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柯西 Cauchy 收敛准则

## 2.4.1 Cauchy 收敛准则
首先需要引进关于基本数列的定义。
定义 2.15 称 $\left\{x_n\right\}$ 为基本数列（或 Cauchy 数列），若对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n, m \geqslant$ $N:\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon$ 。

直观地来说，基本数列的特征是下标 $n$ 充分大时的数列的所有项 $x_n$ 都挤在一起。又若用定义 1.8 中关于数集的振幅概念（并利用例题 1.3 的结论），则可以更确切地说，基本数列的特征就是，下标充分大的所有项其振幅可以任意小．下面我们立即看到，这恰恰就是收敛性的本质所在。

定理 2.23 （Cauchy 收敛准则）一个数列收敛的充分必要条件是该数列为基本数列。

证（必要性的证明是直截了当的，充分性的证明则比较复杂，且有多种方法．这里用闭区间套定理为工具来证明充分性，引自［15］．）

必要性 $(\Longrightarrow)$ 。设 $\left\{x_n\right\}$ 收玫，记其极限为 $a$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N$ ： $\left|x_n-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．于是当 $n, m \geqslant N$ 时，就有

$$
\left|x_n-x_m\right| \leqslant\left|x_n-a\right|+\left|a-x_m\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
$$

这就证明了收敛数列一定是基本数列．
充分性 $(\Longleftarrow)$ ．设 $\left\{x_n\right\}$ 是基本数列．首先证明它一定有界．为此取 $\varepsilon=1$ ， $\exists N, \forall n, m \geqslant N:\left|x_n-x_m\right|<1$ 。固定 $m=N$ ，则当 $n \geqslant N$ 时，就有 $\left|x_n\right| \leqslant$ $\left|x_n-x_N\right|+\left|x_N\right|<1+\left|x_N\right|$ ，因此对所有 $n$ 就成立

$$
\left|x_n\right| \leqslant \max \left\{\left|x_1\right|, \cdots,\left|x_{N-1}\right|,\left|x_N\right|+1\right\}
$$

即数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界。
于是 $\exists\left[a_0, b_0\right], \forall n: a_0 \leqslant x_n \leqslant b_0$ ．用三分点将该区间等分为三个子区间：

$$
\left[a_0, \frac{2 a_0+b_0}{3}\right],\left[\frac{2 a_0+b_0}{3}, \frac{a_0+2 b_0}{3}\right],\left[\frac{a_0+2 b_0}{3}, b_0\right] .
$$

可以看出位于左边和右边的两个子区间不可能同时含有数列 $\left\{x_n\right\}$ 中的无穷多项，否则就会存在下标任意大的 $n, m$ ，使得 $\left|x_n-x_m\right| \geqslant \frac{b_0-a_0}{3}(>0)$ ，这与基本数列的条件矛盾。

不妨设上述三个子区间中左边（或右边）的一个子区间只含有数列中的有限多项．去掉这个区间，并将余下的两个子区间的并重记为 $\left[a_1, b_1\right]$ ，则其长度 $b_1-a_1=\frac{2}{3}\left(b_0-a_0\right)$ ，且 $\exists N_1, \forall n \geqslant N_1: x_n \in\left[a_1, b_1\right]$ 。

对 $\left[a_1, b_1\right]$ 重复以上做法，如此继续下去就得到一个闭区间套 $\left\{\left[a_k, b_k\right]\right\}$ ，使得它们的长度为 $b_k-a_k=\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(b_0-a_0\right) \rightarrow 0$ ，同时存在正整数列 $\left\{N_k\right\}$ ， $\forall n \geqslant N_k: x_n \in\left[a_k, b_k\right]$ ．

用闭区间套定理，存在惟一的 $\xi \in\left[a_k, b_k\right] \forall k$ ．由于对 $\forall \varepsilon>0, \exists K, \forall k \geqslant$ $K:\left[a_k, b_k\right] \subset O_{\varepsilon}(\xi)$ ．于是当 $n \geqslant N_K$ 时也有 $\left|x_n-\xi\right|<\varepsilon$ ，即已经证明了 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\xi$
注 在基本数列的定义 2.15 中，$n=m$ 不必考虑，而当 $n \neq m$ 时，可以不妨设 $n<m$ ，并记 $m=n+p$ ，其中 $p$ 可以取到每一个正整数。于是今后在使用 Cauchy收敛准则时可以根据需要采用以下两种形式之一。

Cauchy 收敛准则（形式 1）数列 $\left\{x_n\right\}$ 收玫的充分必要条件是 $\forall \varepsilon>0, \exists N$ ， $\forall n, m \geqslant N:\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon$ 。

Cauchy 收敛准则（形式 2）数列 $\left\{x_n\right\}$ 收玫的充分必要条件是 $\forall \varepsilon>0, \exists N$ ， $\forall n \geqslant N, \forall p \in N :\left|x_n-x_{n+p}\right|<\varepsilon$.

下面是无穷级数的 Cauchy 收玫准则，其中同样不再需要引入级数和的概念．
定理 2.24 （无穷级数的 Cauchy 收敛准则）无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的充分必要条件是对 $\varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N, \forall p \in N$ ：

$$
\left|u_{n+1}+\cdots+u_{n+p}\right|<\varepsilon
$$

证 记级数的部分和数列为 $\left\{S_n\right\}$ ，则有 $S_{n+p}-S_n=u_{n+1}+\cdots+u_{n+p}$ ．对 $\left\{S_n\right\}$ 用 Cauchy 收玫准则的形式 2 即可．

注 在上述定理的结论中取 $p=1$ 就得到 $\left|u_{n+1}\right|<\varepsilon$ ，这样就给出了定理 2.8的第二个证明，即级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收玫的必要条件是

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0
$$

2．4．2 例题
Cauchy 收敛准则将在今后的函数极限，无穷级数和广义积分等章节中起重要作用，目前在这里只举出几个简单的例题．

例题 2.39 作为 Cauchy 收玫准则用于判定数列发散的例子，我们用它对调和级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots
$$

的发散性给出一个新的证明（在例题 2.30 和例题 2.32 中已经给出了两个证明）．
证 用反证法．若调和级数收玫，则根据定理 2.24 ，即无穷级数的 Cauchy 收玫准则，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N, \forall p \in N$ ：

$$
\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+p}<\varepsilon .
$$

若在上式中取 $p=n$ ，则就有

$$
\frac{1}{2}=\frac{n}{2 n}<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}<\varepsilon
$$

可见对于 $0<\varepsilon<\frac{1}{2}$ 来说这样的 $N$ 是不可能存在的．因此调和级数发散．

例题 $2 . 4 0$ 用 Cauchy 收玫准重新讨论例题 2.34 中的级数，即

$$
1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots
$$

则可以对其收玫性给出新的证明．
证 根据定理 2．24，需要估计级数的第 $n+1$ 项到第 $n+p$ 项之和．从

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+p)^2} & \leqslant \frac{1}{n(n+1)}+\cdots+\frac{1}{(n+p-1)(n+p)} \\
& =\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n+p-1}-\frac{1}{n+p}\right) \\
& =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n},
\end{aligned}
$$

可见对 $\forall \varepsilon$ 取 $N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$ 即可使上式小于 $\varepsilon$ ，因此该级数收玫．
下一个例题表明，与单调有界数列收玫定理只能用于判定非负项级数的收玫性不同，Cauchy 收玫准则可以用于判定一般项级数的收玫性．

例题 2.41 用 Cauchy 收敛准则证明下列级数收玫：

$$
\frac{\sin 1}{1^2}+\frac{\sin 2}{2^2}+\cdots+\frac{\sin n}{n^2}+\cdots
$$

证 直接估计级数的第 $n+1$ 项到第 $n+p$ 项之和，则可以看出有

$$
\left|\frac{\sin (n+1)}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{\sin (n+p)}{(n+p)^2}\right| \leqslant \frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+p)^2},
$$

因此以下的估计与上一个例题完全相同，从略．
注 在这个例题中我们看到，级数通项的分子上的 $\sin n$ 对于 Cauchy 收玫准则的应用丝毫不构成困难。然而，本章中的其他方法则因为这个因素而无法应用．由此可以看出 Cauchy 收敛准则是一个有力的工具．

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