最后更新: 2025-01-22 08:22 查看: 43 次反馈刷题

二元关系

关系和集合都是现实生活中的概念, 在集合与集合之间往往存在着某种关系。例如，在两个不同集合之间存在着诸如这样的关系：教师集合和学生集合之间存在着师生关系，学生集合和课程集合之间存在着学生选修课程的关系等；在同一个集合中也可以存在着某种关系，比如，在学生集合中有同学关系，有同桌关系等；在多个集合之间也往往存在着多元的关系，比如，在学生集合，课程集合和任课教师集合这 3 个集合之间存在着教学关系。
我们通常用表格来表示现实世界中这样的关系。例如，表 2.1 表示在学生集合和课程集合之间存在着的学生选修课程的关系，其中李洋选修程序设计和政治，苏展选修数学等。用关系的术语，我们可以说李洋与程序设计有关系，也与政治有关系；苏展与数学有关系。明显地，表 2.1 可以用一个有序对集合表示
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 我们可以抽象地把关系定义为一个有序对所组成的集合，在每个有序对中，第 1 个元素和第 2 个元素之间存在着关系。

定义2．1 设 $A$ 和 $B$ 是任意两个集合，$A \times B$ 的子集 $R$ 称为从 $A$ 到 $B$ 的二元关系。当 $A=B$时，称 $R$ 为 $A$ 上的二元关系。若 $(a, b) \in R$ ，则称 $a$ 与 $b$ 有关系 $R$ ，记为 $a R b$ 。若 $(a, b) \notin R$ ，则称 $a$ 与 $b$ 没有关系 $R$ ，记为 $a R b$ 。

若 $R=\varnothing$ ，则称 $R$ 为空关系。
若 $R=A \times B$ ，则称 $R$ 为全关系。
由定义 2.1 ，我们知道，二元关系不仅是集合，而且是一种特殊的集合；组成二元关系的元素是有序对。
定义2．2 设 $R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的二元关系，$A$ 的一个子集 $\{a \mid$ 存在 $b$ ，使得 $(a, b) \in R\}$ 称为 $R$的定义域，记为 $\operatorname{Dom} R 。 B$ 的一个子集 $\{b \mid$ 存在 $a$ ，使得 $(a, b) \in R\}$ 称为 $R$ 的值域，记为 $\operatorname{Ran} R$ 。 $A$ 称为 $R$ 的前域，$B$ 称为 $R$ 的陪域，并且 Dom $R \subseteq A, \operatorname{Ran} R \subseteq B$ 。

如果给定的二元关系如表 2.1 的形式所示，以表格给出，那么表格的第 1 列成员的全体构成关系的定义域，第 2 列成员的全体构成关系的值域。

在表 2.1 中，设集合 $A=\{$ 李洋，苏展，王净晶，徐智婷 $\}$ ，集合 $B=\{$ 程序设计，数学，政治，物理\}。从 $A$ 到 $B$ 的二元关系 $R$ 可写为 $\{$（李洋，程序设计），（苏展，数学），（王净晶，程序设计），（李洋，政治），（徐智婷，物理）\}。若 (李洋, 政治) $\in R$ ，也可以记为李洋 $R$政治。

表2．1 说明一个关系可以通过列出属于该关系的所有有序对来给出。下面的例 2.1 说明一个关系也可以通过给出关系中成员的规则来定义。

例 2.1 （整除关系）设 $A=\{2,3,4\}, B=\{3,4,5,6,7\}$ ，定义从 $A$ 到 $B$ 的二元关系 $R:(a, b) \in R$当且仅当 $a$ 整除 $b$（记为 $a \mid b$ ），称 $R$ 为从 $A$ 到 $B$ 的整除关系。则 $R=\{(2,4),(2,6),(3,3),(3,6)$ ， $(4,4)\}$ 。并且定义域 $\operatorname{Dom} R=\{2,3,4\}$ ，值域 $\operatorname{Ran} R=\{3,4,6\}$ 。 $(4,3) \notin R$ 因为 4 不能整除 3 。如果 $R$ 写成一个表格，如表 2.2 所示。
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 例 2.2 设 $A=\{1,2,3,4\}$ 。
定义 $A$ 上的二元关系 $R:(a, b) \in R$ 当且仅当 $a<b$ ，称 $R$ 为 $A$ 上的小于关系；$R=\{(1,2),(1$ ， 3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（4，4）\}; 并且 $\operatorname{Dom} R=\{1,2,3\}$ ， $\operatorname{Ran} R=\{2,3,4\}$ 。

定义 $A$ 上的二元关系 $R^{\prime}:(a, b) \in R$ 当且仅当 $a \leqslant b$ ，称 $R^{\prime}$ 为 $A$ 上的小于等于关系；$R^{\prime}=\{(1$ ， 1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），（4，4）\}; 并且 Dom $R^{\prime}=\{1,2,3,4\}$ ，Ran $R^{\prime}=\{1,2,3,4\}$ 。

定义 $A$ 上的二元关系 $R ":(a, b) \in R$ 当且仅当 $a \neq b$ ，称 $R$＂为 $A$ 上的不等关系；$R "=\{(1,2)$ ， $(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3)\}$ ；并且 $\operatorname{Dom} R^{\prime \prime}=\{1,2,3$ ， $4\}, \operatorname{Ran} R^{\prime \prime}=\{1,2,3,4\}$ 。

例2．3 $A=\{1,2,3,4\}$ ，定义 $A$ 上的二元关系 $R:(a, b) \in R$ 当且仅当 $(a-b) / 3$ 为整数。这称为模 3 同余关系。
$R=\{(a, b) \mid(a-b) / 3$ 为整数，$a \in A, b \in A\}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4)$,
$(4,1)\}$ 。
$\operatorname{Dom} R=\operatorname{Ran} R=A$ 。
进一步可定义整数集上的模 r 同余关系：
$\left\{(a, b) \mid(a-b) / r\right.$ 为整数，$\left.a \in Z, b \in Z, r \in Z^{+}\right\}$

例 2.4 设 $A=\{1,2,3,4,5\}, ~ A$ 上共有多少个二元关系？
解：因为 $A$ 上的二元关系 $R$ 是 $A \times A$ 的子集，所以 $A$ 上的一个二元关系是 $A \times A$ 的幂集中的一个元素。因为 $|A \times A|=25,| P (A \times A)|=2^{25}$ ，所以 $A$ 上的二元关系 $R$ 的个数是 $2^{25}$ 。

定义2．3 设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是 $n$ 个任意集合，定义 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 的子集 $R$ 为 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 的 $n$元关系，当 $A_1=A_2=\cdots=A_n$ 时，$R$ 称为 $A$ 上的 $n$ 元关系。

关系这个概念在计算机科学和工程中很重要，在数据库的关系模型中常用 $n$ 元关系来描述数据间的关系。前面讲到的表格可以用来表示一个 $n$ 元关系，在 2.4 节中将做进一步介绍。

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