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一般周期函数的 Fourier 级数

##  一般周期函数的 Fourier 级数
设函数 $f(x)$ 是在 $(-\infty,+\infty)$ 上周期为 $T$ 的周期函数，且在 $[0, T]$ 上可积与绝对可积．这时用周期 $2 \pi$ 的三角函数系显然不合适。与其从头开始讨论，不如用变量代换 $x=\frac{T t}{2 \pi}$ ，当 $t$ 从 0 增加到 $2 \pi$ 时，$x$ 就从 0 增加到 $T$ 。将函数 $f$ 经过这个变量代换后得到的函数记为 $\varphi(t)=f\left(\frac{T t}{2 \pi}\right)$ ，它就成为周期 $2 \pi$ 的函数了。

即
$$
\varphi(t)=f\left(\frac{T}{\pi} t\right)=f(x)
$$

这样就可以如前计算出函数 $\varphi(t)$ 的 Fourier 级数：

$$
\varphi(t) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n t+b_n \sin n t\right)
$$

然后再回到变量 $x$ ，就有

$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{2 \pi n}{T} x+b_n \sin \frac{2 \pi n}{T} x\right)
$$

由此可见，对于周期 $T$ 的周期函数，所用的三角函数系实际上就是

$$
\left\{1, \cos \frac{2 \pi}{T} x, \sin \frac{2 \pi}{T} x, \cdots, \cos \frac{2 \pi n}{T} x, \sin \frac{2 \pi n}{T} x, \cdots\right\}
$$

若引入圆频率 $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ 代替频率 $\frac{1}{T}$ ，则三角函数系就是

$$
\{1, \cos \omega x, \sin \omega x, \cdots, \cos n \omega x, \sin n \omega x, \cdots\}
$$

再观察系数计算公式的变化．这时有

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& a_0=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} \varphi(t) d t=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f\left(\frac{T t}{2 \pi}\right) d t=\frac{2}{T} \int_0^T f(x) d x \\
& a_n=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} \varphi(t) \cos n t d t=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f\left(\frac{T t}{2 \pi}\right) \cos n t d t=\frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos \frac{2 \pi n x}{T} d x \\
& b_n=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} \varphi(t) \sin n t d t=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f\left(\frac{T t}{2 \pi}\right) \sin n t d t=\frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin \frac{2 \pi n x}{T} d x
\end{aligned}
}
$$

### 注意
这里使用的周期是$[0 , 2\pi]$ ，有的书使用 $[-\pi , \pi]$
这都没问题，只要在一个周期内就可以。
如果采用后者。他的积分类似

$$
\begin{gathered}
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \varphi(t) \cos n t d t=\frac{1}{T} \int_{-T}^T f(x) \cos \frac{n \pi}{T} x d x, \quad n=0,1,2, \cdots, \\
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \varphi(t) \sin n t d t=\frac{1}{T} \int_{-T}^T f(x) \sin \frac{n \pi}{T} x d x, \quad n=1,2, \cdots
\end{gathered}
$$

请注意细微区别。

`例16.5` 计算 $f(x)=|x|,-1 \leqslant x \leqslant$ 1 的 Fourier 级数．
 ![图片](/uploads/2025-09/0cf97f.jpg)

解 如图 16.5 将 $[-1,1]$ 上的  $f(x)=|x|$   按照周期 2 作周期延拓．按周期 2 延拓在计算时有两种方法，或者用刚才得到的公式，或者用变量代换将问题归之于标准的公式（16．4）的方法。现在用后一个方法。

作变量代换 $x=\frac{t}{\pi}$ ，则 $\varphi(t)=f\left(\frac{t}{\pi}\right)=\frac{|t|}{\pi}, ~-\pi \leqslant t \leqslant \pi$ 。然后如例题 $16.3-$样，按照周期 $2 \pi$ 延拓为 $R$ 上的周期函数。

现在计算其 Fourier 系数．由于 $\varphi$ 是偶函数，所有 $b_n=0$ ，因此只要计算 $a_n$ ：

$$
\begin{aligned}
a_0 & =\frac{2}{\pi} \int_0^\pi \frac{t}{\pi} d t=1, \\
a_n & =\frac{2}{\pi} \int_0^\pi \frac{t \cos n t}{\pi} d t=\frac{2}{\pi^2}\left(\left.\frac{t \sin n t}{n}\right|_0 ^\pi-\frac{1}{n} \int_0^\pi \sin n t d t\right) \\
& =\left.\frac{2}{n^2 \pi^2} \cos n t\right|_0 ^\pi=\frac{2}{n^2 \pi^2}\left[(-1)^n-1\right] \\
& =\left\{\begin{array}{rr}
-\frac{4}{n^2 \pi^2}, & n \text { 奇, } \\
0, & n \text { 偶. }
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

于是得到

$$
\varphi(t) \sim \frac{1}{2}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{(2 n-1)^2 \pi^2} \cos (2 n-1) t
$$

最后回到自变量为 $x$ ，就有

$$
f(x) \sim \frac{1}{2}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{(2 n-1)^2 \pi^2} \cos (2 n-1) \pi x
$$

注 这里提出一个思考题，即如何解释在刚才得到的 Fourier 级数中，不仅所有 $b_n=0$ ，而且所有 $a_{2 n}=0$ ．

`例`  求 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x \in[-1,0), \\ x^2, & x \in[0,1)\end{array}\right.$ 的 Fourier 级数．
解 在上面的公式中令 $T=1$ ，计算 $f(x)$ 的 Fourier 系数得

$$
a_0=\frac{1}{T} \int_{-T}^T f(x) d x=\int_0^1 x^2 d x=\frac{1}{3},
$$

对 $n=1,2, \cdots$ ，利用分部积分法，

$$
\begin{gathered}
a_n=\frac{1}{T} \int_{-T}^T f(x) \cos \frac{n \pi}{T} x d x=\int_0^1 x^2 \cos n \pi x d x=\frac{2 \cdot(-1)^n}{n^2 \pi^2}, \\
b_n=\frac{1}{T} \int_{-T}^T f(x) \sin \frac{n \pi}{T} x d x=\int_0^1 x^2 \sin n \pi x d x=\frac{(-1)^{n+1}}{n \pi}+\frac{2 \cdot\left[(-1)^n-1\right]}{n^3 \pi^3},
\end{gathered}
$$

于是得到 $f(x)$ 的 Fourier 级数

$$
f(x) \sim \frac{1}{6}+\frac{2}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos n \pi x+\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{n+1}}{n}+2 \frac{(-1)^n-1}{n^3 \pi^2}\right] \sin n \pi x .
$$

$f(x)$ 的图形及由一系列正弦波叠加的近似情况见图 16．1．4．

![图片](/uploads/2025-09/377d0a.jpg)
 
 
## 理解：频谱分析
在上面可以看到通过傅里叶变换，函数$f(x)$ 被分解为$wx、2wx、 3wx、4wx...nwx$ 一系列以基频为基础的三角函数之和，这就是后面说的频谱分析。

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【数学分析】第十一篇傅里叶级数

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