdots$＂等这样的关联词和标点符号复合而构成的命题，称为复合命题．

本书中，用小写英文字母或小写英文字母带下标来表示一个简单命题，称为命题标识符。命题真值用 0 或 1 进行表示，其中： 0 表示假， 1 表示真。

例如，可将例1中的简单命题进行符号化。如 $p: 4$ 是素数；$q: \pi$ 是无理数；$r:$ 火星上有水；$s$ ：大于 2 的偶数均可分解为两个素数的和等．

而对于如例3所示的复合命题的符号化，还需要将联结复合命题中各简单命题的联结词进行符号化．数理逻辑中，通常通过下列＂命题联结词＂来构成复合命题．这里的联结词是句子间的联结，而非单纯的名词、形容词、数词等的联结．

## 命题联结词

将几个命题联结组合起来的方式称为联结词。常用的联结词有下列5个。

（1）联结词“非”，记为“¬”，表示“否定”的意思。 
（2）联结词“合取”，记为“∧”，表示“并且”的意思。 
（3）联结词“析取”，记为“∨”，表示“或”的意思。 
（4）联结词“蕴含”，记为“→”，表示“如果⋯⋯，则⋯⋯”的意思。 
（5）联结词“等价”，记为“↔”，表示“当且仅当”的意思。

### 否定联结词
定义 设 $p$ 为命题，复合命题＂非 $p$＂（或＂$p$ 的否定＂）称为 $p$ 的否定式，记作 $\neg p$ ，符号 $\neg$ 称作否定联结词．

由定义知：$\neg p$ 的逻辑关系为 $p$ 不成立，因而当 $p$ 为真时，$\neg p$ 为假；反之当 $p$ 为假时， $\neg p$ 为真．它的真值由表 1.1 决定．

![图片](/uploads/2025-11/fda28e.jpg)
 
例如，令 $p: 2$ 是无理数（真值为 0 ），则＂ 2 不是无理数＂符号化为 $\neg p$ ，真值为 1 ．

### 合取联结词

定义 设 $p, q$ 为两个命题，复合命题＂$p$ 并且 $q$＂（或＂$p$ 与 $q$＂）称为 $p$ 与 $q$ 的合取式，记作 $p \wedge q$ ，读作＂$p$ 与 $q$＂或＂$p$ 合取 $q$＂．符号 $\wedge$ 称作合取联结词．

规定 $p \wedge q$ 为 1 当且仅当 $p$ 与 $q$ 同时为 1 。它的真值由表1．2决定。

![图片](/uploads/2025-11/b2f53a.jpg)
 
 
例如，令 $p: 3$ 是素数（真值为 1 ），$q: 3$ 是奇数（真值为 1 ），则复合命题＂ 3 既是素数，又是奇数＂符号化为 $p \wedge q$ ，真值为 1 ．

`例` 将下列命题符号化．
（1）小莉既聪明，又刻苦。
（2）小莉不仅聪明，而且刻苦．
（3）小莉虽然聪明，但不刻苦．
（4）张东与王红都是三好生．
（5）张东与王红是同学．
解（1），（2），（3）都是复合命题，将其中的简单命题分别符号化，设 $p:$ 小莉聪明，$q:$小莉刻苦，则（1），（2），（3）分别符号化为 $p \wedge q, p \wedge q, p \wedge \neg q$ 。
（4）和（5）表面看起来有点相似，都用了＂与＂，但（4）是复合命题，表示张东是三好生，并且王红是三好生．设 $r$ ：张东是三好生，$s$ ：王红是三好生，则（4）符号化为 $r \wedge s$ ．但 （5）中张东与王红是句子的主语，这句话是一个简单命题，（5）可以符号化为 $u$ ．

### 析取联结词

定义 设 $p, q$ 为两个命题，复合命题＂$p$ 或 $q$＂称为 $p$ 与 $q$ 的析取式，记作 $p \vee q$ ，读作＂$p$ 或 $q$＂或＂$p$ 析取 $q$＂．符号 $\vee$ 称作析取联结词。

规定 $p \vee q$ 为 0 当且仅当 $p$ 与 $q$ 同时为 0 ．它的真值由表 1.3 决定．

![图片](/uploads/2025-11/e8b2d1.jpg)

例如，令 $p: 2$ 是素数（真值为 1 ），$q: 4$ 是素数（真值为 0 ），则复合命题＂ 2 或 4 是素数＂．符号化为 $p \vee q$ ，真值为 1 。

自然语言中的＂或＂具有二义性，它有时具有相容性（即它联结的两个命题可以同时为真），有时具有排斥性（即只有当一个为真，另一个为假时才为真），对应的或分别称为相容或和排斥或．自然语言中的或还可以表示近似数的意思，比如＂去教室需要 7 或 8 分钟＂，这里的＂或＂不是联结词。

在数理逻辑中，析取联结词 $\vee$ 表示的是＂相容或＂．
使用 $\vee$ 联结词需要注意自然语言中＂或＂的具体意义，要正确表达原命题的意义，不能有二义性．

`例`将下列命题符号化。
（1）小莉爱唱歌或爱跳舞。
（2）小莉只能从筐里拿一个苹果或一个梨子。
（3）小莉在教室或者在图书馆．
解 先给出简单命题，将其符号化，然后再将复合命题符号化．
（1）设 $p$ ：小莉爱唱歌，$q$ ：小莉爱跳舞．
显然这个＂或＂为＂相容或＂，即当 $p$ 与 $q$ 中有一个为真，包括两个都为真时，这个命题为真，所以（1）符号化为 $p \vee q$ 。
（2）设 $p$ ：小莉从筐里拿一个苹果，$q$ ：小莉从筐里拿一个梨子。
由题意可知，这个＂或＂为排斥或．$p, q$ 的取值组合有 4 种，该复合命题为真当且仅当 $p$ 和 $q$ 其中一个为真，另一个为假．可以使用 $\neg, ~ \wedge, ~ \vee$ 这 3 个联结词将命题符号化为 $(\neg p \wedge q) \vee(p \wedge \neg q)$ ，不难验证，它准确地表达了（2）的原意．它的真值由表1．4决定．

![图片](/uploads/2025-11/480a6b.jpg)
 
 （3）设 $p$ ：小莉在教室，$q$ ：小莉在图书馆．
由题意可知，这个＂或＂为排斥或。可以符号化为 $(\neg p \wedge q) \vee(p \wedge \neg q)$ 。但由于小莉不可能同时在教室，又在图书馆，即 $p$ 与 $q$ 不能同时为真，$p$ 与 $q$ 的取值组合只有 3 种，所以可以将命题符号化为 $p \vee q$ 。

### 蕴涵式
定义  设 $p, q$ 为两个命题，复合命题＂如果 $p$ ，则 $q$＂称为 $p$ 与 $q$ 的蕴涵式，记作 $p \rightarrow q$ ，读作＂$p$ 蕴涵 $q$＂，符号 $\rightarrow$ 称作蕴涵联结词，并称 $p$ 为蕴涵式的前件，$q$ 为蕴涵式的后件．

规定 $p \rightarrow q$ 为假当且仅当 $p$ 为真，$q$ 为假．它的真值由表 1.5 决定．

![图片](/uploads/2025-11/db383c.jpg)
 
 
 例如，若令 $p: 8$ 能被 4 整除（真值为 1 ），$q: 8$ 能被 2 整除（真值为 1 ），则复合命题＂如果 8 能被 4 整除，则 8 能被 2 整除＂符号化为 $p \rightarrow q$ ，真值为 1 。

关于如何理解 $p \rightarrow q$ 的真值，我们可以举一个例子来说明．

`例`  一个父亲对儿子说：＂如果我去书店，就给你买画报．＂问：什么情况父亲食言？
解 设 $p$ ：父亲去书店，$q$ ：父亲给儿子买画报，则原命题符号化为 $p \rightarrow q$ ，该复合命题的真值取决于 $p$ 和 $q$ 的真值，有如下 4 种情形：

父亲没去书店，也没给儿子买画报，即 $p$ 为 $0, q$ 为 0 时，命题 $p \rightarrow q$ 为真，即父亲没有食言。

父亲没去书店，但给儿子买了画报，即 $p$ 为 $0, q$ 为 1 时，命题 $p \rightarrow q$ 为真，即父亲没有食言。

父亲去了书店，但没给儿子买画报，即 $p$ 为 $1, q$ 为 0 时，命题 $p \rightarrow q$ 为假，即父亲食言．
父亲去了书店，并给儿子买了画报，即 $p$ 为 $1, q$ 为 1 时，命题 $p \rightarrow q$ 为真，即父亲没有食言。

所以，只有在第三种情况下，父亲的话为假命题，即父亲食言．

使用联结词 $\rightarrow$ 需要注意以下几点：
（1）在自然语言中，＂如果 $p$ ，则 $q$＂中的前件 $p$ 与后件 $q$ 往往具有某种内在联系．而在数理逻辑中，$p$ 与 $q$ 可以无任何内在联系．
（2）在数学或其他自然科学中，＂如果 $p$ ，则 $q$＂往往表达的是前件 $p$ 为真，后件 $q$ 也为真的推理关系．
（3）在数理逻辑中，作为一种规定，当 $p$ 为假时，无论 $q$ 是真是假，$p \rightarrow q$ 均为真，也就是说，只有 $p$ 为真 $q$ 为假这一种情况使得复合命题 $p \rightarrow q$ 为假。
（4）$p \rightarrow q$ 的逻辑关系是 $q$ 为 $p$ 的必要条件，$p$ 为 $q$ 的充分条件。＂如果 $p$ ，则 $q$＂有多种表述方式，如＂若 $p$ ，就 $q$＂＂只要 $p$ ，就 $q$＂＂因为 $p$ ，所以 $q$＂＂只有 $q$ ，才 $p$＂＂$q$ 仅当 $p$＂＂除非 $q$ ，才 $p$＂等．

### 等价联结词
定义  设 $p, q$ 为两个命题，复合命题＂$p$ 当且仅当 $q$＂称为 $p$ 与 $q$ 的等价式，记作 $p \leftrightarrow q$ ，读作＂$p$ 等价 $q$＂，符号 $\leftrightarrow$ 称作等价联结词。

规定 $p \leftrightarrow q$ 为真当且仅当 $p$ 与 $q$ 同时为假，或 $p$ 与 $q$ 同时为真。它的真值由表 1.6 决定。

![图片](/uploads/2025-11/f2f98f.jpg)
 
 例如，若 $p: \triangle A B C$ 是等腰三角形，$q: \triangle A B C$ 中有两个角相等，则复合命题＂$\triangle A B C$是等腰三角形当且仅当 $\triangle A B C$ 中有两个角相等＂符号化为 $p \leftrightarrow q$ ．

以上定义了 5 个最基本、最常用，也是最重要的联结词，它们组成了一个联结词集  $\{\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow\}$ ，其中 $\neg$ 是一元联结词，$\wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ 为二元联结词．

## 命题的符号化
如前所述，对于简单命题的符号化，可以用小写英文字母或小写英文字母带下标来表示，而对于复合命题的符号化，可以按如下步骤进行：

第1步：找出复合命题中包含的各简单命题，分别进行符号化，即用小写英文字母或小写英文字母加下标表示每个简单命题。

第 2 步：找出联结各简单命题的联结词．

第3步：将简单命题、命题联结词和圆括号恰当地联结起来．

复合命题的真值只取决于各简单命题的真值，而与它们的内容、含义无关，与简单命题之间是否有关系无关．使用多个联结词可以组成更复杂的复合命题，此外还可以使用圆括号来表示命题联结词的使用顺序。

在求复杂的复合命题的真值时，需要依据各命题联结词的基本定义，还要遵循各联结词的优先顺序．将圆括号包含在内，规定优先顺序从高到低为（ ），ᄀ，$\wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ ，并约定对同一优先级，按照从左到右的顺序进行．各联结词的优先级如表 1.7 所示．
 ![图片](/uploads/2025-11/15df79.jpg)
 
 `例`  令 $p: 2+3=6, q$ ：雪是黑的，$r$ ：太阳从东方升起，$s$ ：大熊猫产在中国．求下列复合命题的真值．
（1）$(\neg p \wedge \neg q \wedge r) \vee \neg s$.
（2）$(\neg p \vee q \vee r) \leftrightarrow(p \wedge \neg s)$ ．
（3）$(p \leftrightarrow r) \wedge(\neg q \vee s)$ ．
解 $p, q, r, s$ 的真值分别为 $0,0,1,1$ ，容易算出（1），（2），（3）的真值分别为 $1,0,0$ ．

`例` 将下列命题符号化。
（1）小芳喜欢唱歌与跳舞。
（2）小张或小李去准备会议。
（3）小明是江苏人或浙江人。
（4）除非你努力，否则将失败。
解答与分析：用符号表示原子命题。
（1）设 $P:$ 小芳喜欢唱歌，$Q:$ 小芳喜欢跳舞。则命题可符号化为：$P \wedge Q$ 。
（2）设 $P:$ 小张去准备会议，$Q:$ 小李去准备会议。则命题可符号化为：$P \vee Q$ 。
（3）设 $P$ ：小明是江苏人，$Q:$ 小明是浙江人。则命题可符号化为：$P \oplus Q$ 。
（4）这个可理解为：如果你不努力则你将失败。设 $P:$ 你努力，$Q:$ 你失败。则命题可符号化为：$\neg P \rightarrow Q$ 。

`例`给定命题变元 $P, Q, R$ 的指派分别为 $1,0,1$ ，求下列命题公式的真值。
（1）$(P \wedge \neg Q) \vee Q \leftrightarrow(P \vee R)$
（2）$(Q \rightarrow(P \rightarrow R)) \vee((P \wedge Q) \rightarrow R)$
解答与分析：
（1）$(P \wedge \neg Q) \vee Q \leftrightarrow(P \vee R)$

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow(1 \wedge \neg 0) \vee 0 "(1 \vee 1) \\
& \Leftrightarrow 1 " 1 \\
& \Leftrightarrow 1
\end{aligned}
$$

（2）$(Q \rightarrow(P \rightarrow R)) \vee((P \wedge Q) \rightarrow R)$

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow(0 \rightarrow(1 \rightarrow 1)) \vee((1 \wedge 0) \rightarrow 1) \\
& \Leftrightarrow 1 \vee 1 \\
& \Leftrightarrow 1
\end{aligned}
$$

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