最后更新: 2025-01-25 12:25 查看: 44 次反馈刷题

Fourier 级数收敛的局部性定理

## Fourier 级数收敛的局部性定理

设 $f$ 为周期 $2 \pi$ 的周期函数，在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与绝对可积，则可以求出 $f$ 的 Fourier 级数．为了研究该级数的收玫性，我们从该级数的部分和函数 $S_n(x)$ 出发．

这里要注意，目前的问题是点态收玫问题，为此在下面将 $x$ 改记为 $x_0$ ，更清楚地表明我们只是在讨论在这一个点 $x_0$ 处的 $\left\{S_n\left(x_0\right)\right\}$ 的收玫性。

如下定义 $S_n\left(x_0\right)$ ，将其中的 Fourier 系数用（16．4）代入，然后利用三角函数的和角公式以及恒等式 $\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos k \theta=\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) \theta}{2 \sin \frac{\theta}{2}}$ ，这样就有

$$
\begin{aligned}
S_n\left(x_0\right) & =\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n\left(a_k \cos k x_0+b_k \sin k x_0\right) \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\left(\cos k t \cos k x_0+\sin k t \sin k x_0\right)\right] f(t) d t \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos k\left(t-x_0\right)\right] f(t) d t \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)\left(t-x_0\right)}{2 \sin \frac{t-x_0}{2}} \cdot f(t) d t \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) u}{2 \sin \frac{u}{2}} \cdot f\left(x_0+u\right) d u
\end{aligned}
$$

$$
=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) u}{2 \sin \frac{u}{2}} \cdot\left[f\left(x_0+u\right)+f\left(x_0-u\right)\right] d u
$$

注 对上述推导的最后几步作些说明．（16．8）是从（16．7）作 $t=x_0+u$ 的变量代换得到的，其积分区间应当是 $\left[-\pi-x_0, \pi-x_0\right]$ ．然而利用 $f$ 是周期 $2 \pi$ 的周期函数，（16．8）中的被积函数也是如此，因此可以将积分区间仍然取为 $[-\pi, \pi]$（参见例题 10．30）。最后一步是将（16．8）的积分拆开为 $\int_{-\pi}^0+\int_0^\pi$ ，然后在第一个积分中作代换 $u_1=-u$ ，使积分区间变为 $[0, \pi]$ ，并将 $u_1$ 重新记为 $u$ ，合并两个积分得到（16．9）。

我们关心的问题就是在什么条件下成立

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} S_n\left(x_0\right)=f\left(x_0\right) ?
$$

由于 Fourier 系数是通过公式（16．4）的积分计算得到的，如果在点 $x_0$ 点处改变 $f\left(x_0\right)$ 的值，则 Fourier 级数不会有任何改变．由此可见，极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n\left(x_0\right)$ 即使存在，也不一定就是 $f\left(x_0\right)$ ．

于是我们不直接讨论问题（16．10），而是将 $\left\{S_n\left(x_0\right)\right\}$ 收敛时的极限记为 $S$ ，然后讨论 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n\left(x_0\right)=S$ 在什么条件下成立．

利用公式（16．9）和 Dirichlet 积分（16．6），可以写出
$$
S_n\left(x_0\right)-S=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) u}{2 \sin \frac{u}{2}} \cdot \varphi(u) d u
$$

其中

$$
\varphi(u)=f\left(x_0+u\right)+f\left(x_0-u\right)-2 S .
$$

下面对（16．11）再作两步简化，目的是看出其中的主要部分是什么．
（I）将（16．11）中的分母用 $u$ 代替并估计由此引起的差（这就是例题16．7中的方法）．从

$$
\lim _{u \rightarrow 0}\left(\frac{1}{2 \sin \frac{u}{2}}-\frac{1}{u}\right)=0
$$

出发，可见函数 $\frac{1}{2 \sin \frac{u}{2}}-\frac{1}{u}$ 在 $[0, \pi]$ 上常义可积．根据 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与绝对可积，由（16．12）定义的函数 $\varphi(u)$ 在 $[0, \pi]$ 上也可积与绝对可积．根据 Riemann引理，就得到

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^\pi \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) u \cdot\left(\frac{1}{2 \sin \frac{u}{2}}-\frac{1}{u}\right) \cdot \varphi(u) d u=0
$$

于是从（16．11）得到

$$
S_n\left(x_0\right)-S=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) u}{u} \cdot \varphi(u) d u+o(1)(n \rightarrow \infty)
$$
（II）取定 $\delta \in(0, \pi]$ ，将上式的定积分拆开为 $[0, \delta]$ 和 $[\delta, \pi]$ 上的两个积分，并再次用 Riemann 引理得到

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_\delta^\pi \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) u}{u} \cdot \varphi(u) d u=0
$$

由此可见，取定 $\delta \in(0, \pi]$ 之后，就有

$$
S_n\left(x_0\right)-S=\frac{1}{\pi} \int_0^\delta \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) u}{u} \cdot \varphi(u) d u+o(1)(n \rightarrow \infty)
$$

（16．13）告诉我们，Fourier 级数在点 $x_0$ 的敛散性完全取决于函数 $\varphi(u)$ 在 $u=0$邻近的性质。从该函数的定义（16．12）可以看出，这仅仅取决于函数 $f$ 在点 $x_0$ 邻近的性质。这样就得到了 Fourier 级数的局部性定理，它是 Riemann 首先发现的，因此也称为 Riemann 定理．

定理 16.3 （Fourier 级数的局部性定理）函数 $f$ 的 Fourier 级数在点 $x_0$ 处的玫散性，以及在收玫时的极限值是什么，仅仅与 $f$ 在点 $x_0$ 的一个任意小邻域中的性质有关。

前面已经提到，由于 Fourier 系数是从积分得到的，因此级数在点 $x_0$ 的玫散性与 $f\left(x_0\right)$ 无关．现在上述局部性定理则表明，玫散性取决于 $f$ 在点 $x_0$ 的任意邻近的局部性质，这是非常惊人的一个结论．
 ![图片](/uploads/2025-01/889d2b.jpg)
如图16．9所示，假设两个函数 $f, g$ 在点 $x_0$ 的一个小邻域中完全相同，但在此邻域外则毫无关系．这时 $f, g$ 的 Fourier 级数可以完全不同。根据局部性定理，这两个看上去无关的 Fourier 级数在点 $x_0$ 的敛散性则完全相同．若收玫，则它们在 $x=x_0$ 的级数和也相同．
显然，局部性定理是 Fourier 级数理论中的最基本结果．它告诉我们，虽然级数系数是根据函数在一个周期长度上的积分确定的，但每一个点处的敛散性却只由函数在该点的局部性质决定．

注 Fourier 级数的玫散性问题非常困难，但已经取得了丰富的成果．下面是其中有里程碑意义的几项工作．

1876 年 Du Bois Reymond ${ }^{(1)}$ 首先举出例子说明在 $f$ 的连续点上，$f$ 的 Fourier级数可以发散．这表明连续性条件是不足以保证 Fourier 级数收玫的．

1930 年，Kolmogorov 举出例子，一个可积且绝对可积函数的 Fourier 级数处处发散。

1966 年，Carleson ${ }^{(1)}$ 证明：平方可积函数的 Fourier 级数一定几乎处处收玫．这当然包括连续函数在内．

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