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闭区间套定理

## 2.3.6 闭区间套定理
在单调有界数列收玫定理的基础上，容易建立起一个新的有用工具，这就是闭区间套定理．它和单调有界数列收敛定理都是实数系基本定理．

为此首先引入闭区间套的概念。
定义2.14 设每个 $I_n$ 是有界闭区间，且满足条件

$$
I_n \supset I_{n+1} \forall n,
$$

则称 $\left\{I_n\right\}$ 为闭区间套

用 $\left|I_n\right|$ 记区间 $I_n$ 的长度，则闭区间套的区间长度 $\left\{I_n\right\}$ 是单调减少非负数列．
闭区间套的实例在前面已经出现．例如，在定理 2.16 中我们有

$$
x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, y_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}
$$

并证明了 $\left[x_n, y_n\right] \supset\left[x_{n+1}, y_{n+1}\right]$ ，从而就得到一个闭区间套 $\left\{\left[x_n, y_n\right]\right\}$ ．定理 2.16的结果表明 $x_n \uparrow e , y_n \downarrow e$ ，即数 e 是这个闭区间套的（惟一）公共点．

现在叙述并证明以下闭区间套定理。

## 闭区间套定理
定理 2.22 （闭区间套定理）闭区间套必有公共点，又长度收玫于 0 的闭区间套则只有惟一的公共点．

证 设 $\left\{I_n\right\}$ 是闭区间套．记 $I_n=\left[a_n, b_n\right] \forall n$ ，则 $I_n \supset I_{n+1}$ 表明对每个 $n$ 成立不等式
$$
a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n
$$

由此可见，$a_n \uparrow, b_n \downarrow$ 。还可看出 $\left\{a_n\right\}$ 以 $b_1$ 为上界（实际上还以每个 $b_n$ 为上界）， $\left\{b_n\right\}$ 以 $a_1$ 为下界（实际上还以每个 $a_n$ 为下界），因此根据单调有界数列收敛定理，这两个数列都收敛。对不等式 $a_n \leqslant b_n$ 取极限，得到

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\xi \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=\eta
$$

从 $a_n \uparrow \xi$ 和 $b_n \downarrow \eta$ 可见，满足 $\xi \leqslant x \leqslant \eta$ 的点 $x$ 属于每一个闭区间 $\left[a_n, b_n\right]$ ．
现在若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_n-a_n\right)=0$ ，则可见成立

$$
0=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_n-a_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} b_n-\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\eta-\xi
$$

因此得到 $\xi=\eta$ ，它属于每一个闭区间 $I_n$ ．
又若闭区间套有两个不同的公共点，记为 $x_1$ 和 $x_2$ ，且不妨设有 $x_1<x_2$ ，则对每个 $n$ 有

$$
a_n \leqslant x_1<x_2 \leqslant b_n
$$

因此有

$$
0<x_2-x_1 \leqslant b_n-a_n
$$

令 $n \rightarrow \infty$ 就与条件 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n-a_n=0$ 相矛盾．因此只能是 $x_1=x_2$ ．
注 思考题：若将闭区间套定理中的＂闭＂改成＂开＂，其他保持不变，则定理是否还成立？也就是说，长度趋于 0 的开区间套是否存在惟一的公共点？

闭区间套定理在今后有许多应用．下面先举一个例子，即在 §1．1．3 讲可列集时提到的重要事实，即确实存在不可列集。

**例题 2.38** 证明实数集 $R$ 不可列．
证 用反证法．设 $R$ 为可列集，则可以将所有实数表示为

$$
R =\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right\}
$$

任取 $a<b$ ，考虑有界闭区间 $[a, b]$ ．
将 $[a, b]$ 三等分，则所得的 3 个闭子区间中至少有一个子区间不含 $x_1$ ，将这个闭子区间取为 $I_1$ 。然后再将 $I_1$ 三等分，在所得的三个子区间中至少又有一个子区间不含 $x_2$ ，将它取为 $I_2$ ．如此继续下去，就归纳地得到一个闭区间套 $\left\{I_n\right\}$ ，它们的长度满足

$$
\left|I_n\right|=\frac{b-a}{3^n} \rightarrow 0
$$

因此从闭区间套定理知道存在（惟一的）实数 $\xi$ ，它属于每一个 $I_n$ ，即有 $\xi \in I_n \forall n$ ．但从闭区间套 $\left\{I_n\right\}$ 的构造过程知道
$$
x_n \notin I_n \forall n,
$$

因此对每一个 $n$ 都只能是 $\xi \neq x_n$ ．这就表明实数 $\xi$ 不在实数全体的可列表示（2．25）中，引出矛盾．因此 $R$ 不是可列集．

注 1 从闭区间套定理的内容和证明过程可见，它似乎不过是同时出现了两个单调有界收玫数列．但实际上闭区间套定理适用的范围要广泛得多，而且还可以推广到高维空间中去．而单调性概念则只在 $R$ 中有效。

注 2 今后会多次使用闭区间套定理解决许多问题．在应用中第一个问题就是如何构造闭区间套？因为在绝大多数的问题中原来并没有什么闭区间套．例题 2.38 中使用的构造方法可以称为＂三分法＂．它对于所讨论的问题很有效，下面也会再次使用。但今后我们在构造闭区间套时用得最多的方法是所谓的 Bolzano  二分法，以后就会见到．

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