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贝塞尔不等式Bessel与Parseval等式

## 贝塞尔不等式
定理 16.5 （Bessel 不等式）设周期 $2 \pi$ 的函数 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与平方可积，且有 $f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$ ，则成立不等式

$$
\boxed{
\frac{1}{2} a_0^2+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2+b_k^2\right) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) ...(16.8 ,  Bessel不等式)
}
$$

证 从定理16．4最后得到的最小值非负，可见成立不等式

$$
\frac{1}{2} a_0^2+\sum_{k=1}^n\left(a_k^2+b_k^2\right) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2
$$

令 $n \rightarrow \infty$ 就得到所要求的不等式．

### 贝塞尔不等式的第二类解读
**（Fourier 级数的平方逼近性质）** 设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或平方可积，则 $f(x)$ 在 $T$ 中的最佳平方逼近元素恰为 $f(x)$ 的 Fourier 级数的部分和函数

$$
S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n\left(a_k \cos k x+b_k \sin k x\right),
$$

逼近的余项为

$$
\left\|f-S_n\right\|^2=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) d x-\left[\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n\left(a_k^2+b_k^2\right)\right]
$$

因为 $\left\|f-S_n\right\|^2 \geqslant 0$ ，在余项中令 $n \rightarrow \infty$ ，即得到结果。

## Parseval 等式
可以证明，在不等式（16．18）中成立等号，这就是 Parseval等式：

$$
\boxed{
\frac{1}{2} a_0^2+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2+b_k^2\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2  ...(16.19)
}
$$

由于需要更多的工具，我们将在下一节最后给出它的证明．
例如，对于 $(0,2 \pi)$ 上的 Fourier 展开式

$$
\frac{\pi-x}{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}
$$

用 Parseval 等式就可以得到

$$
\pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{1}{4} \int_0^{2 \pi}(\pi-x)^2 d x=\frac{1}{6} \pi^3
$$

这样就得到 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ ．

## 理解Bessel不等式与Parseval等式

> **Bessel 不等式是傅里叶分析中的一个“能量守恒”原理。它告诉我们：用一系列标准化的“基础波形”（如正弦和余弦波）去分解一个函数或信号，你所捕捉到的“总能量”绝不会超过原始信号本身的“总能量”。**

### 一个生动的比喻：用乐高积木称重
我们使用“用乐高积木近似一个复杂形状”的比喻，但我们加入“重量”的概念。
1.  **目标物体**：想象你有一个复杂的金属雕塑（这就是你的**函数 f(x)**）。这个雕塑有自己的**总重量**（这代表了函数的“总能量”，数学上是 `∫ |f(x)|² dx`）。

2.  **分解工具**：你有一套**标准化的、重量已知的乐高积木块**（这些就是你的**正交基函数**，如 `sin(nx)`, `cos(nx)`）。每一块积木的重量都是1单位（这对应于基函数的“归一化”，即 `∫ |φ_n(x)|² dx = 1`）。

3.  **分解过程**：你开始分析这个雕塑，看看它分别由多少块每种类型的乐高积木组成。具体来说，你计算需要多少块“第n种”积木才能最接近雕塑的相应部分。这个“多少块”就是**傅里叶系数 `a_n`**（或 `b_n`）。

*   比如，`a₃ = 5` 意味着你需要5块“3号积木”来拼出雕塑中与3号积木特征相同的部分。

4.  **Bessel 不等式的含义**：
    现在，你把所有**用到的乐高积木的重量加起来**（即所有傅里叶系数的平方和：`a₀² + a₁² + b₁² + a₂² + b₂² + ...`）。
    **Bessel 不等式告诉我们：这些乐高积木的总重量，绝对不会超过原始雕塑的总重量。**

用数学公式表示就是：
    **a₀² + ½∑(a_n² + b_n²) ≤ (1/π) ∫ |f(x)|² dx**

**为什么是“不等式”而不是“等式”？**
    *   因为你的那套乐高积木可能**不完整**。也许有些非常精细的结构是你的积木无法完美表达的。这些无法被积木表示的部分的“重量”，就被遗漏了。
    *   只有当你的积木套装是**完整**的（在数学上称为“完备正交基”，比如傅里叶级数中的三角函数系），你才能用积木拼出和原始雕塑一模一样的复制品。这时，所有重量都被捕获了，不等式就变成了**等式**（这被称为 **Parseval 定理**），实现了完美的“能量守恒”。

---

### 为什么叫“平方”和“不等式”？

*   **平方**：系数 `a_n` 和 `b_n` 被平方后再相加。这是因为“能量”通常与信号的**平方**成正比（比如， electrical power（电功率）与电压或电流的平方成正比）。所以，我们关心的是系数的平方和。

*   **不等式 (≤)**：这个 `≤` 号是Bessel不等式的精髓。它确认了我们从信号中提取的“能量”是合理的，不会凭空多出来。它为我们提供了一个**安全保证**：无论你用了多少项傅里叶级数（无论是10项还是1000项）去逼近，你的部分和所包含的“能量”始终被原始信号的能量所控制，不会失控。

> **Parseval 等式是傅里叶分析中的“能量守恒定律”。它精确地指出：一个信号（或函数）在其域中的总“能量”，等于它在频域中所有频率分量的“能量”之和。**

### 与 Bessel 不等式的关系：从“≤”到“=”

**Bessel 不等式**说的是：`系数平方和 ≤ 总能量`。

*   **Bessel 不等式** 就像一个**不太精确的秤**。它只能告诉你：“你分解出来的果汁分量总和，肯定不会超过原来那杯的总量。” 这是一个**安全保证**，但它允许有“损耗”或“遗漏”。

*   **Parseval 定理** 则是一个**绝对精确的秤**。它宣布：“根本没有损耗！你分解出来的总和**精确等于**原来的总量。” 这个从 `≤` 到 `=` 的飞跃，发生在所使用的基函数是**完备**的时候。

**结论就是：Parseval 定理是 Bessel 不等式在正交基完备情况下的最终完美形态。**

### 为什么叫“能量”？

在信号处理和物理学中，一个函数 `f(t)` 的平方 `|f(t)|²` 通常与**功率**或**能量**成正比。
*   例如，如果 `f(t)` 代表电压，那么在一欧姆的电阻上，其瞬时功率就是 `|f(t)|²`。对功率积分就得到能量。
因此，`∫ |f(t)|² dt` 很好地定义了信号的总能量概念。

### 核心要点与意义

1.  **能量守恒**：这是最核心的理解。信号在时域和频域的能量表示是等价的。你不能通过傅里叶变换创造或毁灭能量。

2.  **正交基完备性的试金石**：一个正交函数系 `{φ_n(t)}` 是否完备（即足够丰富到可以完美表示任何函数），可以用是否满足 Parseval 定理来判定。傅里叶级数中的三角函数系和傅里叶变换中的复指数函数系都是完备的。

3.  **强大的计算工具**：Parseval 定理提供了一种强大的计算技巧。有时直接计算时域积分 `∫ |f(t)|² dt` 非常困难，但利用定理，我们可以转向频域，去计算傅里叶系数平方和 `∑ |c_n|²`，这往往是一个简单的级数求和问题。

## 总结
下面我们用函数空间的概念对本小节提出的问题，即使得（16．17）最小化的问题，以及定理 16.4 给出的答案，作出几何解释．

从函数空间的角度来看，$U_n$ 是三角函数系

$$
\{1, \cos x, \sin x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots\}
$$

中前 $2 n+1$ 个函数的线性组合．用 $\Pi_n$ 表示所有这样的 $U_n$ 所成的集合，则它是所有周期 $2 \pi$ 的函数全体所成线性空间中的线性子空间。如在本章开始时那样，在这样的函数空间中引入 $(f, g)=\int_{-\pi}^\pi f g$ 作为 $f$ 和 $g$ 的内积，当时我们将内积为 0 作为 $f$ 与 $g$ 正交的定义．现在我们从内积引入 $f$ 的范数 为

$$
\|f\|=\sqrt{(f, f)}=\sqrt{\int_{-\pi}^\pi f^2(x) d x}
$$

则就可以用 $\|f-g\|$ 来表示 $f$ 与 $g$ 的距离 ${ }^{(1)}$ 。
于是本小节的问题就是，对于给定的函数 $f$ ，在子空间（或者说超平面）$\Pi_n$ 中哪一个元与 $f$ 最为接近？在示意图 16.10 中用过原点 $O$ 的平面表示 $\Pi_n$ ，函数 $f$ 用平面外的一个向量代表．

定理16．4中的计算表明：$S_n$ 是在超平面 $\Pi_n$ 中最接近 $f$ 的元。在定理最后得到的等式可以改写为

$$
\left\|f-S_n\right\|^2=\|f\|^2-\left\|S_n\right\|^2
$$

这显然就是勾股定理．它等价于

$$
\left(f-S_n, S_n\right)=0
$$

![图片](/uploads/2025-01/66be73.jpg)
  
  
## 两个推论
  由 Parseval 等式

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|f-S_n\right\|^2=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) d x-\left[\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2+b_k^2\right)\right]=0,
$$

即得到一个精彩而重要的结论。
推论 16．3．3（**Fourier 级数的平方收敛性质**）设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或平方可积，则 $f(x)$ 的 Fourier 级数的部分和函数序列平方收敛于 $f(x)$ ．

而对一致收敛，我们不加证明地引进一个同样精彩、同样重要的结论。
定理 16．3．6（**Weierstrass 第二逼近定理**）对周期为 $2 \pi$ 的任意一个连续函数 $f(x)$ ，都存在三角多项式序列

$$
\left\{\psi_n(x)=\frac{A_0}{2}+\sum_{k=1}^n\left(A_k \cos k x+B_k \sin k x\right)\right\},
$$

使得 $\left\{\psi_n(x)\right\}$ 一致收敛于 $f(x)$ ．

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