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罗素悖论

1874 年康托尔发表了一篇题为《关于所有实代数所组成集合的一个性质》的论文，开创了现代集合论的研究。随后，康托尔以他一系列杰出的工作为集合论奠定了基础，使集合论成为现代数学的一个重要的分支。然而，从康托尔创立集合论的时候起，就有一个既基本又明显的问题一直困惑着数学家们：集合论研究的对象是集合，可是集合是什么呢？我们在前面所提到的集合的概念是＂具有共同性质的一些东西汇集成一个整体＂，这是凭直观经验建立起来的，一般称为朴素集合论。在朴素集合论中，似乎用不着为＂集合＂下一个严格的定义。但随着数学的发展，单凭直观经验建立起来的集合概念存在着问题，早在 1895 年康托尔就已经察觉到这一点，他和其他的一些数学家曾经举出不少例子指明朴素集合论将导致矛盾，其中最著名的例子是英国哲学家和数学家罗素（Russell，1872—1970）在 1901 年给出的，在数学史上称为罗素悖论。

在讨论悖论和罗素悖论之前，首先给出命题的概念。所谓命题，是指能区别真假的陈述语句。例如，＂我是学生＂和＂今天不下雨＂是命题，因为它们是能判别真假的陈述语句。而＂祝你一帆风顺！＂和＂你明天下午出去吗？＂这类祈使句和疑问句就不是命题。

所谓悖论，是指对于命题 $Q$ ，如果从 $Q$ 为真，可以推导出 $Q$ 为假，又从 $Q$ 为假可以推导出 $Q$ 为真，我们就说命题 $Q$ 是一个悖论。显然，如果从命题 $P$ 可引出一个命题 $Q$ ，而 $Q$是一个悖论，那么 $P$ 也是一个悖论。

在介绍罗素悖论之前，我们先介绍两个悖论：说谎悖论和理发师悖论。它们都是通俗而有趣的，能够帮助我们理解罗素悖论。

说谎悖论是一个古代的通俗悖论。有一个人断言：＂我正在说谎＂。我们要问：这个人是在说谎还是在讲真话？

如果他在说谎，这表明他的断言＂我正在说谎＂是谎话，也就是说他在讲真话。所以我们得出这样一个结论，如果他是说谎，那么他是讲真话（即没有说谎）。

另一方面，如果他讲真话，这表明他的断言＂我正在说谎＂是真话，也就是说他正说谎话，所以我们得出如下结论：如果他是讲真话，那么他在说谎（即没有讲真话）。

通过以上分析我们看到，以命题出现的断言＂我正在说谎＂就是一个悖论，因为我们无法断言它的真假。
1918 年罗素给出了理发师悖论：在一个村子里，有一个理发师宣布他给而且只给村子里所有自己不替自己理发的人理发。现在要问：谁给这个理发师理发？

如果理发师是由别人来给他理发，也就是说理发师自己不替自己理发，那么按照理发师自己所说的，这位理发师应该给他自己理发。

另一方面，如果理发师是由自己来给自己理发，那么按照理发师自己所说的，这个理发师不能给自己理发。

因此这也是一个悖论：理发师由别人来给他理发，不行；理发师由自己来给自己理发，也不行。

下面介绍罗素悖论。罗素悖论是相当简单的，一点也用不到集合论的专门知识。
罗素将集合分成两类：一类是集合 $A$ 本身是 $A$ 的一个元素，即 $A \in A$ ；如所有不是苹果的东西组成的集合，这个集合本身就不是苹果，所以它是这个集合自身的元素。另一类是集合 $A$ 本身不是 $A$ 的一个元素，即 $A \notin A$ ；如 26 个英语字母组成的集合，由于这个集合本身不是一个字母，所以这个集合不是它自身的元素。

由罗素的分类，我们构造一个集合 $S: S=\{A \mid A \notin A\}$ 。也就是说，$S$ 是由满足条件 $A \notin A$ 的那些集合 $A$ 组成的一个新的集合。我们要问：$S$ 是不是它自己的一个元素？即 $S \in S$ ，还是 $S \notin S$ ？

如果 $S \notin S$ ，因为集合 $S$ 由所有满足条件 $A \notin A$ 的集合组成，由于 $S \notin S$ ，所以 $S$ 满足对于集合 $S$ 中元素的定义，即 $S$ 是集合 $S$ 的元素，也就是说 $S \in S$ 。

如果 $S \in S$ ，因为 $S$ 中任一元素 $A$ 都有 $A \notin A$ ，又由于 $S \in S$ ，根据集合 $S$ 的规定，可知 $S$ 不是集合 $S$ 的元素，也就是说 $S \notin S$ 。
这样，便得到了矛盾：既不是 $S \in S$ ，也不是 $S \notin S$ 。这个悖论就是著名的罗素悖论。
罗素悖论的出现，说明朴素集合论有问题，从而使数学的基础发生了动摇，引起了一些著名数学家的极大重视。在现代数学中，为了防止这类悖论的出现，产生各种公理化的集合论和不同的学派，这里不做介绍了。

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