最后更新: 2025-03-17 08:12 查看: 57 次反馈刷题

傅里叶级数的定义

## 傅里叶级数的定义
现在给出本章的主要定义。
定义16．1 设周期 $2 \pi$ 的函数 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积和绝对可积 ，令

$$
\begin{aligned}
& a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x, \quad \forall n \geqslant 0, \\
& b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x d x, \quad \forall n \geqslant 1,
\end{aligned} ...(16.4)
$$

称它们为 $f$ 的 Fourier 系数，称由此得到的三角级数

$$
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) ...(16.5)
$$

为函数 $f$ 的 Fourier 级数，并记为

$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
$$

又称计算 Fourier 系数的公式（16．4）为 Euler－Fourier 公式．
注 1 这里要注意在 Fourier 级数理论中的专用记号 $\sim$ 的意义．（16．5）仅仅表示右边的三角级数是左边函数 $f$ 的 Fourier 级数，也就是说右边的系数是通过对左边函数 $f$ 用 Euler－Fourier 公式计算得到的 Fourier 系数，除此之外什么也没有说。这里不考虑（16．5）右边的级数的玫散性，也不考虑在收敛的点上级数的和是否等于左边函数 $f$ 在该点的函数值．在（16．5）中何时成立等号的问题到 $\S 16.2$ 解决．

注2 记号～虽然比等号弱，但仍然具有线性运算性质．这就是说，若两个函数 $f, g$ 分别有自己的 Fourier 级数，则将两个级数相加就得到 $f+g$ 的 Fourier 级数．又将 $f$ 的 Fourier 级数的每一项乘以常数 $c$ 就得到 $c f$ 的 Fourier 级数．

注 3 Fourier 级数只是三角级数中的一类．在本章后面将会给出例子，说明确实存在不是 Fourier 级数的三角级数．

在定义 16.1 中的 Fourier 系数公式是对于展开式（16．3）右边增加一致收敛条件后通过逐项积分计算得到的。在有了定义 16.1 之后可以将上述推导计算写成为一个定理。

定理16．1 在 $(-\infty,+\infty)$（或 $[-\pi, \pi])$ 上一致收敛的三角级数一定是其和函数的 Fourier 级数．

对于只含有限个非零项的三角多项式，即

$$
\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n\left(a_k \cos k x+b_k \sin k x\right)
$$

将它看成为无穷级数时总是一致收玫的，因此就得到下面的推论．（当然也可以直接用定义 16.1 对推论作出证明．）

推论 三角多项式一定是自身的 Fourier 级数。
注 由定理16．1可知，若一个三角级数不是 Fourier 级数，则它不会是一致收敛的．此外，从 $\S 16.2$ 的收玫性定理可知，Fourier 级数的和函数有间断点是常见的．由连续性定理（即定理 15．5）可见，这时级数当然不会是一致收敛的。

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