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帕塞瓦尔Parseval公式等式的证明

## 16．4．2 Parseval 等式的证明
利用 Weierstrass 的逼近定理已不难证明前面的 Parseval 等式（16．19）．为方便起见，重新叙述如下。

定理 16.11 设周期 $2 \pi$ 的函数 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与平方可积，且有 $f(x) \sim$ $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$ ，则成立等式

$$
\frac{1}{2} a_0^2+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2+b_k^2\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2
$$

证 从 Bessel 不等式（16．18）知道上式左边的级数收玫，记

$$
\delta_n=\int_{-\pi}^\pi f^2-\frac{\pi}{2} a_0^2-\pi \sum_{k=1}^n\left(a_k^2+b_k^2\right)
$$

则只需要证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \delta_n=0$ ．此外，从定理 16.4 的证明知道 $\delta_n$ 具有下列性质：

$$
\delta_n=\min _{U_n} \int_{-\pi}^\pi\left(f-U_n\right)^2=\int_{-\pi}^\pi\left(f-S_n\right)^2=\left\|f-S_n\right\|^2=\|f\|^2-\left\|S_n\right\|^2
$$

其中 $S_n$ 是 $f$ 的 Fourier 级数的部分和。
以下分几种情况给出证明．
（i）设 $f \in C[-\pi, \pi]$ 且 $f(-\pi)=f(\pi)$ ．对 $\forall \varepsilon>0$ ，由第一逼近定理，存在三角多项式 $T(x)$ ，使得

$$
|f(x)-T(x)|<\sqrt{\frac{\varepsilon}{2 \pi}} \forall x \in[-\pi, \pi] .
$$

于是就有

$$
\int_{-\pi}^\pi[f(x)-T(x)]^2 d x<\varepsilon
$$

由于 $T(x)$ 是三角多项式，因此从（16．25）知道，存在 $N$ ，使得当 $n \geqslant N$ 时，

$$
\delta_n=\left\|f-S_n\right\|^2 \leqslant\|f-T\|^2<\varepsilon
$$

这样就证明了 $\delta_n \rightarrow 0$ ．
（ii）对于其他情况的 $f$ ，下面要分拆 $f=f^{\prime}+f^{\prime \prime}$ ，这里记号 $f^{\prime}, f^{\prime \prime}$ 是两个函数。因此在这里需要做一些准备工作。设 $f^{\prime}, f^{\prime \prime}$ 的对应的 Fourier 级数的部分和为 $S_n^{\prime}$ 和 $S_n^{\prime \prime}$ ，则有 $S_n=S_n^{\prime}+S_n^{\prime \prime}$ ．又记 $\delta_n^{\prime}=\left\|f^{\prime}-S_n^{\prime}\right\|^2, \delta_n^{\prime \prime}=\left\|f^{\prime \prime}-S_n^{\prime \prime}\right\|^2$ ，则从 $\left|f(x)-S_n(x)\right| \leqslant\left|f^{\prime}(x)-S_n^{\prime}(x)\right|+\left|f^{\prime \prime}(x)-S_n^{\prime \prime}(x)\right|$ ，就有

$$
\left[f(x)-S_n(x)\right]^2 \leqslant 2\left\{\left[f^{\prime}(x)-S_n^{\prime}(x)\right]^2+\left[f^{\prime \prime}(x)-S_n^{\prime \prime}(x)\right]^2\right\}
$$

因此得到

$$
\delta_n \leqslant 2\left(\delta_n^{\prime}+\delta_n^{\prime \prime}\right)
$$

（iii）现在设 $f \in R[-\pi, \pi]$ ．这时 $f$ 有界，设有 $M>0$ ，使得 $|f(x)| \leqslant M \forall x \in$ $[-\pi, \pi]$ ．

先改变 $f$ 在端点的值，使得 $f(-\pi)=f(\pi)$ ．这不影响 $f$ 的可积性和积分值．
对于 $\forall \varepsilon>0$ ，存在区间 $[-\pi, \pi]$ 的分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，使得对应的振幅面积 $\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\frac{\varepsilon}{8 M}$ ．然后构造辅助函数 $\varphi(x)$ ，满足 $\varphi\left(x_i\right)=f\left(x_i\right) \forall i=$ $0,1, \cdots, n$ ，而在每个子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上为线性函数．（这就是在第一逼近定理中的分段线性函数，但这里不是一致逼近．）

分拆 $f=(f-\varphi)+\varphi$ ，并记 $f^{\prime}=f-\varphi, f^{\prime \prime}=\varphi$ ．
由于在每个子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上，$|f(x)-\varphi(x)| \leqslant \omega_i$（参见第一逼近定理的证明），这样就可以估计下列积分

$$
\int_{-\pi}^\pi[f(x)-\varphi(x)]^2 d x \leqslant \sum_{i=1}^n \omega_i^2 \Delta x_i<2 M \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\frac{\varepsilon}{4} .
$$

对于 $f^{\prime}=f-\varphi$ 的 $\delta_n^{\prime}$ 可以利用（16．25），有

$$
\delta_n^{\prime} \leqslant\left\|f^{\prime}\right\|^2=\|f-\varphi\|^2<\frac{\varepsilon}{4}
$$

对于 $f^{\prime \prime}=\varphi$ ，则由于函数 $\varphi(x)$ 符合（i）中的条件，因此存在 $N, \forall n \geqslant N: \delta_n^{\prime \prime}<$ $\frac{\varepsilon}{4}$ ．于是从（16．26）就有

$$
\delta_n \leqslant 2\left(\delta_n^{\prime}+\delta_n^{\prime \prime}\right)<2\left(\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}\right)=\varepsilon
$$

这样也就得到了 $\delta_n \rightarrow 0$ ．
（iv）最后考虑 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上为广义平方可积的情况．为简明起见，考虑 $f$ 在这个区间上只有惟一的奇点 $x=\pi$ 的情况。

根据广义积分收玫的定义，对于 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\eta>0$ ，使得

$$
\int_{\pi-\eta}^\pi f^2(x) d x<\frac{\varepsilon}{4}
$$

根据 $\eta$ 分拆 $f=f^{\prime}+f^{\prime \prime}$ ，其中

$$
f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{rl}
f(x), & x \in[-\pi, \pi-\eta], \\
0, & x \in(\pi-\eta, \pi] ;
\end{array} \quad f^{\prime \prime}(x)=\left\{\begin{aligned}
0, & x \in[-\pi, \pi-\eta] \\
f(x), & x \in(\pi-\eta, \pi]
\end{aligned}\right.\right.
$$

这时对于 $\delta_n^{\prime \prime}$ 可以再次用（16．25）得到

$$
\delta_n^{\prime \prime} \leqslant\left\|f^{\prime \prime}\right\|^2<\frac{\varepsilon}{4}
$$

而由于 $f^{\prime}$ 属于（iii）的情况，存在 $N, \forall n \geqslant N: \delta_n^{\prime}<\frac{\varepsilon}{4}$ ．于是同时也就有

$$
\delta_n \leqslant 2\left(\delta_n^{\prime}+\delta_n^{\prime \prime}\right)<2\left(\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}\right)=\varepsilon
$$

这样也就得到了 $\delta_n \rightarrow 0$ ．
由 Parseval 等式就立即可以推出，若一个周期 $2 \pi$ 的连续函数 $f$ 与三角函数系 $\{1, \cos x, \sin x \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots\}$ 中的每一个函数在 $[-\pi, \pi]$ 上正交，则只能是 $f(x) \equiv 0 \forall x \in(-\infty,+\infty)$ ．这是因为所有的 Fourier 系数都等于 0 ，因此从 Parseval 等式得到 $\int_{-\pi}^\pi f^2(x) d x=0$ ，从而 $f$ 只能恒等于 0 ．

更进一步，若 $f$ 是在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与平方可积的函数，而且 $f$ 也与三角函数系的每一个都在 $[-\pi, \pi]$ 正交，则就可以推出 $f$ 在 $[\pi, \pi]$ 上几乎处处为零．在函数空间中我们认为所有这样的函数都与恒等于 0 的函数等价．

我们将上述事实称为三角函数系 $\{1, \cos x, \sin x \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots\}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的所有可积与平方可积函数的空间中是完全的。关于这个概念的意义可以回顾三维 Euclid 空间，其中任何三个相互正交的非零向量组成完全系，但少于三个的相互正交向量则是不完全的。于是三角函数系的完全性表明在对应的函数空间中它们可以作为空间的基底，而其中每一个函数都可以用它们的线性组合表示出来，这个表示就是 Fourier 级数。

小结 在 $[-\pi, \pi]$ 上的所有可积与平方可积函数的空间中，引入内积和相应的范数后，函数的 Fourier 级数就是函数以三角函数系为基底的正交展开式．这时的 Parseval 等式就是这个无穷维空间中的广义勾股定理．

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