最后更新: 2025-09-01 08:48 查看: 196 次纠错评论(0) 课件开VIP

傅里叶级数的定义

## 傅里叶级数的定义
现在给出本章的主要定义。
**定义16.1** 设周期 $2 \pi$ 的函数 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积和绝对可积 ，令

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x, \quad \forall n \geqslant 0, \\
& b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x d x, \quad \forall n \geqslant 1,
\end{aligned} ...(16.4)
}
$$

称它们为 $f$ 的 Fourier **傅里叶系数**，称由此得到的三角级数

$$
\boxed{
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) ...(16.5)
}
$$

为函数 $f$ 的 **Fourier级数**，并记为

$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
$$

又称计算 Fourier 系数的公式（16．4）为 Euler－Fourier 公式．

> 注1 这里要注意在 Fourier 级数理论中的专用记号 $\sim$ 的意义．（16．5）仅仅表示右边的三角级数是左边函数 $f$ 的 Fourier 级数，也就是说右边的系数是通过对左边函数 $f$ 用 Euler－Fourier 公式计算得到的 Fourier 系数，除此之外什么也没有说。这里不考虑（16．5）右边的级数的玫散性，也不考虑在收敛的点上级数的和是否等于左边函数 $f$ 在该点的函数值．在（16．5）中何时成立等号的问题到 $\S 16.2$ 解决．

> 注2 记号～虽然比等号弱，但仍然具有线性运算性质．这就是说，若两个函数 $f, g$ 分别有自己的 Fourier 级数，则将两个级数相加就得到 $f+g$ 的 Fourier 级数．又将 $f$ 的 Fourier 级数的每一项乘以常数 $c$ 就得到 $c f$ 的 Fourier 级数．

> 注 3 Fourier 级数只是三角级数中的一类．在本章后面将会给出例子，说明确实存在不是 Fourier 级数的三角级数．

在定义 16.1 中的 Fourier 系数公式是对于展开式（16．3）右边增加一致收敛条件后通过逐项积分计算得到的。在有了定义 16.1 之后可以将上述推导计算写成为一个定理。

### 收敛定理
**定理16.1 在 $(-\infty,+\infty)$（或 $[-\pi, \pi])$ 上一致收敛的三角级数一定是其和函数的 Fourier 级数**

对于只含有限个非零项的三角多项式，即

$$
\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n\left(a_k \cos k x+b_k \sin k x\right)
$$

将它看成为无穷级数时总是一致收玫的，因此就得到下面的推论．（当然也可以直接用定义 16.1 对推论作出证明．）

> **推论 三角多项式一定是自身的 Fourier 级数。**

注 由定理16．1可知，若一个三角级数不是 Fourier 级数，则它不会是一致收敛的．此外，从 $\S 16.2$ 的收玫性定理可知，Fourier 级数的和函数有间断点是常见的．由连续性定理（即定理 15．5）可见，这时级数当然不会是一致收敛的。

## 理解：傅里叶展开
想象你面前有一堆谷物$f(x)$，包括：大米$a_1$、黄豆$a_2$、花生$a_3$和西红柿$a_4$。

现在，我要提取这些农作物，怎么提取？我只要

![图片](/uploads/2025-09/c39aa4.jpg){width=400px}
 
 我只要准备四个筛子即可，请注意：**在筛选时，孔眼必须从小到大进行筛选**。
 首先用大米筛子进行筛选(孔眼大小为 $1w$)，这样掉下来的都是大米。
 再用黄豆筛子进行筛选(孔眼大小为 $2w$)，掉下来的都是黄豆，
 再用花生筛子进行筛选(孔眼大小为 $3w$)，掉下来的都是花生，
 再用西红柿筛子进行筛选(孔眼大小为 $4w$)，掉出来的都是西红柿
 
  ![图片](/uploads/2025-09/737e60.jpg){width=600px}
 
 这样，可以看到，谷物$f(x)$ 就可以表示为
 $$
 f(x)=a_1  \cdot  sin (1w) +a_2 \cdot sin(2w) +a_3 \cdot sin(3w) +a_4  \cdot sin(4w)
 $$

上面这个式子有三层意思：
（1）谷物是各个物料之和。所以函数$f(x)$ 可以表示为多个正弦波**之和**。
（2）最小的筛子孔眼相当于**基准频率**$w$，用他当做基准后，后面各种筛子的孔眼都是他的$n$倍，即$nw$
(3)农作物的习俗$a_1,a_2..a_4$ 相当于各个农作物的数量，也就是正弦波的**振幅**。

（4）丢掉一部分农作物会导致函数失真，但是不影响大势，比如把西红柿去掉后，只用前面的3项表示$f(x)$，这最终表达出来的农作物会失真，但是在不影响精度下，仍可用。

把上面图形如果画出来，就类似如下：最前面函数图像$f(x)$ 他是后面各种波形图的叠加。

![图片](/uploads/2025-09/b7b506.jpg)

如果你仔细看，上图中有一个黑色直线，这个是**直流项**，他就像“晾衣服的杆子”也就是傅里叶展开的第一个数常数项，他本身不参与叠加，但是他控制整体波的上移或下移。

### 具体实现
  
在进一步深入傅里叶之前，需要引入“正交”的概念，正交，就是垂直的意思，我们常见的直角坐标系，就是正交的。

## 向量的正交
在二维平面上，有二维笛卡尔坐标系，即$e_1=(1,0),e_2={0,1}$ ，这两个向量互相垂直的充要条件是点积为零，即$e_1 \cdot e_2=1*0+0*1=0$ ，其推导可以参考[向量正交](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=492)
 
这个结论可以推广到三维、四维、一直到$n$维，以三维为例
 $e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)$ 计算他们的内积
 可以发现 $e_1 \cdot e_2=0,e_1 \cdot e_3=0, e_2 \cdot e_3=0$ ，所以 $e_1,e_2,e_3$ 互相垂直，我们把两两互相垂直的向量称为正交向量。
 
对于四维及其以上维度，已经无法画图，但是上面的结论是一样的。
 
>**向量的正交给我们计算向量带来了方便，因为任何一个向量和正交向量做内积，就表示这个向量在该坐标轴上的投影（或者说分量。）**

![图片](/uploads/2025-07/338f1a.jpg){WIDTH=350PX}

参考上图，比如有一个向量$\boldsymbol{a}=[4,3]$,我们要计算他在$\boldsymbol{e_1}$轴上的投影，可以计算 $ a \cdot e_1=[4,3] \cdot [1,0]=4*1+3*0=4$ ，即向量在$x$轴分量为4.

同理，  $ a \cdot e_2=[4,3] \cdot [0,1]=4*0+3*1=3$ ，即向量在$y$轴分量为3.

这样，就把向量$[4,3]$ 分解为了2个向量：水平方向的$[4,0]$ 和   垂直方向上的 $[0,3]$，当处理向量时，直接使用分量进行处理。

> **因此，如果计算向量 $a+b$ 只要把他们的分量投影到对应的坐标轴上，然后对应的分量相加，即可得到向量的结果，这种分解的思想，相当于把向量运算转换为了分量上的代数式的加减，非常方便。**

## 三角函数正交系
数学家们从向量的正交分解获得启发，提出了三角函数的正交性。
给你一个集合

$$
\{1, \cos x, \sin x,\cos 2x, \sin 2x, \cos 3x, \sin 3x,\cdots, \cos n x, \sin n x \}
$$
我们称呼这个集合为**三角函数系**。
这里的$1$可以认为是$cos 0x$，而$0$是$sin0x$直接忽略没有再写。

在这个三角函数系里，任何两个函数沿着 $[-\pi, \pi]$ 积分（正好是一个周期），都可以得到他们的积分值为零。即

(1) $\int_{-\pi}^\pi \cos n x d x=0 , (n=1,2,3 \cdots)$

(2) $\int_{-\pi}^\pi \sin n x d x=0, (n=1,2,3, \cdots)$

(3) $\int_{-\pi}^\pi \sin k x \cdot \cos n x d x=0, (n, k=1,2,3 \cdots)$

(4) $\int$ $\int_{-\pi}^\pi \cos k x \cdot \cos n x, (n, k=1,2,3 \cdots, n \neq k)$

(5) $\int_{-\pi}^\pi \sin k x \cdot \sin n x d x=0, (n, k=1,2,3 \cdots, n \neq k)$

> **正如我们说两个向量点积为零则互相垂直一样，我们把两个三角函数在$[-\pi, \pi]$ 积分为零，称呼这2个三角函数正交。**

如果我们画出他的图形来，可以类似如下，注意：任何两个“函数”都互相垂直的(下图这里使用了复数表示，因为二维确实不好画，你可以认为每一个复数都对应 $cos x + i sin x$)。

![图片](/uploads/2025-07/19519d.jpg){width=500px}
 
 如果把上面图，进一步可视化，如下：会得到波的分解。
 
 > **任何一个波，都可以分解到 三角函数正交系 上**

![图片](/uploads/2025-07/2d79ac.jpg){WIDTH=600PX}
 
**三角函数正交系只是帮助我们找到了坐标系**，但是光知道波的分解还不够，还需要知道**波在该分量上的大小**。再次回到向量，一个向量想知道他在每个基上的分量，只要用该向量和基单位做点积即可。同样的，

**给你一个波只要和三角函数正交积做积分，就可以求得该分量的大小(振幅)**。 这就是上面我们为了得到$a_n,b_n$用函数$f(x)$ 和 三角函数乘积做积分的原因。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：傅里叶级数的引入与正交函数系

下一篇：傅里叶级数举例与计算

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)