最后更新: 2025-01-22 08:24 查看: 33 次反馈刷题

关系的性质

首先，讨论集合 $A$ 上二元关系的几个性质。
定义2．4 设 $R$ 是集合 $A$ 上的二元关系。
（1）如果对任意 $a \in A$ ，有 $(a, a) \in R$ ，则称 $R$ 是自反的。
（2）如果对任意 $a \in A$ ，有 $(a, a) \notin R$ ，则称 $R$ 是反自反的。
（3）对任意 $a, b \in A$ ，如果 $(a, b) \in R$ 必有 $(b, a) \in R$ ，则称 $R$ 是对称的。
（4）对任意 $a, b \in A$ ，如果 $(a, b) \in R$ 且 $(b, a) \in R$ ，必有 $a=b$ ，则称 $R$ 是反对称的；或者如果 $(a, b) \in R$ 并且 $a \neq b$ 时，必有 $(b, a) \notin R$ ，则称 $R$ 是反对称的。
（5）对任意 $a, b, c \in A$ ，如果 $(a, b) \in R$ 且 $(b, c) \in R$ ，必有 $(a, c) \in R$ ，则称 $R$ 是传递的。
例 2.5 对于例 2.2 ，小于关系 $R$ 是反自反的，反对称的和传递的；小于等于关系 $R$＇是自反的，反对称的和传递的；不等关系 $R$＂是反自反的，对称的，但不是传递的。

例 2.6 设 $A=\{1,2,3,4\}$ 。
设 $A$ 上的二元关系 $R_1=\{(1,1),(1,2)\}$ ，则 $R_1$ 既不是自反的，也不是反自反的；所以，在 $A$上的二元关系中，可以有既不是自反的，也不是反自反的关系。

设 $A$ 上的二元关系 $R_2=\{(2,1),(1,2),(1,3)\}$ ，则 $R_2$ 既不是对称的，也不是反对称的；所以，在 $A$ 上的二元关系中，可以有既不是对称的，也不是反对称的关系。

对于在集合 $A$ 上的二元关系 $R, ~ R$ 或者是传递的，或者不是传递的，二者必居其一。设 $A$上的二元关系 $R_3=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}, R_4=\{(1,2),(1,3)\}$ 和 $R_5=\{(1,2)\}$ ，则 $R_3, R_4$ 和 $R_5$ 是传递的；而 $R_6=\{(1,2),(2,3)\}$ 不是传递的。根据定义 $2.4(5)$ ，如果对于集合 $A$ 上的二元关系 $R$ ，如果有 $(a, b) \in R, \quad(b, c) \in R$ ，且 $(a, c) \notin R$ 的情况存在，则 $R$ 不是传递的；否则，$R$ 是传递的。

在上例中，关系是用集合的枚举表示方法，列出了关系中所有的有序对。关系的表示除了可以用集合的枚举表示方法之外，为了使关系的表示更简洁明了，对于有限集的情况，还可以用矩阵或图形来表示关系。

定义2．5 设 $A$ 和 $B$ 是两个有限集 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_m\right\}, B=\left\{b_1, b_2, \cdots, b_n\right\}, R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的二元关系，称 $m \times n$ 阶矩阵 $M_R=\left(m_{i, j}\right)$ 为 $R$ 的关系矩阵，其中

$$
m_{i j}= \begin{cases}1 & \left(a_i, b_j\right) \in R \\ 0 & \left(a_i, b_j\right) \notin R\end{cases}
$$

当 $A=B$ 时，$A$ 上的二元关系 $R$ 可以用方阵来表示。

例 2.7 例 2.1 中的从 $A$ 到 $B$ 的整除关系 R 的关系矩阵（集合 $A$ 的元素次序为 $2,3,4$ ；集合 $B$ 的元素次序为 $3,4,5,6,7$ ）为
 ![图片](/uploads/2025-01/010d1e.jpg)

在矩阵 $M_R$ 的上方和左方分别依次标记为 $B$ 和 $A$ 中的元素，这样便保证关系 $R$ 对应唯一的关系矩阵 $M_R$ 。显然，通过矩阵表示，$A$ 中的某个元素是否和 $B$ 中的某个元素存在关系就很清晰明了了。

设 $R$ 是 $A$ 上的二元关系，若 $R$ 是自反的，则 $M_R$ 中的对角线元素均为 1 。若 $R$ 是反自反的，则 $M_R$ 中的对角线元素均为 0 。若 $R$ 是对称的，则 $M_R$ 是对称矩阵。若 $R$ 是反对称的，则在 $M_R$ 中对于 $i \neq j$ ，由 $m_{i j}=1$ 可推出 $m_{j i}=0$ 。

有限集 $A$ 上的二元关系除用方阵表示外，还可用关系图来表示。这样的图也被称为有向图，将在第 8 章中详细介绍。

设 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}, R$ 是 $A$ 上的二元关系。 $A$ 中每个元素 $a_i$ 用一个点表示，称该点为顶点 $a_i$ 。如果 $\left(a_i, a_j\right) \in R$ ，则画一条从顶点 $a_i$ 到顶点 $a_j$ 的带箭头的线，称该线为弧。如果 $\left(a_i, a_i\right) \in R$ ，则画一条从顶点 $a_i$到顶点 $a_i$ 的带箭头的封闭弧，称该弧为自环。对于关系 $R$ 中每个有序对都可对应地画一条弧，从而得到表示关系 $R$ 的图形，称为 $R$ 的关系图。

例 2.8 设 $A=\{1,2,3,4,5\}, A$ 上的模 3 同余关系 $R=\{(1,1),(2,2)$ ， $(3,3),(4,4),(5,5),(1,4),(4,1),(2,5),(5,2)\}$ 的关系图如图 2.1 所示。
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