最后更新: 2025-01-21 20:39 ● 参与者查看: 19 次纠错分享参与项目词条搜索

范式的性质

定理2．1（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题变项和它的否定式。
（2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项和它的否定式。

定理2．2（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合取式都是矛盾式。
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。

定理2．3（范式存在定理）
任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式

公式 $A$ 的析取（合取）范式——与 $A$ 等值的析取（合取）范式求公式 $A$ 的范式的步骤：
（1）消去 $A$ 中的 $\rightarrow$ ，$\leftrightarrow$（若存在）

$$
\begin{aligned}
& A \rightarrow B \Leftrightarrow \neg A \vee B \\
& A \leftrightarrow B \Leftrightarrow(\neg A \vee B) \wedge(A \vee \neg B)
\end{aligned}
$$

（2）否定联结词 $\neg$ 的内移或消去

$$
\begin{aligned}
& \neg \neg A \Leftrightarrow A \\
& \neg(A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B \\
& \neg(A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B
\end{aligned}
$$

（3）使用分配律

$$
\begin{array}{ll}
A \vee(B \wedge C) \Leftrightarrow(A \vee B) \wedge(A \vee C) & \text { 求合取范式 } \\
A \wedge(B \vee C) \Leftrightarrow(A \wedge B) \vee(A \wedge C) & \text { 求析取范式 }
\end{array}
$$

公式范式的不足——不惟一

例 5 求下列公式的析取范式与合取范式
（1）$(p \rightarrow \neg q) \vee \neg r$
（2）$(p \rightarrow \neg q) \rightarrow r$
解（1）$(p \rightarrow \neg q) \vee \neg r$
$\Leftrightarrow(\neg p \vee \neg q) \vee \neg r \quad$（消去 $\rightarrow$ ）
$\Leftrightarrow \neg p \vee \neg q \vee \neg r \quad$（结合律）
最后结果既是析取范式（由 3 个简单合取式组成的析取式），又是合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）

$$
\begin{aligned}
&\text {（2）}(p \rightarrow \neg q) \rightarrow r\\
&\begin{array}{ll}
\Leftrightarrow(\neg p \vee \neg q) \rightarrow r & \text { (消去第一个 } \rightarrow) \\
\Leftrightarrow \neg(\neg p \vee \neg q) \vee r & \text { (消去第二个 } \rightarrow) \\
\Leftrightarrow(p \wedge q) \vee r & \text { (否定号内移——德摩根律) 析取范式 } \\
\Leftrightarrow(p \vee r) \wedge(q \vee r) & (\vee \text { 对 } \wedge \text { 分配律) } \quad \text { 合取范式 }
\end{array}
\end{aligned}
$$

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