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傅里叶级数的引入与正交函数系

## Fourier 级数的引入与正交函数系
在自然界中，周期现象是常见的．在物理学中将它们称为振动，振动的传播就是波．声，光，电都离不开波．描述周期现象的数学函数就是周期函数．

对于周期现象的数学分析，幂级数并不合适。例如，虽然我们有正弦和余弦函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上的 Taylor 级数展开式，但难以从这些展开式中看出它们的和函数是周期函数．描述周期现象的基本数学工具是三角级数．它的一般形式为

$$
\boxed{
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n \omega x+b_n \sin n \omega x\right) ...(16.1)
}
$$

可以联系声学来观察（16．1）．这时将其中的一次谐波写为 $A \cos (\omega t+\varphi)$ ，称为纯音．它可以用音叉的振动生成．一般的乐音不会是纯音，而是由三角级数中许多项合成的。不同的乐器的组成是不一样的。所谓音色或者音品，就是合成的效果。 $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2}$ 为频率．人耳能听到的声波的频率大致为 $20 \sim 2 \times 10^4 Hz$ 。更高频率的声波称为超声波，低于 20 Hz 的声波称为次声波．最重要的次声波就是由大地震引起的。

从数学上看，（16．1）的和函数（若收敛的话）是周期为 $T=\frac{2}{\omega}$ 的周期函数．经常将其中的第一项称为常数项（在电学中可称为直流项），和式中 $n=1$ 的项称为一次谐波，$n=2$ 的项称为二次谐波等等．若在（16．1）的和式中只有有限个非零项，则称为三角多项式．Fourier 级数是一类特殊的三角级数，其定义将在下面给出．

###  Fourier 级数的定义
通过变量代换总可以将（16．1）中的参数 $\omega$ 取为 1 ．这时该级数取下列形式：

$$
\boxed{
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
}
$$
其中每一项都以 2 为周期，因此在收敛时它的和函数也是周期 2 的函数．
称组成上述级数的下列函数集合，即

$$
\{1, \cos x, \sin x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots\}
$$

为三角函数系．

如果将幂级数看成为 $1, x, x^2, \cdots, x^n, \cdots$（或者 $1,\left(x-x_0\right),\left(x-x_0\right)^2, \cdots,(x-$ $\left.\left.x_0\right)^n, \cdots\right)$ 的线性组合，则三角级数就是三角函数系中的函数的线性组合．利用代数学中的线性空间概念，可以考虑在 $[-\pi, \pi]$ 上的函数形成的线性空间，其中将一个函数看成为该空间的一个元（一个点），并用通常的方法定义其中的加法和数乘法．虽然这个空间不是有限维的，但有限维空间中的许多概念仍然可以推广到无限维空间中去．这里首先是内积和正交性．

在有限维空间中引入内积之后就可以定义向量的正交性．具体来说，对于实 $n$维空间中的向量 $a =\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ 和 $b =\left(b_1, \cdots, b_n\right)$ ，若有 $\sum_{i=1}^n a_i b_i=0$ ，则称向量 $a$ 与 $b$ 正交，记为 $a \perp b$ ．

对于定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的函数 $f, g$ ，设它们都是 Riemann 可积函数，则可以将 $f$和 $g$ 的内积定义为 $(f, g)=\int_{-\pi}^\pi f g$ ，并将 $f \perp g$ ，即 $f$ 和 $g$ 正交，定义为

$$
(f, g)=\int_{-\pi}^\pi f(x) g(x) d x=0
$$

现在区间 $[-\pi, \pi]$ 上观察三角函数系（16．2），并采用上述正交性定义，则首先可以计算出

$$
\int_{-\pi}^\pi 1 \cdot \cos n x d x=\left.\frac{1}{n} \sin n x\right|_{-\pi} ^\pi=0, \quad \int_{-\pi}^\pi 1 \cdot \sin n x d x=\left.\frac{1}{n}(-\cos n x)\right|_{-\pi} ^\pi=0
$$

这表明三角函数系（16．2）中的第一个函数，即恒等于 1 的常值函数，和该三角函数系内的所有其他函数正交．然后又可以计算出

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\pi}^\pi \sin n x \cos m x d x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\sin (n+m) x+\sin (n-m) x] d x=0 \\
& \int_{-\pi}^\pi \cos n x \cos m x d x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\cos (n+m) x+\cos (n-m) x] d x=\pi \delta_{n m}, \\
& \int_{-\pi}^\pi \sin n x \sin m x d x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\cos (n-m) x-\cos (n+m) x] d x=\pi \delta_{n m},
\end{aligned}
$$

其中用了 Kronecker ${ }^{(1)}$ 符号 $\delta_{n m}=\left\{\begin{array}{ll}0, & n \neq m \\ 1, & n=m\end{array}\right.$ 。
这样我们就证明了在三角函数系（16．2）中任何两个函数相互正交．今后称这样的函数系为正交函数系．

注 在上述正交性计算中得到的附带结果在今后有用．这就是在三角函数系 （16．2）中，除了 $\int_{-\pi}^\pi 1^2 d x=2 \pi$ 之外，其他函数与自身相乘后在 $[-\pi, \pi]$ 上的积分都等于 $\pi$ ．

下面讨论三角级数的第一个基本问题，即如果一个周期 $2 \pi$ 的函数能够展开为三角级数，即在 $(-\infty,+\infty)$ 上使得以下等式

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
$$

成立，则展开式右边的系数 $a_n, b_n$ 与函数 $f$ 有什么联系？或者说如何根据 $f$ 来计算这些系数？

对于函数的幂级数展开式来说，从 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ 就一定有 $a_n=$ $\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!} \forall n$ ，只要右边的幂级数有非零的收玫半径．对于函数的三角函数展开式 （16．3）来说，情况完全不同。

现在假设（16．3）中右边的级数在 $-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ 上一致收敛（这等于说在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收玫），则从 $\S 15.3$ 的理论知道，（16．3）左边的和函数 $f$ 连续，而且可以用对级数的逐项积分来计算其定积分．在 $[-\pi, \pi]$ 上通过这样的计算就得到

$$
\int_{-\pi}^\pi f(x) d x=\pi a_0+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) d x=\pi a_0
$$

于是就得到了展开式（16．3）右边第一个系数 $a_0$ 的计算公式

$$
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) d x
$$

由于 $f$ 有周期 $2 \pi$ ，因此上式中的积分也可以改为在 $[0,2 \pi]$ 或任何长度为 $2 \pi$ 的区间上的积分。

在展开式（16．3）两边乘以 $\cos m x$ 。从关于无穷级数的 Cauchy 一致收玫准则可见，对一致收玫的级数的每一项乘以同一个有界函数后仍然一致收玫，因此又可以重复上面的逐项积分计算，同时利用三角函数系的正交性，这样就可以得到

$$
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos m x d x & =\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^\pi \cos m x d x+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) \cos m x d x \\
& =\pi a_m
\end{aligned}
$$

再将 $m$ 改记为 $n$ ，这样就得到展开式（16．3）中系数 $a_n(n \geqslant 1)$ 的计算公式：

$$
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x
$$

而且可以看到当 $n=0$ 时就得到上面的 $a_0$ ．（这是将（16．3）的常数项记为 $\frac{a_0}{2}$ 的理由之一．）用完全同样的方法又可以得到对 $n \geqslant 1$ 成立的关于 $b_n$ 的计算公式：

$$
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x d x
$$

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