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Fourier 级数的黎曼引理

## Fourier 级数的收敛性

仔细观察上一节中的几幅图像后可能会产生这样的直觉：对于一般的以 $2 \pi$ 为周期的函数 $f(x)$ ，除了个别点之外（在来是不连续点），当 $m \rightarrow \infty$ 时，它的 Fourier 级数的部分和函数序列 $\left\{S_m(x)\right\}$ ，

$$
S_m(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^m\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
$$

是收敛于 $f(x)$ 的，下面我们从理论上来探讨这个问题．
事实上，与 Taylor 级数相比，Fourier 级数尽管具有对 $f(x)$ 的要求较弱，以及它的部分和在整个区间上与 $f(x)$ 逼近得较好等优点，但在收玫性问题的讨论上，Taylor 级数相对比较简单，因为对它只要确定收玫半径，并在收敛区间的端点讨论余项的收玫情况就行了，而 Fourier 级数却要复杂得多．

### 额外话题-函数的收敛
对于函数的积分，比如$y=x^2$ 画出他 图像，可以看到随着$x \to \infty$， 函数值无线增大，也就是他是发散的，怎么才能让他收敛呢？这个问题拿不住那些聪明的数学家，他们想到了一个办法：如果我能找到一个比$y=x^2$收敛快的函数，那么把他们的乘积一相乘，不就收敛了吗？怎么找到这个函数？最好的是$y_2=e^x$,但是，这个函数也是发散的，没关系取负指数幂就可以了，因此，我们找到了一个函数$g(x)=e^{-x}$ 用$g(x)$ 和$y$ 相乘，形成一个新函数
$$
y'=e^{-x}x^2
$$
这样，就把$y$ 从发散“拉到”“收敛”，这种变换就是“拉普拉斯变换”，详见 [拉普拉斯变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3312)

## 16.2.1 黎曼Riemann 引理
一般认为，以下引理是 Fourier 级数理论中的基本引理．
**定理 16.2** （Riemann 引理）设 $f$ 于区间 $[a, b)$ 上可积与绝对可积，其中 $b$ 可以是 $+\infty$ ，则

$$
\lim _{p \rightarrow \infty} \int_a^b f(x) \cos p x d x=0, \quad \lim _{p \rightarrow \infty} \int_a^b f(x) \sin p x d x=0
$$

证 只给出第一个极限的证明，对其中的 $p \rightarrow \infty$ ，也只讨论 $p \rightarrow+\infty$ 。其余情况都是类似的。（可从图 16.7 来理解引理的意义．）先设 $[a, b]$ 为有界区间，且 $f \in R[a, b]$ ．对于最简单情况，即 $f(x) \equiv c$ 为常值函数，则 $\left.\left|\int_a^b c \cos p x d x\right|=\left|\frac{c}{p} \sin p x\right|_a^b \right\rvert\, \leqslant \frac{2 c}{p}$,可见当 $p \rightarrow+\infty$ 时极限为 0 ．

![图片](/uploads/2025-01/8be442.jpg)
 
 > 这个引理其实并不难理解，函数$f(x)$本身比较小了，再成一个更小的数，那么其值就更更小。
 
 
 由 $f \in R[a, b]$ 的可积第二充要条件（见定理 10．3（3）），对给定的 $\varepsilon>0$ ，存在分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，使得对应的振幅面积 $\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\frac{\varepsilon}{2}$ ．这时对于积分可以估计如下：

$$
\begin{aligned}
\left|\int_a^b f(x) \cos p x d x\right| & =\left|\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i}\left[f(x)-f\left(x_i\right)\right] \cos p x d x\right|+\left|\sum_{i=1}^n f\left(x_i\right) \int_{x_{i-1}}^{x_i} \cos p x d x\right| \\
& \leqslant

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