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数学分析
第十一篇 傅里叶级数
正弦级数和余弦级数
最后
更新:
2025-03-17 08:14
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正弦级数和余弦级数
## 正弦级数和余弦级数 称 $a_n=0 \forall n \geqslant 0$ 的 Fourier 级数为正弦级数，又称 $b_n=0 \forall n \geqslant 1$ 的 Fourier级数为余弦级数．如前所述，奇周期函数的 Fourier 级数为正弦级数，偶周期函数的 Fourier 级数为余弦级数． 这一小节主要介绍对于仅仅在 $[0, \pi]$ 上给出的函数，如何将它展开为正弦级数或余弦级数．办法就是用奇延拓或偶延拓．（这可以看成是例题 16.3 的发展．） 例题 16.4 给定函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0<x<h \\ 0, & h<x<\pi\end{array}\right.$ ，其中 $0<h<\pi$ ，要求出该函数的余弦级数． 解 如图16．4那样，首先将 $f$ 延拓成为 $(-\pi, \pi)$ 上的偶函数．这时的函数在点 $x=0, \pm h, \pm \pi$ 处都还没有定义．如前所说，这不影响 Fourier 系数的积分计算．然后再按照周期 $2 \pi$ 延拓为 $(-\infty,+\infty)$ 上的周期函数．为简明起见，仍用 $f$ 表示延拓后的函数． 由于 $f$ 为偶函数，因此所有 $b_n=0$ ． 关于 $a_n \forall n \geqslant 0$ 则有 $$ \begin{aligned} & a_0=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) d x=\frac{2}{\pi} \int_0^h d x=\frac{2 h}{\pi}, \\ & a_n=\frac{2}{\pi} \int_0^h \cos n x d x=\frac{2}{n \pi} \sin n h . \end{aligned} $$ 这样就得到 $$ f(x) \sim \frac{h}{\pi}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n h}{n} \cos n x $$ 
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