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数学分析
第十一篇 傅里叶级数
最佳平方逼近
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更新:
2025-03-17 08:16
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最佳平方逼近
## 16.3.1 最佳平方逼近 设 $f$ 是周期 $2 \pi$ 的周期函数,且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与平方可积 ${ }^{(1)}$ . 考虑用三角多项式 $$ U_n(x)=\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{k=1}^n\left(\alpha_k \cos k x+\beta_k \sin k x\right) $$ 来逼近 $f$ .这里的逼近是按照平方平均(均方)的意义上来定义的,即如何选择 (16.16)中的 $2 n+1$ 个系数,$\alpha_k \forall k=0,1, \cdots, n$ 和 $\beta_k \forall k=1, \cdots, n$ ,使得 $$ \int_{-\pi}^\pi\left[f(x)-U_n(x)\right]^2 d x $$ 达到最小. 以下定理中的记号与前面相同,即 $$ f \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right), $$ 并将其部分和记为 $S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n\left(a_k \cos k x+b_k \sin k x\right)$ . 下面证明这个最优化问题的解是取 $U_n(x)=S_n(x)$ . 定理16.4 设 $f$ 是周期 $2 \pi$ 的函数,且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与平方可积,则有 $$ \min _{U_n} \int_{-\pi}^\pi\left[f(x)-U_n(x)\right]^2 d x=\int_{-\pi}^\pi\left[f(x)-S_n(x)\right]^2 d x $$ 证 首先直接计算(16.17)中的积分,并利用关于 Fourier 系数的 Euler-Fourier公式(16.4)和三角函数系的正交性: $$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi\left(f-U_n\right)^2 & =\int_{-\pi}^\pi f^2-2 \int_{-\pi}^\pi f U_n+\int_{-\pi}^\pi U_n^2 \\ & =\int_{-\pi}^\pi f^2-\pi a_0 \alpha_0-2 \pi \sum_{k=1}^n\left(a_k \alpha_k+b_k \beta_k\right)+\frac{\pi \alpha_0^2}{2}+\pi \sum_{k=1}^n\left(\alpha_k^2+\beta_k^2\right) \end{aligned} $$ 然后用配方法得到 $$ \begin{gathered} \int_{-\pi}^\pi\left(f-U_n\right)^2=\int_{-\pi}^\pi f^2+\frac{\pi}{2}\left(\alpha_0-a_0\right)^2+\pi \sum_{k=1}^n\left[\left(\alpha_k-a_k\right)^2+\left(\beta_k-b_k\right)^2\right] \\ -\frac{\pi}{2} a_0^2-\pi \sum_{k=1}^n\left(a_k^2+b_k^2\right) \end{gathered} $$ 这样就知道当 $\alpha_0=a_0, \alpha_k=a_k, \beta_k=b_k, k=1, \cdots, n$ 时上式左边的积分值达到最小,且同时得到最小值为 $$ \min _{U_n} \int_{-\pi}^\pi\left(f-U_n\right)^2=\int_{-\pi}^\pi\left(f-S_n\right)^2=\int_{-\pi}^\pi f^2-\frac{\pi}{2} a_0^2-\pi \sum_{k=1}^n\left(a_k^2+b_k^2\right) . $$ 利用上述定理证明的最后一式,就可以得到著名的 Bessel ${ }^{(1)}$ 不等式.我们将它写为下面的定理。
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