最后更新: 2025-03-14 12:02 查看: 73 次纠错评论(0) 课件开VIP

非负项级数

## 2.3.4 非负项级数
这一小节主要讨论一种特殊的无穷级数——非负项级数的敛散性，它与单调数列有密切联系。

**定义2.11** 若无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的每一项为非负数，则称为非负项级数．

**定理2.18** 非负项级数收玫的充分必要条件是其部分和数列有上界．
证 设有非负项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ ，即有 $u_n \geqslant 0 \forall n$ ，则其部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 为单调增加数列：

$$
S_{n+1}=S_n+u_{n+1} \geqslant S_n \forall n,
$$

因此当 $\left\{S_n\right\}$ 有上界时级数收玫．

**例题2.32** 称通项 $u_n=\frac{1}{n}$ 的无穷级数为调和级数（从第二项起每一项都是相邻两项的调和平均值），即是

$$
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots
$$

证明调和级数发散．
证 研究该级数的部分和数列中下标为 $2^k$ 的项，并递推地作出如下估计：

$$
\begin{aligned}
S_2 & =1+\frac{1}{2}=1 \frac{1}{2} \\
S_4 & =S_2+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>S_2+2 \cdot\left(\frac{1}{4}\right)=S_2+\frac{1}{2}=2 \\
S_8 & =S_4+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>S_4+4 \cdot\left(\frac{1}{8}\right)=S_4+\frac{1}{2}=2 \frac{1}{2} \\
& \ldots \ldots
\end{aligned}
$$

可见有可能成立以下不等式：

$$
S_{2^k}>1+\frac{k}{2}
$$

用数学归纳法对此作出严格证明．已知（2．18）对于 $k=1,2,3$ 成立．若它对于 $k$ 成立，则对于 $k+1$ 有

$$
\begin{aligned}
S_{2^{k+1}} & =S_{2^k}+\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+2} \cdots+\frac{1}{2^{k+1}} \\
& >1+\frac{k}{2}+2^k \cdot \frac{1}{2^{k+1}} \\
& =1+\frac{k+1}{2}
\end{aligned}
$$
因此不等式（2．18）成立．由此可见数列 $\left\{S_n\right\}$ 无上界，因此调和级数发散．
注 在前面的例题 2.30 中已经得到

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}=1
$$

由此也可以得到调和级数发散于正无穷大的结论．

**例题2.33** 证明下列级数收玫：

$$
1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots
$$

证 只要证明该级数的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 有上界．为此可以估计如下：

$$
\begin{aligned}
S_n & <1+\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1) n} \\
& =1+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) \\
& =2-\frac{1}{n}<2,
\end{aligned}
$$

可见该级数收玫．
注 今后还会求出这个级数的和：

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
$$

下面将要证明数 e 也是一个非负项无穷级数之和。
在下面的和式中当 $n=0$ 时出现了 $0!$ ，在数学中约定 $0!=1$ ．

定理 2.19 数 e 是下列无穷级数之和：

$$
e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
$$

证 从该级数的部分和数列严格单调增加，并满足以下估计：

$$
1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<3
$$

可见（2．20）中的无穷级数收玫．记级数的和为 $S$ ．
为了证明级数的和 $S$ 等于定义 2.9 中的数列 $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ 的极限 e ，记 $x_n=$ $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ ，并对 $x_n$ 用二项式定理展开得到

$$
\begin{aligned}
& x_n=1+\sum_{k=1}^n C_n^k \frac{1}{n^k}=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots \\
& \quad+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) \\
& <1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}=S_n
\end{aligned}
$$

令 $n \rightarrow \infty$ ，得到 $e \leqslant S$ ．
为证明相反的不等式，取正整数 $m$ ，令 $n>m$ ，并在 $x_n$ 的上述展开式中去掉最后的 $n-m$ 项，得到不等式

$$
x_n>1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)
$$

令 $n \rightarrow \infty$ ，就得到

$$
e \geqslant 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{m!}=S_m
$$

再令 $m \rightarrow \infty$ ，就得到 $e \geqslant S$ ．合并以上即得所求．
利用无穷级数（2．20）的部分和可有效地计算 e 的近似值，其误差估计如下：

$$
\begin{aligned}
0<e & -\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right) \\
& =\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{(n+3)!}+\cdots \\
& <\frac{1}{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots\right) \\
& =\frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{n+1}{n}=\frac{1}{n!n} .
\end{aligned}
$$

例如，用 $n=8$ 就可以计算得到 e 的前 8 位有效数字： $e \approx 2.7182818$ 。
由误差估计不等式（2．21）还可以证明 e 是无理数．
定理 2.20 数 e 是无理数．
证 用反证法．设 $e =\frac{p}{q}$ ，其中 $p, q$ 是正整数．由（2．21）有

$$
0<\frac{p}{q}-\left(1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{q!}\right)<\frac{1}{q!q}
$$

乘以 $q$ ！就发现左边是 0 ，右边是 $\frac{1}{q}$ ，而中间却是一个正整数．由于 $q \geqslant 1$ ，这是不可能的．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：圆周率 π

下一篇：由迭代生成的数列与不动点定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)