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傅里叶级数的引入与正交函数系

## 函数的展开
### 幂级数展开
古往今来，从阿基米德开始的众多大数学家，一直在孜孜不倦地寻找用简单函数较好地近似代替复杂函数的途径——除了理论上的需要之外，它对实际应用领域的意义更是不可估量。但在微积分发明之前，这个问题一直没能获得本质上的突破。

人们最熟悉的简单函数无非两类：**幂函数和三角函数**．英国数学家 泰勒 Taylor 在 18 世纪初找到了用幂函数的（无限）线性组合表示一般函数 $f(x)$ 的方法，即通过 Taylor 展开将函数化成幂级数形式

$$
\boxed{
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n \text {...(函数以幂级数方式展开即泰勒展开)}
}
$$

经过理论上的完善之后，它很快成为了微分学（乃至整个函数论）的重要工具之一．这方面内容已在前面有关章节中作了介绍。

但是，函数的 Taylor 展开在应用中有一定的局限性．首先我们在实际问题中总是 （也只能）使用 Taylor 级数的部分和，即 $f(x)$ 的 $n$ 次 Taylor 多项式

$$
P_n(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n
$$

来近似地代替函数 $f(x)$ ，这时候它要求 $f(x)$ 有至少 $n$ 阶的导数，这一条件对许多实际问题来说是过于苛刻的（特别是在发现了许多不可导甚至不连续的重要函数之后）；同时，一般来说 Taylor 多项式仅在点 $x_0$ 附近与 $f(x)$ 吻合得较为理想，也就是说，它只有局部性质．为此有必要寻找函数的新的级数展开方法．

### 三角函数展开

19世纪初，法国数学家和工程师 Fourier 在研究热传导问题时，找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数 $f(x)$ 的方法，即把 $f(x)$ 展开成所谓的 Fourier 级数。

形如

$$
\boxed{
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
\text {...(函数以三角级数方式展开即傅里叶展开)}
} 
$$

的函数项级数称为三角级数，其中 $a_0, a_n$ 和 $b_n(n=1,2, \cdots)$ 为常数．

与 Taylor 展开相比，Fourier 展开对于 $f(x)$ 的要求要宽容得多，并且它的部分和在整个区间都与 $f(x)$ 吻合得较为理想。因此，Fourier 级数是比 Taylor 级数更有力、适用性更广的工具，它在声学、光学、热力学、电学等研究领域极有价值，在微分方程求解方面更是起着基本的作用。可以说，Fourier 级数理论在整个现代分析学中占有核心的地位。

## 三角函数的基本概念

### 周期和频率
想象一个小球沿着圆心做匀速圆周运动。
![3457b7a9f425d082b5ef5820a7d0c8fa.gif](/uploads/2025-07/72d14f.gif){width=400px}

如果小球每转动一圈需要$0.5$秒，我们称呼这个$0.5$为小球运动的周期，记做$T$, 即
$$
T=0.5
$$

**由周期定义可知，周期越大，表明旋转一周所需时间越长，反之周期越小，表面旋转一周所需时间越短**

上面这个还有另外一个说法，即：每秒转动$2$圈，我们称呼这个$2$ 为小球运动的频率，记做$f$ 即：
$$
f=2
$$

频率单位为赫兹，记做Hz,通俗理解频率就是转速。**因此频率越大，转速越快，频率越小，转速越慢**

很容易得知周期和频率的关系为:

$$
\boxed{
f=\frac{1}{T}
}
$$

## 角速度
因为小球运动一圈固定的角度是$2 \pi$， 运动的时间是$T$， 我们就用 $\frac{2 \pi}{T}$ 来表示“角速度”（你可以类比速度），记做$\omega$, 单位为 弧度/秒， 即

$$
\boxed{
\omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi f
}
$$

由上式可知，周期、频率和角频率三者之间是相互联系的，如果知道其中一个，便可求得另外两个。

### 相位
相位表示振动物体当前的状态或位置。它告诉振动物体相对于振动的起始点在何处,相位通常使用$\phi$ 表示。

例如两个相同的单摆，把摆球拉起一定角度。如果摆球A和B同时释放，我们说它们的相位相同；如果A球领先于B球释放，我们说A球的相位领先（或超前）于B球，或者说B球的相位落后于A球

![图片](/uploads/2025-07/443140.jpg){width=300px}

下图旨在说明圆周运动和正弦运动本质是相同的，所以圆周运动的概念可以平移到正弦函数里，因此在学习正弦函数时，可以随时在两个概念之间切换。
比如，角角速度是$w$，那么经过$t$运动后，转到的角度就是$\phi=wt$，所以正弦里的 $sin(wt)$ 可以认为是$sin(\phi)$
 ![7934-753d580509694f25db41399ac4b29449.gif](/uploads/2025-08/bc9c9f.gif)

## Fourier 级数的引入与正交函数系
在自然界中，周期现象是常见的．在物理学中将它们称为振动，振动的传播就是波．声，光，电都离不开波．描述周期现象的数学函数就是周期函数．

对于周期现象的数学分析，幂级数并不合适。例如，虽然我们有正弦和余弦函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上的 Taylor 级数展开式，但难以从这些展开式中看出它们的和函数是周期函数．描述周期现象的基本数学工具是三角级数．它的一般形式为

$$
\boxed{
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n \omega x+b_n \sin n \omega x\right) ...(16.1)
}
$$

可以联系声学来观察$(16.1)$．这时将其中的一次谐波写为 $A \cos (\omega t+\varphi)$ ，称为纯音．它可以用音叉的振动生成．一般的乐音不会是纯音，而是由三角级数中许多项合成的。不同的乐器的组成是不一样的。所谓音色或者音品，就是合成的效果。 $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2}$ 为频率．人耳能听到的声波的频率大致为 $20 \sim 2 \times 10^4 Hz$ 。更高频率的声波称为超声波，低于 20 Hz 的声波称为次声波．最重要的次声波就是由大地震引起的。

从数学上看，（16．1）的和函数（若收敛的话）是周期为 $T=\frac{2}{\omega}$ 的周期函数．经常将其中的第一项称为常数项（在电学中可称为直流项），和式中 $n=1$ 的项称为一次谐波，$n=2$ 的项称为二次谐波等等．若在（16．1）的和式中只有有限个非零项，则称为三角多项式．Fourier 级数是一类特殊的三角级数，其定义将在下面给出．

###  Fourier 级数的定义
通过变量代换总可以将（16．1）中的参数 $\omega$ 取为 1 ．这时该级数取下列形式：

$$
\boxed{
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
}
$$
其中每一项都以 2 为周期，因此在收敛时它的和函数也是周期 2 的函数．
称组成上述级数的下列函数集合，即

$$
\{1, \cos x, \sin x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots\}
...(16.2)
$$

为**三角函数系**．

如果将幂级数看成为 $1, x, x^2, \cdots, x^n, \cdots$（或者 $1,\left(x-x_0\right),\left(x-x_0\right)^2, \cdots,(x-$ $\left.\left.x_0\right)^n, \cdots\right)$ 的线性组合，则三角级数就是三角函数系中的函数的线性组合．利用代数学中的线性空间概念，可以考虑在 $[-\pi, \pi]$ 上的函数形成的线性空间，其中将一个函数看成为该空间的一个元（一个点），并用通常的方法定义其中的加法和数乘法．虽然这个空间不是有限维的，但有限维空间中的许多概念仍然可以推广到无限维空间中去．这里首先是内积和正交性．

在有限维空间中引入内积之后就可以定义向量的正交性．具体来说，对于实 $n$维空间中的向量 $a =\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ 和 $b =\left(b_1, \cdots, b_n\right)$ ，若有 $\sum_{i=1}^n a_i b_i=0$ ，则称向量 $a$ 与 $b$ 正交，记为 $a \perp b$ ．

对于定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的函数 $f, g$ ，设它们都是 Riemann 可积函数，则可以将 $f$和 $g$ 的内积定义为 $(f, g)=\int_{-\pi}^\pi f g$ ，并将 $f \perp g$ ，即 $f$ 和 $g$ 正交，定义为

$$
(f, g)=\int_{-\pi}^\pi f(x) g(x) d x=0
$$

现在区间 $[-\pi, \pi]$ 上观察三角函数系（16．2），并采用上述正交性定义，则首先可以计算出

$$
\int_{-\pi}^\pi 1 \cdot \cos n x d x=\left.\frac{1}{n} \sin n x\right|_{-\pi} ^\pi=0, \quad \int_{-\pi}^\pi 1 \cdot \sin n x d x=\left.\frac{1}{n}(-\cos n x)\right|_{-\pi} ^\pi=0
$$

这表明三角函数系（16．2）中的第一个函数，即**恒等于 1 的常值函数，和该三角函数系内的所有其他函数正交**.

然后又可以计算出

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\pi}^\pi \sin n x \cos m x d x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\sin (n+m) x+\sin (n-m) x] d x=0 \\
& \int_{-\pi}^\pi \cos n x \cos m x d x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\cos (n+m) x+\cos (n-m) x] d x=\pi \delta_{n m}, \\
& \int_{-\pi}^\pi \sin n x \sin m x d x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\cos (n-m) x-\cos (n+m) x] d x=\pi \delta_{n m},
\end{aligned}
$$

其中用了 克罗内克符号 $\delta_{n m}=\left\{\begin{array}{ll}0, & n \neq m \\ 1, & n=m\end{array}\right.$ 。
这样我们就证明了在三角函数系（16．2）中任何两个函数相互正交．今后称这样的函数系为**正交函数系**．

注 在上述正交性计算中得到的附带结果在今后有用．这就是在三角函数系 （16．2）中，除了 $\int_{-\pi}^\pi 1^2 d x=2 \pi$ 之外，其他函数与自身相乘后在 $[-\pi, \pi]$ 上的积分都等于 $\pi$ ．

下面讨论三角级数的第一个基本问题，即**假定**如果一个周期 $2 \pi$ 的函数能够展开为三角级数，即在 $(-\infty,+\infty)$ 上使得以下等式

$$
\boxed{
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) ...(16.3)
}
$$

成立，则展开式右边的系数 $a_n, b_n$ 与函数 $f$ 有什么联系？或者说如何根据 $f$ 来计算这些系数？

对于函数的幂级数展开式来说，从 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ 就一定有 $a_n=$ $\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!} \forall n$ ，只要右边的幂级数有非零的收玫半径．对于函数的三角函数展开式 （16．3）来说，情况完全不同。

现在**假设**（16．3）中右边的级数在 $-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ 上一致收敛（这等于说在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收玫），则从 $\S 15.3$ 的理论知道，（16．3）左边的和函数 $f$ 连续，而且可以用对级数的逐项积分来计算其定积分．在 $[-\pi, \pi]$ 上通过这样的计算就得到

$$
\int_{-\pi}^\pi f(x) d x=\pi a_0+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) d x=\pi a_0
$$

于是就得到了展开式（16．3）右边第一个系数 $a_0$ 的计算公式

$$
\boxed{
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) d x
}
$$

> 提示：由于 $f$ 有周期 $2 \pi$ ，因此上式中的积分也可以改为在 $[0,2 \pi]$ 或任何长度为 $2 \pi$ 的区间上的积分。

在展开式（16．3）两边乘以 $\cos m x$ 。从关于无穷级数的 Cauchy 一致收玫准则可见，对一致收玫的级数的每一项乘以同一个有界函数后仍然一致收玫，因此又可以重复上面的逐项积分计算，同时利用三角函数系的正交性，这样就可以得到

$$
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos m x d x & =\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^\pi \cos m x d x+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) \cos m x d x \\
& =\pi a_m
\end{aligned}
$$

再将 $m$ 改记为 $n$ ，这样就得到展开式（16．3）中系数 $a_n(n \geqslant 1)$ 的计算公式：

$$
\boxed{
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x
}
$$

而且可以看到当 $n=0$ 时就得到上面的 $a_0$ ．（这是将（16．3）的常数项记为 $\frac{a_0}{2}$ 的理由之一．）

用完全同样的方法对(16.3) 两端同时乘以 $sin mx $又可以得到对 $n \geqslant 1$ 成立的关于 $b_n$ 的计算公式：

$$
\boxed {
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x d x
}
$$

## 理解：傅里叶变换
假设你面前有一堆粮食，含有芝麻，大米，黄豆，西瓜等。我们拿一个筛子，从小到大，先使用芝麻的筛子，筛下来的都是芝麻，在使用大米筛子得到了大米，在用黄豆筛子得到了黄豆，最后是西瓜筛子，得到了西瓜。

这有什么用？ 想象你听了一段音乐，他的效果如下，音乐的函数是 $f（x）$ ，他就是谷物

![图片](/uploads/2025-01/746be1.jpg)

那么$f(x)$ 可以写成无数个正弦波和余弦波叠加的声音。
$$
  f(x)=\cos1x+i \sin1x +\cos2x+i\sin x+\cos 3x+i\sin3x...
$$

这里 cos 1x 相当于芝麻的筛子， cos 2x 相当于 大米的筛子，以此类图。可以看到，筛子孔眼的大小是x的整数倍，如果记 $x=wt$ ,也可以说，孔眼的大小是频率w的倍数。我们给他一个新名字：**频谱**。
当然，光有筛子还不行，还要知道分量的大小，这个就是**振幅**A。

在正交向量里，一个向量和坐标轴做内积就是向量的分量，同样一个函数$f(x)$和 三角函数系做积分，就可以求的他的分量。 更相信理解请参考  [傅里叶变换通俗解释](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1872)

这就是复数里的傅里叶变换。
   ![图片](/uploads/2025-07/3d98db.jpg){WIDTH=400PX}

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