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关系的重要性质

## 关系的重要性质
对于给定的集合 $A$ ，可以定义很多不同的关系，其中一些关系具有某些特殊性质，即关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

**定义2．15** 设 $R$ 为集合 $A$ 的二元关系：
（1）若对任意元素 $x \in A$ ，都有 $(x, x) \in R$ ，则称关系 $R$ 是自反的或称关系 $R$具有自反性。
（2）若对任意元素 $x \in A$ ，都有 $(x, x) \notin R$ ，则称关系 $R$ 是反自反的或称关系 $R$ 具有反自反性。

**例2． 23** 设集合 $A=\{1,2,3\}$ 上定义关系：$R_1=\{(1,1),(2,2),(3,3)$ ， $(1,2),(2,3)\}, R_2=\{(1,2),(2,3),(3,2)\}, R_3=\{(1,1),(1,2),(2,3)\}$ ，则 $R_1$是自反的，$R_2$ 是反自反的，$R_3$ 既不是自反的也不是反自反的。

注意：一个关系不是自反的，不一定就是反自反的。
对上述关系 $R_1$ 和 $R_2$ ，其关系图和关系矩阵分别为：

![图片](/uploads/2026-05/6bb05e.jpg)
 
  从该例中，得到关系自反性和反自反性的关系图和关系矩阵判断方法：
（1）若关系 $R$ 是自反的，当且仅当其关系图中每个结点都有自回路；若关系 $R$ 是反自反的，当且仅当其关系图中每个结点都没有自回路。
（2）若关系 $R$ 是自反的，当且仅当关系矩阵主对角线上的元素均为 1 ；若关系 $R$ 是反自反的，当且仅当关系矩阵主对角线上的元素均为 0 。

对于自反性和反自反性，有如下的定理进行判断。

**定理2．9** 设 $R$ 是定义在集合 $A$ 上的二元关系，$R$ 是自反的当且仅当 $I_A \subseteq R$ 。

证明：（1）必要性
根据恒等关系的定义，对任意的 $x \in A$ ，有 $(x, x) \in I_A$ 。
因为 $R$ 在 $A$ 上是自反的，即对任意的 $x \in A$ ，有 $(x, x) \in R$ 。因此，$I_A \subseteq R$ 。
（2）充分性
对任意的 $x \in A$ ，有 $(x, x) \in I_A$ ，而 $I_A \subseteq R$ ，因此，对任意的 $x \in A$ ，有 $(x, x) \in R$ ，即 $R$ 在 $A$ 上是自反的。

**定理2．10** 设 $R$ 是定义在集合 $A$ 上的二元关系，$R$ 是反自反的当且仅当 $R \cap I_A=\varnothing$ 。

对于关系自反性和反自反性的判断，可以采用定义、关系图、关系矩阵和定理方法进行判断。

`例2.24` 试判断定义在集合 $A=\{1,2,3\}$ 上的下列关系是否具有自反性、反自反性。
（1）$\leqslant$ 关系；
（2）$<$ 关系；
（3）$R=\{(1,1),(2,2),(2,3)\}$ 。
解：（1）对任意的 $x \in A$ ，都有 $x \leqslant x$ ，即 $(x, x) \in \leqslant$ ，因此，$\leqslant$ 关系具有自反性。
（2）对任意的 $x \in A$ ，都没有 $x<x$ ，即 $(x, x) \notin<$ ，因此,$<$ 关系具有反自反性。
（3）关系 $R$ 既不是自反的也不是反自反的。

**定义2．16** 设 $R$ 为集合 $A$ 的二元关系，
（1）若对任意的 $(x, y) \in R$ ，均有 $(y, x) \in R$ ，则称关系 $R$ 是对称的或具有对称性。
（2）若对任意的 $(x, y) \in R$ 且 $x \neq y$ ，均有 $(y, x) \notin R$ ，则称关系 $R$ 是反对称的或具有反对称性。

`例2.25` 集合 $A=\{a, b, c\}$ 上关系 $R_1=\{(a, b),(b, a),(a, c),(c, a)$ ，$(c, c)\}, R_2=\{(a, a),(a, b),(a, c),(c, c)\}$ ，则 $R_1$ 是对称的，$R_2$ 是反对称的。对上述关系 $R_1$ 和 $R_2$ ，其关系图和关系矩阵分别为：

![图片](/uploads/2026-05/94ed2b.jpg)
 
  从该例中，得到关系对称性和反对称性的关系图和关系矩阵判断方法：
（1）若关系 $R$ 是对称的，当且仅当其关系图中每条有向弧是成对出现的；若关系 $R$ 是反对称的，当且仅当其关系图中有向弧均不是成对出现的。
（2）若关系 $R$ 是对称的，当且仅当其关系矩阵是对称矩阵；若关系 $R$ 是反对称的，当且仅当关系矩阵关于主对角线对称的元素不同时为 1 。

对于对称和反对称性，有如下的定理进行判断。
**定理2．11** 设 $R$ 是定义在集合 $A$ 上的二元关系，$R$ 是对称的当且仅当 $R=\bar{R}$ 。

证明：（1）必要性
设 $R$ 是对称的，根据定义，对任意的 $(x, y) \in R$ ，均有 $(y, x) \in R$ ，则 $(x, y) \in \bar{R}$ ，有 $R \subseteq \bar{R}$ 。同理可证 $\bar{R} \subseteq R$ 。因此 $\bar{R}=R$ 。
（2）充分性
对任意的 $(x, y) \in R$ ，则 $(y, x) \in \bar{R}$ 。因为 $R=\bar{R}$ ，则 $(y, x) \in R$ ，因此 $R$ 是对称的。

**定理 2.12** 设 $R$ 是定义在集合 $A$ 上的二元关系，$R$ 是反对称的当且仅当 $R \cap \bar{R} \subseteq I_A$ 。

证明：（1）必要性
设 $R$ 是反对称的，对任意的 $(x, y) \in R \cap \bar{R}$ ，则必然有 $(x, y) \in R$ 和 $(x, y) \in \bar{R}$成立，即 $(x, y) \in R$ 和 $(y, x) \in R$ 。

根据反对称的定义，有 $x=y$ 。因此，$(x, y)=(y, x)=(x, x) \in I_A$ 。
所以，$R \cap \bar{R} \subseteq I_A$ 。
（2）充分性
设 $R \cap \bar{R} \subseteq I_A,(x, y) \in R$ 且 $(y, x) \in R$ ，则有 $(x, y) \in R$ 且 $(x, y) \in \bar{R}$ ，因此， $(x, y) \in R \cap \bar{R}$ 。因为 $R \cap \bar{R} \subseteq I_A$ ，所以 $(x, y) \in I_A$ ，即 $x=y$ ，因此 $R$ 是反对称的。

`例2.26`设集合 $A=\{1,2,3\}$ ，在集合 $A$ 上定义如下关系：

$$
\begin{aligned}
& R_1=\{(1,2),(2,1),(3,3)\} \\
& R_2=\{(1,2),(3,3)\} \\
& R_3=\{(1,2),(2,1),(2,3)\} \\
& R_4=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}
\end{aligned}
$$

试判断 4 个关系是否具有对称性和反对称性。
解：根据定义可知，
$R_1$ 具有对称性，而不具有反对称性。因为 $(1,2)$ 和 $(2,1)$ 都是 $R_1$ 中的元素。
$R_2$ 具有反对称性，而不具有对称性。因为 $R_2$ 中只有 $(1,2)$ ，没有 $(2,1)$ 。
$R_3$ 既不具有对称性，也不具有反对称性。因为 $(1,2)$ 和 $(2,1)$ 都是 $R_3$ 中的元素，因此不满足反对称性；$R_3$ 中只有 $(2,3)$ ，没有 $(3,2)$ ，因此也不满足对称性。
$R_4$ 既具有对称性，也具有反对称性。
注意：由关系的对称性和反对称性的定义可知，反对称性不是对称性的否定，存在既不是对称的又不是反对称的二元关系，也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。

**定义2．17** 设 $R$ 为集合 $A$ 的二元关系，若对任意的 $(x, y) \in R$ 和 $(y, z) \in R$ ，均有 $(x, z) \in R$ ，则称关系 $R$ 是传递的或具有传递性。

`例2.27` 设 $A=\{1,2,3\}$ ，定义在 $A$ 上的二元关系 $R_1=\{(1,2),(2,1)$ ， $(3,3)\}, R_2=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}$ ，则 $R_1$ 不具有传递性，因为 $(1,2) \in R_1$ ， $(2,1) \in R_1$ ，而 $(1,1) \notin R_1$ 。根据定义，$R_2$ 具有传递性。

在传递性的定义中，指出了只要 $(x, y) \in R$ 且 $(y, z) \in R$ ，则必有 $(x, z) \in R$ 。因此，在检查了每一个这样的序偶之后，才能判断一个关系的传递性是否成立。所以给定一个关系，判断其传递性是比较复杂的。

对于关系的传递性，有下面的定理。
**定理2．13** 设 $R$ 是定义在集合 $A$ 上的二元关系，$R$ 是传递的当且仅当 $R^2 \subseteq R$ 。

`例2.28` 设集合 $A=\{1,2,3\}$ ，定义在 $A$ 上的 3 个二元关系的关系图如图 2.4 所示，可以清楚看出：

![图片](/uploads/2026-05/be786c.jpg)
 
$R_1$ 具有自反性、反对称性、传递性；
$R_2$ 具有反自反性、反对称性；
$R_3$ 具有反自反性、对称性、反对称性和传递性，它是一个空关系。

## 应用
前面讲过包含行和列的表格可以用来表示关系。如果表格中含有 n 列，那么这个表格对应一个 n 元关系。表格的每一行便是一个 n 元组

现在我们来看教务数据库的一个实例，它包含如下 3 个表：学生简历表 $S$ ，课程表 $C$ 和成绩表 $S C$ 。

一个数据库是一个由计算机操纵的表格的汇集，如上述教务数据库包含学生简历表，课程表和成绩表等表格。计算机系统可以将大量信息存放在数据库中，它们具有各种用途。数据库管理系统（DBMS）是管理数据库的一组程序，用户可以通过数据库管理系统所提供的语言使用数据库中的数据。关系数据库模型是 E．F．Codd于 1970 年提出的，它是以 $n$ 元关系的概念为基础。下面通过一个例子简单地介绍关系数据库理论中某些基本概念，有关关系数据库深入详细的论述可见有关参考书。

属性是事物的某一方面的特征，表 2.3 所示的学生简历表 $S$ 中的学号，姓名，性别，年龄，籍贯是学生的几个属性。如某一学生的学号为 920002 ，姓名为崔䎐翔，性别为男，年龄为 20 ，籍贯为上海，它们分别是上述几个属性所取的某一值。属性所取值的变化范围称为属性域，如性别的属性域为\｛男，女\}, 年龄的属性是由 17 到 25 之间的整数（这里假定大学生的年龄最小为 17 岁，最大为 25 岁）。由此可见，属性是变量，属性的值是变量所取的值，而属性域是变量的变化范围。

在一个关系中，单个或多个属性的值唯一地决定一个 $n$ 元组，那么这单个或多个属性成为该关系的键。例如，在学生简历表 $S$ 中，我们可以取属性学号作为键，但属性性别不是键，因为同一性别的学生有很多。同理，属性年龄也不可能作为键。
 ![图片](/uploads/2025-01/d2987f.jpg)
  ![图片](/uploads/2025-01/3c3ef2.jpg)
  
  用户可以通过数据库管理系统所提供的语言使用数据库中的数据，包括以下几个方面。
（1）查询：从数据库中取出满足一定条件的数据。
（2）插入数据：将一些数据存放到数据库中。
（3）修改数据：修改数据库中指定的数据。
（4）删除数据：删除数据库中指定的数据。
插入操作是在关系中增加一些元组，这种操作相当于集合的并运算。删除操作是在关系中除去一些元组，这种操作相当于集合的差运算。而修改操作相当于对要修改的元组进行删除操作，然后将修改好的新元组作插入操作。与此相应的集合运算是先作差运算再作并运算。

下面，我们简述针对数据库环境专门设计的关系运算，回答关系数据库模型下的查询，并举例说明。

投影
投影的定义见上节。关系 $R$ 在属性 $A_{i_i}, A_{i_2}, \cdots, A_{i_m}$ 上的投影为 $\Pi_{i_i, A_2, \ldots, A_{m n}}$ 。即投影运算 $\Pi$ 是从一个关系中选出属性 $A_{i_1}, A_{i_2}, \cdots, A_{i_m}$ 对应的列（删去相同的行）。

例 2.12 对表2．4课程表 $C$ 投影，给出所有的课程号以及课程名：

$$
\Pi_{C \#, \text { CNAME }}(C)
$$

得到元组为（ 01 ，离散数学），（ 02 ，程序设计），（ 03 ，数据库）。
选择
从某些给定关系 $R$ 中选出满足限定条件 $F$ 的元组子集，记为 $\sigma_F(R)$ 。它也是一个关系，其中限定条件 $F$ 是逻辑表达式。
例 2.13 对表 2.5 成绩表 $S C$ 进行选择操作，要求给出选修课程其课程号为 03 的全体学生的成绩单：

$$
\sigma_{C \# 03}(S C)
$$

得到元组为 $(920002,03, C),(920003,03, A),(920004,03, B),(920005,03, C),(920006$ ， $03, B)$ 。

将投影和选择两运算联合应用于关系，可以从关系中找出所要求的任意行与列的内容。
例 2.14 对表 2.5 成绩表 $S C$ 进行选择和投影，给出学号为 920003 的学生所修课程和成绩为

$$
\Pi_{C \#, G R A D E} \sigma_{S \#=220003}(S C)
$$

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