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序言：数理逻辑将的是什么

## 土耳其商人和帽子的故事

**这是著名物理学家爱因斯坦出过的一一道题．**

> 一个土耳其商人，想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两个人前来应聘。这个商人为了试一试哪一个聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开电灯后说：＂这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的。现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在头上，在我开灯后，请你们尽快地说出自己头上已戴的帽子是什么颜色的。＂说完之后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把电灯打开．这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，过了一会儿，其中一个人便喊到：＂我戴的是黑帽子．＂请问这个人猜得对吗？是怎么推导出来的？

![图片](/uploads/2025-11/ba8c50.jpg){width=300px}

通过本章的学习，您应该很容易的解决这个难题。现在我们就来分析如何解决这个问题。
## 理论分析
在本章，我们会提出三种基本逻辑运算，可分别称为析取 $(V)$ ，合取 $(\wedge)$ 和否定 $(\neg)$ 。还有两种运算：蕴涵运算 $(\rightarrow)$ 和等值运算 $(\leftrightarrow)$ ．可分别由表 2.1 和表 2.2 来定义：
 ![图片](/uploads/2025-11/fe9847.jpg) 
 
 对于命题 $P$ 与 $Q$ ，＂若 $P$ 则 $Q$＂称为**条件命题**，记作 $P \rightarrow$ $Q$ ，它的含义也规定为复合命题 $\neg P \vee Q$ ，即 $P \rightarrow Q=\neg P \vee Q$ 。由真值表 2.1 可见：在条件命题 $P \rightarrow Q$ 中，如果条件 $P$ 为假 $(0)$ ，那么 $P \rightarrow Q$ 恒为真；如果条件 $P$ 为真（ 1 ），那么 $P \rightarrow Q$ 的真假决定于结论 $Q$ 的真假。

因为由定义 $P \rightarrow Q=\neg P \vee Q$ ，所以＂$\rightarrow$＂不是一种新的运算，但由于＂若 $\cdots$ 则 $\cdots$＂的形式是人们常用的语言，所以把它当作一种重要运算，在进行推理时常常是方便的。

如果命题 $P \rightarrow Q$ 恒真，即 $P \rightarrow Q=1$ ，则称 $P$ 蕴涵 $Q$ ，故也称＂$\rightarrow$＂为**蕴涵运算**，当 $P \rightarrow Q=1$ 时，也记成 $P \Rightarrow Q$ ，这正是我们数学书上常遇到的情形．严格说，$P \Rightarrow Q$ 不是命题，而是 $P$与 $Q$ 之间的一种关系。

对于命题 $P$ 和 $Q$ ，当且仅当命题 $P$ 和 $Q$ 真值相等时，称为等值（即 $P$ 与 $Q$ 同真假），记为 $P \leftrightarrow Q$ 。当 $P \leftrightarrow Q$ 是真的，即 $P \leftrightarrow Q=1$ 时，也称 $P \leftrightarrow Q$ 为**恒真命题**．

我们利用上述五种运算和数学上的括号，可以构成各种符号序列，我们称之为**公式**，这里一切公式都应满足下述要求：
（1）一切变项 $P, Q, R, \cdots$ 是公式；
（2）如果 $P, Q, R$ 是公式，那么 $\neg P, P \wedge Q, P \vee Q, P \rightarrow Q$ ， $P \leftrightarrow Q$ 也是公式；
（3）除由（1），（2）两条规则建立起来的符号序列外都不是公式。

在建立的公式中，真值联结词按照结合力由强到弱顺序排列为：$\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, ~ \rightarrow$ 。

任何公式（复合命题）都有相应的真值形式。无论公式 $P$ ， $Q$ 的真值如何，其组成的最后公式始终得到真的值，这样的真值形式叫做**重言式**的真值形式，简称重言式．比如公式 $(P \rightarrow$ $Q) \leftrightarrow \neg(P \wedge \neg Q)$ ．它的真值表如表 2．3，故此公式为重言式．
 
  ![图片](/uploads/2025-11/ee7f12.jpg)
 表2-3
 
 普通逻辑中的各种复合推理形式，在命题逻辑中都可以表示为相应的真值形式，因此可以运用真值形式来反映一个推理的形式结构．在普通逻辑中常用图表示推理形式，用图表示可写成：
 
 $$
\frac{P \rightarrow Q, P}{Q}
$$

横线上为两个前提，横线以下是结论，前提和结论之间存在着蕴涵关系．用蕴涵式表达：蕴涵式的前件是各个前提的合取，后件则是结论。这样这个图式的蕴涵式是

$$
(P \rightarrow Q) \wedge P \rightarrow Q
$$

同时，相当于一个正确推理形式的蕴涵式还必须是一个重言式。但要注意，正确推理形式是不依赖于前㮛和结论的具体内容，只要蕴涵式总是真的．这个蕴涵式的真值，可由表 2.4 反映出来．

![图片](/uploads/2025-11/438a95.jpg)
表 2.4 
从表中可见，只有在 $(P \rightarrow Q) \wedge P$ 为真的情况下，两个前提 $P \rightarrow Q$ 和 $P$ 才都是真的．同时 $Q$ 也是真的，前提真则结论必真．这个推理形式保证了从真的前提到真的结论的过渡，因此是一个正确的推理形式。

相反地，一个不正确的推理形式虽然也有一个相当的真值形式，但这样的真值形式都不是永真的，即不是一个重言的真值形式，如推理形式：

$$
\frac{P \rightarrow Q \text {,非 } P}{\text { 非 } Q}
$$

这种推理是错误的，与这种推理形式相当的蕴涵式是

$$
(P \rightarrow Q) \wedge \neg P \rightarrow \neg Q .
$$

这个公式的真值形式的真值表是表 2.5 ，显然此真值形式不是永真的．

![图片](/uploads/2025-11/036181.jpg)
 表 2.5
 
 由此可知，每一个推理形式都相当于一个真值形式．正确的推理形式相当于一个重言式；不正确的推理形式虽然也有相应的真值形式，但它不是重言式．判别一个推理形式是否正确，就要判别其相当的蕴涵式是不是一个重言式。重言式是判别一个命题表达式推理形式是不是正确的有效公式。

把命题逻辑的重言式组成一个公理系统就得到命题演算，而这就是命题逻辑的公理化，即从公理（初始命题的重言式）出发，应用明确规定的推演规则，进而推出一系列重言式的演绎体系．

由公理去推导出其余的重言式，还要有一定的变形规则，这主要有两条：代换规则和分离规则（又称蕴涵）原则，即从 $A$ $\rightarrow B$ 的真和 $A$ 的真，可以推出 $B$ 的真）。

## 答案
现在我们来解本节一开始提出的问题。
设 $P_1$ 表示＂猜对的人戴红帽子＂；$P_2$ 表示＂猜对的人戴黑帽子＂；$Q_1$ 表示＂另一个人戴红帽子＂；$Q_2$ 表示＂另一个人戴黑帽子＂；$R_1$ 表示＂商人戴红帽子＂。

现在知道，商人头上戴的是红帽子，即 $R_1$ 为真，又知道另一个人没有作出断定，即既不能断定 $Q_3$ 为真，也不能断定 $Q_2$为真．

根据题设条件，可得如下公式：
$R_1 \wedge P_1 \rightarrow Q_2$ ：如果商人和猜对的人戴的都是红帽子，那么另一个人戴的就是黑帽子，因为红帽子只有两顶。
$R_1 \wedge Q_1 \rightarrow P_2$ ：如果商人和另一个人戴的都是红帽子，那么猜对的人戴的就是黑帽子。
$\neg P_3 \rightarrow P_2$ ：如果猜对的人戴的不是红帽子，那么他戴的就是黑帽子。
$\neg Q_1 \rightarrow Q_2$ ：如果另一个人戴的不是红帽子，那么他戴的就是黑帽子。

推演步骤如下：
设 $P_1$
（1）$P_1$（根据假设）；
（2）$R_1$（根据题设）；
（3）$R_1 \wedge P_1$（合取构成）；
（4）$R_1 \wedge P_1 \rightarrow Q_2$（根据题设）；
（5）$Q_2$（3）（4）分离）．
这就是说，＂另一个人戴黑帽子＂这个判定是必然可以作出的 但是这与题设条件（即＂另一个人没有作出判定＂）相矛盾，因此，$P_1$ 为假，即 $\neg P_1$ 为真，故可得：

（6）$\neg P_1$ ；
（7）$\neg P_1 \rightarrow P_2$（根据题设）；
（8）$P_2$（6）（7）分离）

这就是说，＂猜对的人戴黑帽子＂是真的，所以猜对的人肯定地说：＂我戴的是黑帽子＂．

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