最后更新: 2025-09-02 06:59 查看: 77 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

最佳平方逼近

## 最简平方逼近的引出
想象我有一个周期性的波动图像

![图片](/uploads/2025-09/b88e73.jpg){width=550px} 
为了用数学函数表达他，我找到了一个函数$f(x)$

![图片](/uploads/2025-09/69e181.jpg){width=550px}

现在，**我希望找到的这个$f(x)$ 尽可能拟合波动图像**。

如何理解为上句话里的“**尽可能**”呢？就是我找到图像上一点和拟合函数一点的距离最小。为此引入最佳逼近。

### 最佳逼近（Best Approximation）
最佳逼近是数学中逼近理论的核心概念，旨在在一个特定的函数类／集合／空间中寻找一个元素，使其在某种定义的度量下，与给定的目标元素（一般是函数或数据）最为接近。

而度量、接近程度是可以通过范数来衡量的，不同的范数定义了不同类型的最佳逼近。而最佳逼近的定义如下：

> 给定一个空间 $X$ ，一个目标元素 $f \in X$ ，从某个子集 $A \subset X$ 中选出一个元素 $a^* \in A$ ，使得：
$$
\left\|f-a^*\right\|=i n f_{a \in A}\|f-a\|
$$
也就是说，$a^*$ 是距离 $f$ 最近的元素，这就是＂最佳逼近＂。

不难发现最佳逼近中是有些名词需要明确定义的：

**集合／空间**：我们需要在大的空间中找出希望逼近的元素／给定目标元素，而在一个较小空间中寻找最接近目标元素的元素。（为什么要区分大小？如果目标元素与所寻最接近元素在同一个空间，那么显然目标元素就是最接近目标元素的）

**度量**：我们需要定义度量，或者说距离。这样才能衡量＂最接近＂。

当我们注意到这两点时，就不难解释最佳逼近总是在线性赋范空间 中讨论了。我们接下来先介绍线性赋范空间，再引入线性赋范空间内的最佳逼近。

### 线性赋范空间的最佳逼近

线性赋范空间（线性空间 + 范数）
1．线性空间 $V$ ：
一个非空集合 V ，其上的元素称为向量，以及一个标量域 F （一般是实数域 $R$ 或复数域 $C$ ）。在这个集合上定义两种运算：
- 向量加法：对于任意 $u, v \in V$ ，存在唯一的元素 $u+v \in V$
- 标量乘法：对于任意 $\alpha \in F 、 v \in V$ ，存在唯一的元素 $\alpha v \in V$

并且这两种运算满足一系列公理，从而保证了向量加法和标量乘法具有良好的性质。
2．范数 $\|\cdot\|$ ：
- 个定义在线性空间 $V$ 上的实值函数 $\|\|: V \rightarrow R$ ，满足以下性质：
- 非负性
- 正定性
- 齐次性
- 三角不等式

不难发现，线性赋范空间正好给定了一个空间以及其上的度量。在它上面研究最佳逼近简直再方便不过了。

**线性赋范空间的最佳逼近**
当然，结合之前最佳逼近以及线性赋范空间的定义，大家不难想到该空间下最佳逼近的定义。但是笔者还是想复述一遍，引出的记号方便后续描述：

**定义** 设 $E$ 为一线性赋范空间，$H_m \subseteq E$ 为其 m 维子空间，$f \in E$ 为任意给定的元素，称量

$$
E\left(f ; H_m\right)=i n f_{\phi \in H_m}\|f-\phi\|
$$

为子空间 $H_m$ 对元素 $f$ 的最佳逼近，而使式子成立的元素 $\phi^* \in H_m$ 称为 $f$ 的最佳逼近元素

具体实现请参考 [信号的提取](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3164)

## Fourier 级数的逼近性质
现在我们来讨论 Fourier 级数的逼近性质．
定义16．3．1 设 $S$ 是一个定义了内积运算（•，）的线性空间，取 $S$ 中的范数为

$$
\|\cdot\|=\sqrt{(\cdot, \cdot)},
$$

$T$ 是 $S$ 的一个 $n$ 维子空间，记 $T$ 的一组正交基为 $\varphi_1, \varphi_2, \cdots, \varphi_n$ ，即

$$
T=\operatorname{span}\left\{\varphi_1, \varphi_2, \cdots, \varphi_n\right\},
$$

若对于 $x \in S$ ，有 $x_T=c_1 \varphi_1+c_2 \varphi_2+\cdots+c_n \varphi_n \in T$ ，使得

$$
\left\|x-x_T\right\|=\min _{y \in T}\|x-y\|,
$$
则称 $x_T$ 是 $x$ 在 $T$ 中的最佳平方逼近元素．
引理 16．3．1 在上述假定下
（1）对于任意 $x \in S, x$ 在 $T$ 中的最佳平方逼近元素 $x_T$ 存在且惟一；
（2）$x_T \in T$ 是 $x$ 在 $T$ 中的最佳平方逼近元素的充分必要条件是 $x-x_T \perp T$ ，即

$$
\left(x-x_T, \varphi_k\right)=0, \quad k=1,2, \cdots, n,
$$

或者等价地，$x_T$ 的组合系数

$$
c_k=\frac{\left(x, \varphi_k\right)}{\left(\varphi_k, \varphi_k\right)}, \quad k=1,2,

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