最后更新: 2025-03-17 08:17 查看: 42 次反馈刷题

贝塞尔不等式

## 贝塞尔不等式
定理 16.5 （Bessel 不等式）设周期 $2 \pi$ 的函数 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与平方可积，且有 $f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$ ，则成立不等式

$$
\frac{1}{2} a_0^2+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2+b_k^2\right) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2
$$

证 从定理16．4最后得到的最小值非负，可见成立不等式

$$
\frac{1}{2} a_0^2+\sum_{k=1}^n\left(a_k^2+b_k^2\right) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2
$$

令 $n \rightarrow \infty$ 就得到所要求的不等式．
注 可以证明，实际上在不等式（16．18）中成立等号，这就是 Parseval ${ }^{(2)}$ 等式：

$$
\frac{1}{2} a_0^2+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2+b_k^2\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2
$$

由于需要更多的工具，我们将在下一节最后给出它的证明．
例如，对于 $(0,2 \pi)$ 上的 Fourier 展开式

$$
\frac{\pi-x}{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}
$$

用 Parseval 等式就可以得到

$$
\pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{1}{4} \int_0^{2 \pi}(\pi-x)^2 d x=\frac{1}{6} \pi^3
$$

这样就得到 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ ．
下面我们用函数空间的概念对本小节提出的问题，即使得（16．17）最小化的问题，以及定理 16.4 给出的答案，作出几何解释．

从函数空间的角度来看，$U_n$ 是三角函数系

$$
\{1, \cos x, \sin x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots\}
$$

中前 $2 n+1$ 个函数的线性组合．用 $\Pi_n$ 表示所有这样的 $U_n$ 所成的集合，则它是所有周期 $2 \pi$ 的函数全体所成线性空间中的线性子空间。如在本章开始时那样，在这样的函数空间中引入 $(f, g)=\int_{-\pi}^\pi f g$ 作为 $f$ 和 $g$ 的内积，当时我们将内积为 0 作为 $f$ 与 $g$ 正交的定义．现在我们从内积引入 $f$ 的范数 为

$$
\|f\|=\sqrt{(f, f)}=\sqrt{\int_{-\pi}^\pi f^2(x) d x}
$$

则就可以用 $\|f-g\|$ 来表示 $f$ 与 $g$ 的距离 ${ }^{(1)}$ 。
于是本小节的问题就是，对于给定的函数 $f$ ，在子空间（或者说超平面）$\Pi_n$ 中哪一个元与 $f$ 最为接近？在示意图 16.10 中用过原点 $O$ 的平面表示 $\Pi_n$ ，函数 $f$ 用平面外的一个向量代表．

定理16．4中的计算表明：$S_n$ 是在超平面 $\Pi_n$ 中最接近 $f$ 的元。在定理最后得到的等式可以改写为

$$
\left\|f-S_n\right\|^2=\|f\|^2-\left\|S_n\right\|^2
$$

这显然就是勾股定理．它等价于

$$
\left(f-S_n, S_n\right)=0
$$

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