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Fourier 级数的一致收玫性

## 16.3.2 Fourier 级数的一致收玫性
从上一节的 Dini 判别法和许多具体例子可以知道，Fourier 级数的和函数可以有第一类间断点．从函数项级数的连续性定理（即定理 15．5）知道，这时的 Fourier级数不可能一致收玫．下面给出保证 Fourier 级数一致收玫的充分性条件．**实际上只要对于上一节的分段光滑条件再加上连续性条件就够了**。

为今后引用方便起见，先证明一个引理。

> 引理 设 $f$ 是周期 $2 \pi$ 的连续函数，且分段光滑，又设 $f$ 的 Fourier 系数为 $\left\{a_n\right\}_{n \geqslant 0},\left\{b_n\right\}_{n \geqslant 1}, f^{\prime}$ 的 Fourier 系数为 $\left\{a_n^{\prime}\right\}_{n \geqslant 0},\left\{b_n^{\prime}\right\}_{n \geqslant 1}$ ，则有

$$
a_0^{\prime}=0, \quad a_n^{\prime}=n b_n, \quad b_n^{\prime}=-n a_n \forall n .
$$

证 首先注意在 $f$ 分段光滑的条件下，导函数 $f^{\prime}$ 在周期长度的区间上至多只在有限个点上没有定义，在这些例外点之间的区间上连续，且在区间端点处均存在
极限，因此是常义可积函数．先计算它的第一个 Fourier 系数．利用 $f(-\pi)=f(\pi)$ ，就有

$$
a_0^{\prime}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^{\prime}(x) d x=\frac{1}{\pi}[f(\pi)-f(-\pi)]=0 .
$$

再用广义分部积分公式（见定理 10.14 的注），就可以得到所要求的其余结果：

$$
\begin{aligned}
a_n^{\prime} & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^{\prime}(x) \cos n x d x=\left.\frac{1}{\pi} f(x) \cos n x\right|_{-\pi} ^\pi+\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) n \sin n x d x \\
& =\frac{n}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x d x=n b_n, \\
b_n^{\prime} & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^{\prime}(x) \sin n x d x=\left.\frac{1}{\pi} f(x) \sin n x\right|_\pi ^\pi-\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) n \cos n x d x \\
& =-\frac{n}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x=-n a_n .
\end{aligned}
$$

> **定理16．6** 设 $f$ 是周期 $2 \pi$ 的连续函数，且分段光滑，则 $f$ 的 Fourier 级数在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收玫于 $f(x)$ ．

证 从 Dini 判别法（的推论 3 ）和 $f$ 的连续性知道，$f$ 的 Fourier 级数处处收敛于 $f(x)$ ，这样就有

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
$$

将 $f^{\prime}$ 的 Fourier 系数记为 $\left\{a_n^{\prime}\right\}_{n \geqslant 0}$ 和 $\left\{b_n^{\prime}\right\}_{n \geqslant 1}$ ，从引理和平均值不等式可以得到

$$
\left|a_n\right|+\left|b_n\right|=\frac{\left|b_n^{\prime}\right|}{n}+\frac{\left|a_n^{\prime}\right|}{n} \leqslant \frac{1}{n^2}+\frac{1}{2}\left[\left(a_n^{\prime}\right)^2+\left(b_n^{\prime}\right)^2\right] .
$$

由于 $f^{\prime}$ 可积与平方可积，因此利用对于 $f^{\prime}$ 的 Fourier 系数的 Bessel 不等式，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(a_n^{\prime}\right)^2+\left(b_n^{\prime}\right)^2\right]$ 收玫，这样就推出级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|+\left|b_n\right|<+\infty
$$

这保证了 $f$ 的 Fourier 级数一致绝对收敛．

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