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Fourier 级数收敛的局部性定理

## Fourier 级数收敛的局部性定理
设 $f$ 为周期 $2 \pi$ 的周期函数，在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与绝对可积，则可以求出 $f$ 的 Fourier 级数．为了研究该级数的收玫性，我们从该级数的部分和函数 $S_n(x)$ 出发．

这里要注意，目前的问题是点态收玫问题，为此在下面将 $x$ 改记为 $x_0$ ，更清楚地表明我们只是在讨论在这一个点 $x_0$ 处的 $\left\{S_n\left(x_0\right)\right\}$ 的收玫性。

如下定义 $S_n\left(x_0\right)$ ，将其中的 Fourier 系数用（16．4）代入，然后利用三角函数的和角公式以及恒等式 $\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos k \theta=\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) \theta}{2 \sin \frac{\theta}{2}}$ ，这样就有

$$
\begin{aligned}
S_n\left(x_0\right) & =\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n\left(a_k \cos k x_0+b_k \sin k x_0\right) \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\left(\cos k t \cos k x_0+\sin k t \sin k x_0\right)\right] f(t) d t \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos k\left(t-x_0\right)\right] f(t) d t \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)\left(t-x_0\right)}{2 \sin \frac{t-x_0}{2}} \cdot f(t) d t ...(16.7)\\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) u}{2 \sin \frac{u}{2}} \cdot f\left(x_0+u\right) d u ...(16.8)
\end{aligned}
$$

$$
=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) u}{2 \sin \frac{u}{2}} \cdot\left[f\left(x_0+u\right)+f\left(x_0-u\right)\right] d u ...(16.9)
$$

注 对上述推导的最后几步作些说明．（16．8）是从（16．7）作 $t=x_0+u$ 的变量代换得到的，其积分区间应当是 $\left[-\pi-x_0, \pi-x_0\right]$ ．然而利用 $f$ 是周期 $2 \pi$ 的周期函数，（16．8）中的被积函数也是如此，因此可以将积分区间仍然取为 $[-\pi, \pi]$（参见例题 10．30）。最后一步是将（16．8）的积分拆开为 $\int_{-\pi}^0+\int_0^\pi$ ，然后在第一个积分中作代换 $u_1=-u$ ，使积分区间变为 $[0, \pi]$ ，并将 $u_1$ 重新记为 $u$ ，合并两个积分得到（16．9）。

### 我们的关注点
我们关心的问题就是在什么条件下成立

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} S_n\left(x_0\right)=f\left(x_0\right) ? ...(16.10)
$$

由于 Fourier 系数是通过公式（16．4）的积分计算得到的，如果在点 $x_0$ 点处改变 $f\left(x_0\right)$ 的值，则 Fourier 级数不会有任何改变．由此可见，极限 $\lim _{n \rightarro

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