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帕塞瓦尔Parseval公式等式的证明

## 16．4．2 Parseval 等式的证明
利用 Weierstrass 的逼近定理已不难证明前面的 Parseval 等式（16．19）．为方便起见，重新叙述如下。

定理 16.11 设周期 $2 \pi$ 的函数 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与平方可积，且有 $f(x) \sim$ $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$ ，则成立等式

$$
\boxed{
\frac{1}{2} a_0^2+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2+b_k^2\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2
...(12.24)}
$$

证 从 Bessel 不等式（16．18）知道上式左边的级数收玫，记

$$
\delta_n=\int_{-\pi}^\pi f^2-\frac{\pi}{2} a_0^2-\pi \sum_{k=1}^n\left(a_k^2+b_k^2\right) 
$$

则只需要证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \delta_n=0$ ．此外，从定理 16.4 的证明知道 $\delta_n$ 具有下列性质：

$$
\delta_n=\min _{U_n} \int_{-\pi}^\pi\left(f-U_n\right)^2=\int_{-\pi}^\pi\left(f-S_n\right)^2=\left\|f-S_n\right\|^2=\|f\|^2-\left\|S_n\right\|^2 ...(12.25)
$$

其中 $S_n$ 是 $f$ 的 Fourier 级数的部分和。
以下分几种情况给出证明．
（i）设 $f \in C[-\pi, \pi]$ 且 $f(-\pi)=f(\pi)$ ．对 $\forall \varepsilon>0$ ，由第一逼近定理，存在三角多项式 $T(x)$ ，使得

$$
|f(x)-T(x)|<\sqrt{\frac{\varepsilon}{2 \pi}} \forall x \in[-\pi, \pi] .
$$

于是就有

$$
\int_{-\pi}^\pi[f(x)-T(x)]^2 d x<\varepsilon
$$

由于 $T(x)$ 是三角多项式，因此从（16．25）知道，存在 $N$ ，使得当 $n \geqslant N$ 时，

$$
\delta_n=\left\|f-S_n\right\|^2 \leqslant\|f-T\|^2<\varepsilon
$$

这样就证明了 $\delta_n \rightarrow 0$ ．
（ii）对于其他情况的 $f$ ，下面要分拆 $f=f^{\prime}+f^{\prime \prime}$ ，这里记号 $f^{\prime}, f^{\prime \prime}$ 是两个函数。因此在这里需要做一些准备工作。设 $f^{\prime}, f^{\prime \prime}$ 的对应的 Fourier 级数的部分和为 $S_n^{\prime}$ 和 $S_n^{\prime \prime}$ ，则有 $S_n=S_n^{\prime}+S_n^{\prime \prime}$ ．又记 $\delta_n^{\prime}=\left\|f^{\prime}-S_n^{\prime}\right\|^2, \delta_n^{\prim

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