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傅里叶级数的引入与正交函数系

## 函数的展开
### 幂级数展开
古往今来，从阿基米德开始的众多大数学家，一直在孜孜不倦地寻找用简单函数较好地近似代替复杂函数的途径——除了理论上的需要之外，它对实际应用领域的意义更是不可估量。但在微积分发明之前，这个问题一直没能获得本质上的突破。

人们最熟悉的简单函数无非两类：**幂函数和三角函数**．英国数学家 泰勒 Taylor 在 18 世纪初找到了用幂函数的（无限）线性组合表示一般函数 $f(x)$ 的方法，即通过 Taylor 展开将函数化成幂级数形式

$$
\boxed{
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n \text {...(函数以幂级数方式展开即泰勒展开)}
}
$$

经过理论上的完善之后，它很快成为了微分学（乃至整个函数论）的重要工具之一．这方面内容已在前面有关章节中作了介绍。

但是，函数的 Taylor 展开在应用中有一定的局限性．首先我们在实际问题中总是 （也只能）使用 Taylor 级数的部分和，即 $f(x)$ 的 $n$ 次 Taylor 多项式

$$
P_n(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n
$$

来近似地代替函数 $f(x)$ ，这时候它要求 $f(x)$ 有至少 $n$ 阶的导数，这一条件对许多实际问题来说是过于苛刻的（特别是在发现了许多不可导甚至不连续的重要函数之后）；同时，一般来说 Taylor 多项式仅在点 $x_0$ 附近与 $f(x)$ 吻合得较为理想，也就是说，它只有局部性质．为此有必要寻找函数的新的级数展开方法．

### 三角函数展开

19世纪初，法国数学家和工程师 Fourier 在研究热传导问题时，找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数 $f(x)$ 的方法，即把 $f(x)$ 展开成所谓的 Fourier 级数。

形如

$$
\boxed{
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
\text {...(函数以三角级数方式展开即傅里叶展开)}
} 
$$

的函数项级数称为三角级数，其中 $a_0, a_n$ 和 $b_n(n=1,2, \cdots)$ 为常数．

与 Taylor 展开相比，Fourier 展开对于 $f(x)$ 的要求要宽容得多，并且它的部分和在整个区间都与 $f(x)$ 吻合得较为理想。因此，Fourier 级数是比 Taylor 级数更有力、适用性更广的工具，它在声学、光学、热力学、电学等研究领域极有价值，在微分方程求解方面更是起着基本的作用。可以说，Fourier 级数理论在整个现代分析学中占有核心的地位。

## 三角函数的基本概念

### 周期和频率
想象一个小球沿着圆心做匀速圆周运动。
![3457b7a9f425d082b5ef5820a7d0c8fa.gif](/uploads/2025-07/72d14f.gif){width=400px}

如果小球每转动一圈需要$0.5$秒，我们称呼这个$0.5$为小球运动的周期，记做$T$, 即
$$
T=0.5
$$

**由周期定义可知，周期越大，表明旋转一周所需时间越长，反之周期越小，表面旋转一周所需时间越短**

上面这个还有另外一个说法，即：每秒转动$2$圈，我们称呼这个$2$ 为小球运动的频率，记做$f$ 即：
$$
f=2
$$

频率单位为赫兹，记做Hz,通俗理解频率就是转速。**因此频率越大，转速越快，频率越小，转速越慢**

很容易得知周期和频率的关系为:

$$
\boxed{
f=\frac{1}{T}
}
$$

## 角速度
因为小球运动一圈固定的角度是$2 \pi$， 运动的时间是$T$， 我们就用 $\frac{2 \pi}{T}$ 来表示“角速度”（你可以类比速度），记做$\omega$, 单位为 弧度/秒， 即

$$
\boxed{
\omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi f
}
$$

由上式可知，周期、频率和角频率三者之间是相互联系的，如果知道其中一个，便可求得另外两个。

### 相位
相位表示振动物体当前的状态或位置。它告诉振动物体相对于振动的起始点在何处,相位通常使用$\phi$ 表示。

例如两个相同的单摆，把摆球拉起一定角度。如果摆球A和B同时释放，我们说它们的相位相同；如果A球领先于B球释放，我们说A球的相位领先（或超前）于B球，或者说B球的相位落后于A球

![图片](/uploads/2025-07/443140.jpg){width=300px}

下图旨在说明圆周运动和正弦运动本质是相同的，所以圆周运

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【数学分析】第十一篇傅里叶级数【复变函数与积分变换】引言：信号与信号的正交分解

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