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数学分析
第二篇 极限论
圆周率 π
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2025-03-14 12:00
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圆周率 π
## 2.3.3 数 $\pi$ 这一小节将用数列极限来定义圆周率 $\pi$ . 动机 为什么要这样做?必要吗?过去我们将圆周率定义为圆周长与直径之比不是很好吗? 实际上这不难理解。要使上述的几何直观定义有效,首先要证明,任何圆的圆周长与其直径之比一定是一个常数。而曲线的长度在初等数学中从来就没有定义过。圆面积也是如此,虽然我们早就学了圆面积的计算公式,但并不知道它的严格证明是如何进行的。 古希腊数学家很清楚这一点.因此在《几何原本》(约公元前三世纪)中列出了类似的命题,并给出了证明。从中就可以看到,为了处理圆周长,或者圆面积,离开极限是不可能的。那时当然没有微积分,但古希腊数学家对于与极限有关的问题发明了独特的处理方法,本质上与今天的 $\varepsilon-N$ 定义相当。 > 下面的方法是将 $\pi$ 定义为单位圆的内接正 $n$ 边形的半周长当 $n \rightarrow \infty$ 时的极限,即一个严格单调增加数列的极限。这很直观,但需要作出严格证明. 写出这个半周长的表达式 $$ x_n=n \sin \frac{180^{\circ}}{n} $$ 可见为了证明 $\left\{x_n\right\}$ 严格单调增加,需要一个三角不等式.将它写成以下引理. 引理 设 $n \geqslant 2$ ,角 $t$ 满足条件 $0<n t<90^{\circ}$(即 $n t$ 为锐角),则成立不等式 $$ \tan n t>n \tan t ...(2.15) $$ 证 用数学归纳法.对 $n=2$ ,用正切函数的倍角公式就够了: $$ \tan 2 t=\frac{2 \tan t}{1-\tan ^2 t
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【初中数学】圆周的周长与面积
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