最后更新: 2026-05-19 20:50 查看: 135 次纠错评论(0) 课件开VIP

关系的矩阵表示与图表示

##  关系的表示方法
根据关系定义可知，关系是一种特殊的集合，这个集合中的元素均以序偶的形式出现。既然关系是集合，那么集合的表示方法就可以用来表示关系。又因为关系是一个特殊的集合，除了可以用集合的表示方法外，还可以采用其他的表示方法。
（1）列举法
如果二元关系中的序偶个数是有限的，可以采用列举法将其所包含的全部元素一一列举出来。

`例2.10` 有学生集合 $A=\{$ 王一，李二，丁三 $\}$ ，数字集合 $B=\{1,2,3,4\}$ 。已知王一、李二、丁三的学号分别是 $1 、 2 、 3$ ，则集合 $A$ 到集合 $B$ 的＂对号关系＂ $R=\{($ 王一， 1$),($ 李二， 2$),($ 丁三， 3$)\}$ 。

`例2.13` 设集合 $A=\{1,2,3\}$ ，在集合 $A$ 上定义的小于关系为 $<=\{(1,2)$ ， $(1,3),(2,3)\}$ 。
（2）描述法
描述法是用确定的条件表示某些序偶是否属于这个关系，并把这个条件写在大括号内表示关系的方法。

`例2.14` 设集合 $A=\{1,2,3,4\}, R_1=\{(x, y) \mid x<y\}$ 和 $R_2=\{(x, y) \mid \left.(x-y)^2 \in A\right\}$ 都是 $A$ 上的关系。

例2．10中的＂对号关系＂$R$ ，可以用列举法表示为：$R=\{$（王一，1），（李二， 2），（丁三，3）\}, 也可以采用描述法表示为: $R=\{(a, m) \mid a \in A, m \in B, m$ 是 $a$ 的学号\}。
（3）关系矩阵

**定义 2.11** 设 $A$ 和 $B$ 是两个有限集，$R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的二元关系，称 $m \times n$阶矩阵 $\boldsymbol{M}_R=\left(r_{i j}\right)$ 为 $R$ 的关系矩阵，其中

$$
r_{i j}= \begin{cases}1 & \left(a_i, b_j\right) \in R \\ 0 & \left(a_i, b_j\right) \notin R\end{cases}
$$

从关系矩阵的定义可以看出：二元关系 $R$ 的关系矩阵 $\boldsymbol{M}_R$  
的行与集合 $A$ 的元素对应，行数就是集合 $A$ 的元素个数；列与集合 $B$ 的元素对应，列数就是集合 $B$ 的元素个数。

`例2.15`设集合 $A=\{1,2,3\}$ ，集合 $B=\{a, b, c\}$ ，则关系 $R=\{(1, b)$ ， $(2, a),(2, c),(3, b)\}$ 的关系矩阵为：

$$
\boldsymbol{M}_R=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]
$$

`例2.16`例2．10中的＂对号关系＂$R$ 的关系矩阵为：

$$
\boldsymbol{M}_R=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right]
$$

（4）关系图
对于有限集合 $A$ 到 $B$ 上的关系，还可以用一个有向图直观地表示，这种表示关系的有向图叫关系图。其画法如下：
（1）集合 $A$ 和 $B$ 中的每一个元素用带有元素符号的圆圈（称为结点）表示；
（2）若 $a R b$ ，则将结点 $a$ 和结点 $b$ 用一条带有箭头的直线或弧线连接起来，其方向由结点 $a$ 指向结点 $b$ 。

`例2.17` 例 2.10 中的＂对号关系＂$R$ 的关系图如图 2.1 所示。
 
 ![图片](/uploads/2026-05/73e8e8.jpg)
 
 `例2.18`设集合 $A=\{-2,-1,0,1\}$ ，则 $A$ 上的＂$<$ 关系＂的关系图如图 2.2 所示。
 
  ![图片](/uploads/2026-05/6bab62.jpg)

## 关系的性质
首先，讨论集合 $A$ 上二元关系的几个性质。
定义2．4 设 $R$ 是集合 $A$ 上的二元关系。
（1）如果对任意 $a \in A$ ，有 $(a, a) \in R$ ，则称 $R$ 是自反的。
（2）如果对任意 $a \in A$ ，有 $(a, a) \notin R$ ，则称 $R$ 是反自反的。
（3）对任意 $a, b \in A$ ，如果 $(a, b) \in R$ 必有 $(b, a) \in R$ ，则称 $R$ 是对称的。
（4）对任意 $a, b \in A$ ，如果 $(a, b) \in R$ 且 $(b, a) \in R$ ，必有 $a=b$ ，则称 $R$ 是反对称的；或者如果 $(a, b) \in R$ 并且 $a \neq b$ 时，必有 $(b, a) \notin R$ ，则称 $R$ 是反对称的。
（5）对任意 $a, b, c \in A$ ，如果 $(a, b) \in R$ 且 $(b, c) \in R$ ，必有 $(a, c) \in R$ ，则称 $R$ 是传递的。
例 2.5 对于例 2.2 ，小于关系 $R$ 是反自反的，反对称的和传递的；小于等于关系 $R$＇是自反的，反对称的和传递的；不等关系 $R$＂是反自反的，对称的，但不是传递的。

例 2.6 设 $A=\{1,2,3,4\}$ 。
设 $A$ 上的二元关系 $R_1=\{(1,1),(1,2)\}$ ，则 $R_1$ 既不是自反的，也不是反自反的；所以，在 $A$上的二元关系中，可以有既不是自反的，也不是反自反的关系。

设 $A$ 上的二元关系 $R_2=\{(2,1),(1,2),(1,3)\}$ ，则 $R_2$ 既不是对称的，也不是反对称的；所以，在 $A$ 上的二元关系中，可以有既不是对称的，也不是反对称的关系。

对于在集合 $A$ 上的二元关系 $R, ~ R$ 或者是传递的，或者不是传递的，二者必居其一。设 $A$上的二元关系 $R_3=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}, R_4=\{(1,2),(1,3)\}$ 和 $R_5=\{(1,2)\}$ ，则 $R_3, R_4$ 和 $R_5$ 是传递的；而 $R_6=\{(1,2),(2,3)\}$ 不是传递的。根据定义 $2.4(5)$ ，如果对于集合 $A$ 上的二元关系 $R$ ，如果有 $(a, b) \in R, \quad(b, c) \in R$ ，且 $(a, c) \notin R$ 的情况存在，则 $R$ 不是传递的；否则，$R$ 是传递的。

在上例中，关系是用集合的枚举表示方法，列出了关系中所有的有序对。关系的表示除了可以用集合的枚举表示方法之外，为了使关系的表示更简洁明了，对于有限集的情况，还可以用矩阵或图形来表示关系。

## 二元关系的矩阵表示
定义2．5 设 $A$ 和 $B$ 是两个有限集 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_m\right\}, B=\left\{b_1, b_2, \cdots, b_n\right\}, R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的二元关系，称 $m \times n$ 阶矩阵 $M_R=\left(m_{i, j}\right)$ 为 $R$ 的关系矩阵，其中

$$
m_{i j}= \begin{cases}1 & \left(a_i, b_j\right) \in R \\ 0 & \left(a_i, b_j\right) \notin R\end{cases}
$$

当 $A=B$ 时，$A$ 上的二元关系 $R$ 可以用方阵来表示。

`例2.7` 例 2.1 中的从 $A$ 到 $B$ 的整除关系 R 的关系矩阵（集合 $A$ 的元素次序为 $2,3,4$ ；集合 $B$ 的元素次序为 $3,4,5,6,7$ ）为
 ![图片](/uploads/2025-01/010d1e.jpg)

在矩阵 $M_R$ 的上方和左方分别依次标记为 $B$ 和 $A$ 中的元素，这样便保证关系 $R$ 对应唯一的关系矩阵 $M_R$ 。显然，通过矩阵表示，$A$ 中的某个元素是否和 $B$ 中的某个元素存在关系就很清晰明了了。

设 $R$ 是 $A$ 上的二元关系，若 $R$ 是自反的，则 $M_R$ 中的对角线元素均为 1 。若 $R$ 是反自反的，则 $M_R$ 中的对角线元素均为 0 。若 $R$ 是对称的，则 $M_R$ 是对称矩阵。若 $R$ 是反对称的，则在 $M_R$ 中对于 $i \neq j$ ，由 $m_{i j}=1$ 可推出 $m_{j i}=0$ 。

有限集 $A$ 上的二元关系除用方阵表示外，还可用关系图来表示。这样的图也被称为有向图，将在第 8 章中详细介绍。

## 关系图
设 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}, R$ 是 $A$ 上的二元关系。 $A$ 中每个元素 $a_i$ 用一个点表示，称该点为顶点 $a_i$ 。如果 $\left(a_i, a_j\right) \in R$ ，则画一条从顶点 $a_i$ 到顶点 $a_j$ 的带箭头的线，称该线为弧。如果 $\left(a_i, a_i\right) \in R$ ，则画一条从顶点 $a_i$到顶点 $a_i$ 的带箭头的封闭弧，称该弧为自环。对于关系 $R$ 中每个有序对都可对应地画一条弧，从而得到表示关系 $R$ 的图形，称为 $R$ 的关系图。

`例` 设 $A=\{1,2,3,4,5\}, A$ 上的模 3 同余关系 $R=\{(1,1),(2,2)$ ， $(3,3),(4,4),(5,5),(1,4),(4,1),(2,5),(5,2)\}$ 的关系图如图 2.1 所示。
 ![图片](/uploads/2025-01/f99a6a.jpg)

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