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集合恒等式的证明

## 集合恒等式的证明
通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握，又可以为命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。因此，集合恒等式的证明实际上是一种基本功训练。本节主要介绍三种方法来证明集合恒等式，分别是基本定义法、公式法和集合成员表法。

## 1．5．1 基本定义法
所谓基本定义法就是利用集合以及集合之间关系的定义来证明集合相等，即 $A=B$ 的充要条件是：$A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ 。

`例1.21` 设 $A, B$ 是任意集合，证明：$A-B=A \cap \sim B$ 。
证明：$\forall x \in A-B$

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow x \in A \text { 且 } x \notin B \\
& \Leftrightarrow x \in A \text { 且 } x \in \sim B \\
& \Leftrightarrow x \in A \cap \sim B
\end{aligned}
$$

所以，$A-B=A \cap \sim B$ 。

`例1.22` 设 $A, B, C$ 是任意集合，证明 $A-(B \cup C)=(A-B) \cap(A-C)$ 。
证明：$\forall x \in A-(B \cup C)$

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow x \in A \text { 且 } x \notin(B \cup C) \\
& \Leftrightarrow x \in A \text { 且 }(x \notin B \text { 且 } x \notin C) \\
& \Leftrightarrow(x \in A \text { 且 } x \notin B) \text { 且 }(x \in A \text { 且 } x \notin C) \\
& \Leftrightarrow x \in(A-B) \text { 且 } x \in(A-C) \\
& \Leftrightarrow x \in(A-B) \cap(A-C)
\end{aligned}
$$

因此，$A-(B \cup C)=(A-B) \cap(A-C)$ 。

### 1．5．2 公式法
所谓公式法就是利用已证明过的集合恒等式去证明新的集合恒等式。在用公式法证明集合恒等式的时候，要充分利用集合的运算定律，同时注意以下几个基本原则：
（1）将集合运算表达式中其他运算符号转换为 $\cap$ 和 $\cup$ ；
（2）将补运算作用到单一集合上；
（3）左 ⇒ 右，右 ⇒ 左，左 ⇒ 中间式，右 ⇒ 中间式；
（4）根据基本运算符号的定义和运算定律转换。

`例1.23` 设 $A, B, C$ 是任意三个集合，证明 $(A-B)-C=A-(B \cup C)$ 。
证明：

$$
\begin{aligned}
:(A-B)-C & =(A \cap \sim B)-C=(A \cap \sim B) \cap \sim C=A \cap(\sim B \cap \sim C) \\
& =A \cap \sim(B \cup C)=A-(B \cup C)
\end{aligned}
$$

`例1.24`设 $A, B, C$ 是任意三个集合，证明 $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$ 。
证明：

$$
\begin{aligned}
:(A \cup B) \cap(A \cup C) & =((A \cup B) \cap A) \cup((A \cup B) \cap C) \\
& =A \cup(C \cap(A \cup B)) \\
& =A \cup((C \cap A) \cup(C \cap B)) \\
& =(A \cup(A \cap C)) \cup(B \cap C) \\
& =A \cup(B \cap C)
\end{aligned}
$$

所以，$A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$ 。

### 1．5．3 集合成员表法
通过构造集合成员表，应用二进制的逻辑运算，也可以用来证明两个集合是否相等，即比较两个集合成员表，看它们是否相等，就可以判定这两个集合是否相等。

**定义1．13** 设集合 $A$ ，则对于集合 $A$ 的补集 $\sim A$ ，用 0 表示 $\notin, 1$ 表示 $\in$ ，即：若元素 $x \in A$ ，则 $x \notin \sim A$ ；若元素 $x \in \sim A$ ，则 $x \notin A$ 。

**定义1．14** 任意有限集合 $A$ 在其所有集合的可能赋值下的表称为集合 $A$的成员表。
 
那么对于任意集合 $A, B$ ，可以给出它们任意组合的成员表，如表1．1所示。

![图片](/uploads/2026-05/659e09.jpg)
 
 当集合 $A$ 具有 $n$ 个成员时，那么成员间的组合将有 $2^n$ 个。当 $n$ 超过 4 时，集合成员表的构造就比较烦琐，一般就不采用集合成员表的方法来证明集合恒等式。下面给出构造集合成员表的步骤：
（1）列出 $A$ 中所有集合 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 所有可能的赋值；
（2）按照从内到外的顺序写出集合 $A$ 的各层次；
（3）对应每个赋值，计算集合 $A$ 的各层次值，直到最后计算出整个 $A$ 的值。

`例1.25`设 $A, B, C$ 是任意三个集合，证明 $A \cap(B-C)=(A \cap B)-(A \cap C)$ 。
证明：用集合成员表法来证明，列出成员表如表1．2所示。

![图片](/uploads/2026-05/695c28.jpg)
 
  从表1．2可以看出集合 $A \cap(B-C)$ 与 $(A \cap B)-(A \cap C)$ 所标记的列完全相同。因此，$A \cap(B-C)=(A \cap B)-(A \cap C)$ 。

例1．26 设 $A, B, C$ 是任意三个集合，证明 $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$ 。证明：用集合成员表法来证明，列出成员表如表1．3所示。

![图片](/uploads/2026-05/1105b4.jpg)
 
 从表1．3可以看出集合 $A \cup(B \cap C)$ 与 $(A \cup B) \cap(A \cup C)$ 所标记的列完全相同。因此，$A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$ 。

利用成员表法可以判断集合的性质与集合间的关系如下：
（1）若集合是全集，则其成员表值必全为 1 ，即所有集合都是它的成员；
（2）若集合是空集，则其成员表值必全为 0 ，即没有集合是它的成员；
（3）若集合 $A$ 和集合 $B$ 相等，则它们的成员表对应行的值必相同；
（4）若集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，则当集合 $A$ 的值为 1 时，集合 $B$ 对应行的值必为 1 。

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