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魏尔施特拉斯一致逼近定理

## 魏尔施特拉斯一致逼近定理
Weierstrass 的一致逼近定理有两种形式，分别称为第一逼近定理和第二逼近定理，即在有界闭区间上的连续函数一定可以用多项式或三角多项式一致逼近到事先指定的任意精确程度。证明方法很多，可参考［25］的 $\S 16.3$ ．

下面的引理实际上是定理 16.6 的一个特殊情况，由于其本身的简单性，我们给出一个独立的证明。

> 引理 设 $\varphi(x)$ 是周期 $2 \pi$ 的分段线性连续函数，则 $\varphi(x)$ 的 Fourier 级数一致收玫于 $\varphi(x)$ 。

证 写出 ${ }^{(1)}$

$$
\varphi(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
$$

根据分段线性的条件，存在分划 $\left\{x_0, x_1, \cdots, x_m\right\}, x_0=-\pi<x_1<\cdots<$ $x_m=\pi$ ，使得 $\varphi$ 在每个子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上为线性函数，导数为 $\varphi^{\prime}(x)=k_i(i=$ $1, \cdots, m)$ 。令 $M=\max \left\{\left|k_1\right|, \cdots,\left|k_m\right|\right\}$ 。

直接估计 $\varphi$ 的 Fourier 系数：

$$
\begin{aligned}
\left|a_n\right| & =\left|\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \varphi(x) \cos n x d x\right| \\
& \left.=\left|\frac{1}{n \pi} \varphi(x) \sin n x\right|_{-\pi}^\pi-\frac{1}{n \pi} \int_{-\pi}^\pi \varphi^{\prime}(x) \sin n x d x \right\rvert\, \\
& =\left|\frac{1}{n \pi} \sum_{i=1}^m k_i \int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin n x d x\right| \leqslant \frac{2 m M}{n^2 \pi} .
\end{aligned}
$$

于是 $a_n=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ ．同理可知也有 $b_n=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ ．这样就证明了 $\varphi$ 的 Fourier 级数为一致收敛。

> 定理 16.9 （Weierstrass 第一逼近定理）设 $f$ 是 $[-\pi, \pi]$ 上的连续函数，且 $f(-\pi)=f(\pi)$ ，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在三角多项式

$$
T(x)=\alpha_0+\sum_{k=1}^n\left(\alpha_k \cos k x+\beta_k \sin k x\right)
$$

使得成立

$$
|f(x)-T(x)|<\varepsilon \forall x \in[-\pi, \pi] .
$$

证 从 $f \in C[-\pi, \pi]$ 可知 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上一致连续，因此对 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ， $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[-\pi, \pi]$ ，只要 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，就有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．

对区间 $[-\pi, \pi]$ 作分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，使得细度 $\|P\|<\delta$ ，然后在每个子区间 $x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i$ 上定义线性函数

$$
\begin{aligned}
\varphi(x) & =f\left(x_{i-1}\right)+\frac{f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)}{x_i-x_{i-1}} \cdot\left(x-x_{i-1}\right) \\
& =f\left(x_{i-1}\right) \cdot \frac{x_i-x}{x_i-x_{i-1}}+f\left(x_i\right) \cdot \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}
\end{aligned}
$$

于是在 $x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i$ 时就有

$$
\begin{aligned}
|\varphi(x)-f(x)| \leqslant\left|f\left(x_{i-1}\right)-f(x)\right| & \cdot \frac{x_i-x}{x_i-x_{i-1}}+\left|f\left(x_i\right)-f(x)\right| \cdot \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}} \\
& \leqslant \frac{\varepsilon}{2}\left(\frac{x_i-x}{x_i-x_{i-1}}+\frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\right)=\frac{\varepsilon}{2}
\end{aligned}
$$

可见这样作出的分段线性函数 $\varphi$ 对于 $f$ 的一致逼近程度小于 $\varepsilon / 2$ ．
由于 $\varphi\left(x_i\right)=f\left(x_i\right)$ 对每个 $i=0,1, \cdots, n$ 成立，而 $x_0=-\pi, x_n=\pi, f(-\pi)=$ $f(\pi)$ ，因此也有 $\varphi(-\pi)=\varphi(\pi)$ ．

将 $\varphi$ 按照周期 $2 \pi$ 延拓到 $(-\infty,+\infty)$ 上，这样就得到了周期 $2 \pi$ 的分段线性函数。应用引理，$\varphi$ 的 Fourier 级数一致收玫于 $\varphi$ 。因此只要取足够大的正整数 $N$ ，就可以使得在 $[-\pi, \pi]$ 上 $\varphi(x)$ 与其 Fourier 级数的部分和 $S_N(x)$ 之差的绝对值一致小于 $\varepsilon / 2$ ：

$$
\left|\varphi(x)-S_N(x)\right|<\frac{\varepsilon}{2} \forall x \in[-\pi, \pi] \text {. }
$$

从而也就保证在区间 $[-\pi, \pi]$ 上成立

$$
\left|f(x)-S_N(x)\right| \leqslant|f(x)-\varphi(x)|+\left|\varphi(x)-S_N(x)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon .
$$

> 定理 16.10 （Weierstrass 第二逼近定理）设 $f$ 是有界闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在多项式 $p(x)$ ，使得成立
$$
|f(x)-p(x)|<\varepsilon \forall x \in[a, b] .
$$

证 因为作线性变换一定可以将定义区间改变为 $[0, \pi]$ ，而且多项式在线性变换下仍为多项式，因此一开始就不妨设 $a=0, b=\pi$ 。

将 $f$ 偶延拓为 $[-\pi, \pi]$ 上的偶函数，这时有 $f(-\pi)=f(\pi)$ ．应用第一逼近定理，存在三角多项式 $T(x)$（从该定理的证明知道 $T(x)$ 可为余弦函数），使得成立

$$
|f(x)-T(x)|<\frac{\varepsilon}{2} \forall x \in[-\pi, \pi] .
$$

由于正弦函数与余弦函数的 Maclaurin 级数的收玫半径 $R=+\infty$ ，因此在 $[0, \pi]$ 上一致收玫，从而对于上述三角多项式 $T(x)$ ，存在多项式 $p(x)$ ，使得成立

$$
|T(x)-p(x)|<\frac{\varepsilon}{2} \forall x \in[0, \pi] .
$$

于是就知道 $\forall x \in[0, \pi]$ ：

$$
|f(x)-p(x)| \leqslant|f(x)-T(x)|+|T(x)-p(x)| \leqslant 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon .
$$

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