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数学分析
第十一篇 傅里叶级数
复数形式下的 Fourier 级数
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更新:
2025-03-17 08:15
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复数形式下的 Fourier 级数
## 复数形式下的 Fourier 级数 从 Euler 公式 $e ^{ i \theta}=\cos \theta+ i \sin \theta$ 出发有 $$ \cos \theta=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}, \quad \sin \theta=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i} . $$ 在其中令 $\theta=n x$ ，就得到 $$ \cos n x=\frac{e^{i n x}+e^{-i n x}}{2}, \quad \sin n x=\frac{e^{i n x}-e^{-i n x}}{2 i} . $$ 将它们代入 Fourier 级数的通项中，则有 $$ a_n \cos n x+b_n \sin n x=c_n e^{i n x}+\bar{c}_n e^{-i n x} $$ 其中 $\bar{c}$ 是 $c$ 的共轭复数： $$ c_n=\frac{1}{2}\left(a_n-i b_n\right), \quad \bar{c}_n=\frac{1}{2}\left(a_n+i b_n\right) . $$ 引入记号 $c_0=\frac{a_0}{2}, c_{-n}=\bar{c}_n$ ，就得到复数形式的 Fourier 级数： $$ f(x) \sim c_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(c_n e^{i n x}+c_{-n} e^{-i n x}\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i n x} $$ 其中最后一个表达式理解为极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=-n}^n c_k e^{i k x} $$ 也可以直接写出复系数的计算公式： $$ c_n=\frac{1}{2}\left(a_n-i b_n\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-i n x} d x=\bar{c}_{-n} . $$ 需要指出，由于复数计算在许多方面更为方便，因此复数形式的 Fourier 级数在许多应用领域得到广泛使用．
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