最后更新: 2025-01-22 08:28 查看: 84 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

关系的运算

从 $A$ 到 $B$ 的二元关系是 $A \times B$ 的子集。因为关系也是一个集合，所以有关集合的并，交，差，补运算以及相应的性质同样适用于关系。定义二元关系的运算如下。

定义2．6 设 $R_1$ 和 $R_2$ 是从 $A$ 到 $B$ 的两个二元关系，对于 $a \in A, b \in B$ ，定义：

$$
\begin{aligned}
& R_1 \cup R_2:(a, b) \in R_1 \cup R_2 \text { 当且仅当 }(a, b) \in R_1 \text { 或 }(a, b) \in R_2 ; \\
& R_1 \cap R_2:(a, b) \in R_1 \cap R_2 \text { 当且仅当 }(a, b) \in R_1 \text { 且 }(a, b) \in R_2 ; \\
& R_1-R_2:(a, b) \in\left(R_1-R_2\right) \text { 当且仅当 }(a, b) \in R_1 \text { 且 }(a, b) \notin R_2^{\prime} ; \\
& \left.\overline{R_1}: a \overline{R_1} b \text { 当且仅当 }(a, b) \notin R_1 \text { (其中 } \overline{R_1}=(A \times B)-R\right)
\end{aligned}
$$

然而，二元关系又是一种特殊的集合，构成关系的元素是有序对。所以下面又定义关系的另一些运算，通过这些运算可以由已知关系产生新的关系。

逆运算
对于表 2．1，\｛（李洋，程序设计），（苏展，数学），（王净晶，程序设计），（李洋，政治）， （徐智婷，物理）$\}$ 反映了学生选课情况，而 \｛（程序设计，李洋），（数学，苏展），（程序设计，王净晶），（政治，李洋），（物理，徐智婷）\} 则反映了课程被学生选修的情况。这样通过关系的逆运算，由给定关系产生其逆关系。
定义2．7 设 $R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的二元关系，则从 $B$ 到 $A$ 的二元关系记为 $R^{-1}$ ，定义为：$R^{-1}=\{(b, a)(a$ ， b）$\in R$ \} 称为 $R$ 的逆关系。

例如，$R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}$ ，则 $R^{-1}=\{(2,1),(3,2),(3,1)\}$ 。
定理 2.1 设 $R, R_1, R_2$ 是从 $A$ 到 $B$ 的二元关系，则
（1）$\left(R^{-1}\right)^{-1}=R_{\circ}$
（2）$\left(R_1 \cup R_2\right)^{-1}=R_1^{-1} \cup R_2{ }^{-1}$ 。
（3）$\left(R_1 \cap R_2\right)^{-1}=R_1^{-1} \cap R_2{ }^{-1}$ 。
（4）$(A \times B)^{-1}=B \times A$ 。
（5）$\varnothing^{-1}=\varnothing$ 。
（6） $\bar{R}^{-1}=\overline{R^{-1}}$ 。
（7）$\left(R_1-R_2\right)^{-1}=R_1^{-1}-R_2^{-1}$ 。
（8）若 $R_1 \subseteq R_2$ 则 $R_1^{-1} \subseteq R_2^{-1}$ 。
证明：（1）$(a, b) \in R \Leftrightarrow(b, a) \in R^{-1} \Leftrightarrow(a, b) \in\left(R^{-1}\right)^{-1}$ ，则 $\left(R^{-1}\right)^{-1}=R$ 。
（2）$(a, b) \in\left(R_1 \cup R_2\right)^{-1} \Leftrightarrow(b, a) \in R_1 \cup R_2 \Leftrightarrow(b, a) \in R_1$ 或者 $(b, a) \in R_2 \Leftrightarrow(a, b) \in R_1^{-1}$ 或者 $(a$ ， b）$\in R_2^{-1} \Leftrightarrow(a, b) \in R_1^{-1} \cup R_2^{-1}$ ；因此 $\left(R_1 \cup R_2\right)^{-

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