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二元关系

## 2.2 关系的基本概念

**2．2．1 关系的概念**
在日常生活中，存在着各种各样的关系，人与人之间有＂同志＂关系、＂父子＂关系、＂上下级＂关系；两个数之间有＂大于＂关系、＂等于＂关系以及＂小于＂关系；两个变量之间有一定的＂函数＂关系；计算机内两电路之间有＂连接＂关系；程序之间有＂调用＂关系。为了引入关系的概念，先从几个例子着手。

`例` 在实数集 $\mathbf{R}$ 中，任意两个实数 $a$ 和 $b$ 都能比较大小，要么 $a<b$ ，要么 $a \nless b$ 。当 $a<b$ 时，就说 $a$ 和 $b$ 有小于关系。所有具有小于关系的两个数构成的序偶组成了一个集合，该集合可以用符号＂$<$＂表示，则有

$$
<=\{(a, b) \mid a \in \mathbf{R}, b \in \mathbf{R}, a<b\}
$$

这里，用一个集合 $<$ 表示了实数集 $\mathbf{R}$ 上的小于关系（注意上式中的＂$<=$＂不是数学的＂小于等于＂运算符）。显然有，$<\subseteq \mathbf{R}^2$ 。

`例2.8`设 $A=\{801,802,803\}$ 表示一旅馆房间号的集合，每个房间可以住两名旅客。 $B=\{a, b, c, d, e\}$ 表示旅客组成的集合。已知旅客 $a$ 和 $b$ 入住房间 801 ，旅客 $c$ 人住房间 802，旅客 $d$ 和 $e$ 入住房间 803。由＂某旅客住某房间＂的对应关系，得到 5 个序偶 $(a, 801) 、(b, 801) 、(c, 802) 、(d, 803) 、(e, 803)$ 。将这 5 个序偶组成的集合用 $R$ 表示，则有

$$
R=\{(a, 801),(b, 801),(c, 802),(d, 803),(e, 803)\}
$$

以上的 2 个例子都给出了一种用序偶的集合来表示一个集合 $A$ 与另一个集合 $B$ 的某些元素之间存在的对应关系。而这些表示关系的集合都是笛卡儿乘积 $A \times B$ 的子集。

**定义2．7** 给定两个集合 $A$ 和 $B$ ，若 $R \subseteq A \times B$ ，则称非空集合 $R$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个二元关系，简称为关系。若 $(a, b) \in R$ ，则称 $a$ 与 $b$ 有关系 $R$ ，记为 $a R b$ ；若 $(a, b) \notin R$ ，则称 $a$ 与 $b$ 没有关系 $R$ ，记为 $a R^{\prime} b$ 。

特别的，当 $A=B$ 时，则称 $R$ 为 $A$ 上的关系。由关系的定义可以看出，关系是一个集合，是满足条件的序偶组成的集合。

`例2.9`设集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{a, b, c\}$ ，则 $R_1=\{(1, a),(2, b)\}$ 是 $A$ 到 $B$的关系，而 $R_2=\{(a, 1),(a, 2),(b, 1),(c, 3)\}$ 是 $B$ 到 $A$ 的关系。

`例2.10`有学生集合 $A=\{$ 王一，李二，丁三 $\}$ ，数字集合 $B=\{1,2,3,4\}$ 。已知王一、李二、丁三的学号分别是 $1 、 2 、 3$ ，则集合 $A$ 到集合 $B$ 的＂对号关系＂ $R=\{($ 王一， 1$)$ ，（李二，2），（丁三，3）\}。

**定义 2.8** 设 $R \subseteq A \times B$ ，由 $R$ 中所有序偶的第一分量组成的集合称为 $R$ 的定义域，记为 $D(R)$ ；所有序偶的第二分量组成的集合称为 $R$ 的值域，记为 $C(R)$ 。
显然，$D(R) \subseteq A, C(R) \subseteq B$ 。

`例2.11`设集合 $A=\{a, b$ ，甲，乙 $\}, B=\{0,1$ ，丙 $\}, ~ R$ 为 $A$ 到 $B$ 上的二元关系，$R=\{(a, 0),(b, 0)$, （甲， 1$)$ ，（甲，丙）$\}$ ，则 $D(R)=\{a, b$ ，甲 $\}, C(R)=\{0,1$ ，丙 $\}$ 。

**定义2．9** 设 $R \subseteq A \times B$ ，则
（1）若 $R=\varnothing$ ，则称 $R$ 为空关系。
（2）若 $R=A \times B$ ，则称 $R$ 为 $A$ 到 $B$ 的全关系，用 $U_{A \times B}$ 表示；当 $A=B$ 时，则称 $R$ 为 $A$ 上的全关系，用 $U_A$ 表示。
（3）若 $R=\{(x, x) \mid x \in A\}$ ，称 $R$ 为 $A$ 上的恒等关系，用 $I_A$ 表示。

`例2.12`设集合 $A=\{-1,0,1\}$ ，写出 $U_A$ 和 $I_A$ 及其定义域和值域。
解：（1）$U_A=\{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1)$ ， $(1,-1),(1,0),(1,1)\}$
$D\left(U_A\right)=A, C\left(I_A\right)=A$
（2）$I_A=\{(-1,-1),(0,0),(1,1)$
$D\left(I_A\right)=A, C\left(I_A\right)=A$

**定义2．10** 设有 $n$ 个集合 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ ，笛卡儿乘积 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 的任意一个子集 $R$ 称为 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 上的一个 $n$ 元关系。当 $R \subseteq A^n$ 时，称 $R$ 为 $A$ 上的 $n$ 元关系。
由此定义可以看出，$n$ 元关系是一些有序 $n$ 元组的集合。本章主要讨论二元关系。

## 二元关系
关系和集合都是现实生活中的概念, 在集合与集合之间往往存在着某种关系。例如，在两个不同集合之间存在着诸如这样的关系：教师集合和学生集合之间存在着师生关系，学生集合和课程集合之间存在着学生选修课程的关系等；

在同一个集合中也可以存在着某种关系，比如，在学生集合中有同学关系，有同桌关系等；在多个集合之间也往往存在着多元的关系，比如，在学生集合，课程集合和任课教师集合这 3 个集合之间存在着教学关系。

我们通常用表格来表示现实世界中这样的关系。例如，表 2.1 表示在学生集合和课程集合之间存在着的学生选修课程的关系，其中李洋选修程序设计和政治，苏展选修数学等。用关系的术语，我们可以说李洋与程序设计有关系，也与政治有关系；苏展与数学有关系。明显地，**表 2.1 可以用一个有序对集合表示**
 ![图片](/uploads/2025-01/58b6d0.jpg)
 
 我们可以抽象地把关系定义为一个有序对所组成的集合，在每个有序对中，第 1 个元素和第 2 个元素之间存在着关系。

## 关系的定义
定义2.1 设 $A$ 和 $B$ 是任意两个集合，$A \times B$ 的子集 $R$ 称为从 $A$ 到 $B$ 的二元关系。当 $A=B$时，称 $R$ 为 $A$ 上的二元关系。若 $(a, b) \in R$ ，则称 $a$ 与 $b$ 有关系 $R$ ，记为 $a R b$ 。若 $(a, b) \notin R$ ，则称 $a$ 与 $b$ 没有关系 $R$ ，记为 $a  \cancel R  b$ 。

若 $R=\varnothing$ ，则称 $R$ 为空关系。
若 $R=A \times B$ ，则称 $R$ 为全关系。

> 由定义 2.1 ，我们知道，二元关系不仅是集合，而且是一种特殊的集合；组成二元关系的元素是**有序对**。

定义2．2 设 $R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的二元关系，$A$ 的一个子集 $\{a \mid$ 存在 $b$ ，使得 $(a, b) \in R\}$ 称为 $R$的**定义域**，记为 $\operatorname{Dom} R 。 B$ 的一个子集 $\{b \mid$ 存在 $a$ ，使得 $(a, b) \in R\}$ 称为 $R$ 的**值域**，记为 $\operatorname{Ran} R$ 。 $A$ 称为 $R$ 的前域，$B$ 称为 $R$ 的陪域，并且 Dom $R \subseteq A, \operatorname{Ran} R \subseteq B$ 。

如果给定的二元关系如表 2.1 的形式所示，以表格给出，那么表格的第 1 列成员的全体构成关系的定义域，第 2 列成员的全体构成关系的值域。

在表 2.1 中，设集合 $A=\{$ 李洋，苏展，王净晶，徐智婷 $\}$ ，集合 $B=\{$ 程序设计，数学，政治，物理\}。从 $A$ 到 $B$ 的二元关系 $R$ 可写为 $\{$（李洋，程序设计），（苏展，数学），（王净晶，程序设计），（李洋，政治），（徐智婷，物理）\}。若 (李洋, 政治) $\in R$ ，也可以记为李洋 $R$政治。

表2．1 说明一个关系可以通过列出属于该关系的所有有序对来给出。下面的例 2.1 说明一个关系也可以通过给出关系中成员的规则来定义。

`例2.1`（整除关系）设 $A=\{2,3,4\}, B=\{3,4,5,6,7\}$ ，定义从 $A$ 到 $B$ 的二元关系 $R:(a, b) \in R$当且仅当 $a$ 整除 $b$（记为 $a \mid b$ ），称 $R$ 为从 $A$ 到 $B$ 的整除关系。则 $R=\{(2,4),(2,6),(3,3),(3,6)$ ， $(4,4)\}$ 。并且定义域 $\operatorname{Dom} R=\{2,3,4\}$ ，值域 $\operatorname{Ran} R=\{3,4,6\}$ 。 $(4,3) \notin R$ 因为 4 不能整除 3 。如果 $R$ 写成一个表格，如表 2.2 所示。
 ![图片](/uploads/2025-01/cb4d77.jpg)
 
 
 `例2.2` 设 $A=\{1,2,3,4\}$ 。
定义 $A$ 上的二元关系 $R:(a, b) \in R$ 当且仅当 $a<b$ ，称 $R$ 为 $A$ 上的**小于关系**；$R=\{(1,2),(1, 3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（4，4）\}$  并且 $\operatorname{Dom} R=\{1,2,3\}$ ， $\operatorname{Ran} R=\{2,3,4\}$ 。

定义 $A$ 上的二元关系 $R^{\prime}:(a, b) \in R$ 当且仅当 $a \leqslant b$ ，称 $R^{\prime}$ 为 $A$ 上的小于等于关系；$R^{\prime}=\{(1$ ， 1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），（4，4）\}; 并且 Dom $R^{\prime}=\{1,2,3,4\}$ ，Ran $R^{\prime}=\{1,2,3,4\}$ 。

定义 $A$ 上的二元关系 $R ":(a, b) \in R$ 当且仅当 $a \neq b$ ，称 $R$＂为 $A$ 上的不等关系；$R "=\{(1,2)$ ， $(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3)\}$ ；并且 $\operatorname{Dom} R^{\prime \prime}=\{1,2,3$ ， $4\}, \operatorname{Ran} R^{\prime \prime}=\{1,2,3,4\}$ 。

`例2.3` $A=\{1,2,3,4\}$ ，定义 $A$ 上的二元关系 $R:(a, b) \in R$ 当且仅当 $(a-b) / 3$ 为整数。这称为模 3 同余关系。
$R=\{(a, b) \mid(a-b) / 3$ 为整数，$a \in A, b \in A\}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4)$,
$(4,1)\}$ 。
$\operatorname{Dom} R=\operatorname{Ran} R=A$ 。
进一步可定义整数集上的模 r 同余关系：
$\left\{(a, b) \mid(a-b) / r\right.$ 为整数，$\left.a \in Z, b \in Z, r \in Z^{+}\right\}$

`例2.4`设 $A=\{1,2,3,4,5\}, ~ A$ 上共有多少个二元关系？
解：因为 $A$ 上的二元关系 $R$ 是 $A \times A$ 的子集，所以 $A$ 上的一个二元关系是 $A \times A$ 的幂集中的一个元素。因为 $|A \times A|=25,| P (A \times A)|=2^{25}$ ，所以 $A$ 上的二元关系 $R$ 的个数是 $2^{25}$ 。

定义2．3 设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是 $n$ 个任意集合，定义 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 的子集 $R$ 为 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 的 $n$元关系，当 $A_1=A_2=\cdots=A_n$ 时，$R$ 称为 $A$ 上的 $n$ 元关系。

关系这个概念在计算机科学和工程中很重要，在数据库的关系模型中常用 $n$ 元关系来描述数据间的关系。前面讲到的表格可以用来表示一个 $n$ 元关系，在 2.4 节中将做进一步介绍。

## 本节小结

以下为你详细介绍不同类型的二元关系举例：

集合上的相等关系
• 定义：设 $A$ 是一个集合，$A$ 上的相等关系 $E_A=\{(x,x)\mid x\in A\}$。对于集合 $A$ 中的任意元素 $x$，它与自身构成有序对 $(x, x)$ 属于该关系。

• 举例：设集合 $A = \{1, 2, 3\}$，则 $A$ 上的相等关系 $E_A=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}$。在这个关系中，每个元素都与自身相关，体现了“相等”这一概念，即一个元素和它自己是相等的。

集合上的包含关系（针对集合的集合）
• 定义：设 $\mathcal{S}$ 是一个集合的集合（幂集的子集），对于 $A,B\in\mathcal{S}$，如果 $A$ 的所有元素都属于 $B$，则称 $A$ 包含于 $B$，记作 $A\subseteq B$，集合 $\{(A,B)\mid A,B\in\mathcal{S},A\subseteq B\}$ 就是 $\mathcal{S}$ 上的包含关系。

• 举例：设 $\mathcal{S}=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1, 2\}\}$，则 $\mathcal{S}$ 上的包含关系为 $\{(\varnothing,\varnothing),(\varnothing,\{1\}),(\varnothing,\{2\}),(\varnothing,\{1, 2\}),(\{1\},\{1\}),(\{1\},\{1, 2\}),(\{2\},\{2\}),(\{2\},\{1, 2\}),(\{1, 2\},\{1, 2\})\}$。例如 $(\varnothing,\{1\})$ 属于这个关系，是因为空集是任何集合的子集，即空集包含于集合 $\{1\}$。

整数集上的整除关系
• 定义：在整数集 $\mathbb{Z}$ 上，对于任意两个整数 $m$ 和 $n$，如果存在整数 $k$ 使得 $m = kn$，则称 $m$ 能被 $n$ 整除，记作 $n\mid m$，集合 $\{(m,n)\mid m,n\in\mathbb{Z},n\mid m\}$ 就是整数集上的整除关系。

• 举例：考虑部分整数构成的集合 $\{- 4,-2,0,2,4\}$，其整除关系为 $\{(-4, - 2),(-4,4),(-2,-2),(-2,0),(-2,2),(0,0),(2,2),(2,4),(4,4)\}$。比如 $(-4,-2)$ 属于该关系，因为 $-4=(-2)\times2$，即 $-2$ 能整除 $-4$。

实数集上的小于等于关系
• 定义：在实数集 $\mathbb{R}$ 上，对于任意两个实数 $x$ 和 $y$，如果 $x\leq y$，则称有序对 $(x,y)$ 属于小于等于关系，记作 $\leq=\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R},x\leq y\}$。

• 举例：$\{(1,1),(1,2),(2,2),(-3,-2),(-3, - 3)\}$ 是该关系的一部分。其中 $(1,2)$ 属于这个关系，因为 $1$ 小于 $2$，满足 $1\leq2$；$(2,2)$ 也属于该关系，因为一个数等于它本身，满足 $2\leq2$。

人与人之间的朋友关系
• 定义：在一个由人组成的集合 $P$ 中，如果两个人 $p_1$ 和 $p_2$ 是朋友，则有序对 $(p_1,p_2)$ 属于朋友关系 $F$，即 $F =\{(p_1,p_2)\mid p_1,p_2\in P,p_1$ 和 $p_2$ 是朋友$\}$。需要注意的是，朋友关系可能是有向的（比如在某些社交场景下，$p_1$ 认为 $p_2$ 是朋友，但 $p_2$ 不一定认为 $p_1$ 是朋友），也可能是无向的（当双方互相认可为朋友时）。

• 举例：设集合 $P=\{张三,李四,王五\}$，若张三和李四是朋友，李四和王五是朋友，则朋友关系 $F=\{(张三,李四),(李四,张三),(李四,王五),(王五,李四)\}$（这里假设朋友关系是无向的，若为有向则只考虑单方向，如只考虑 $(张三,李四)$ 而不考虑 $(李四,张三)$ ）。

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