最后更新: 2025-03-14 12:50 查看: 122 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

子列的定义

## 2.5.1 子列的定义
定义2．16 从一个给定的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，即从

$$
x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots
$$

中，抽取无限多项并保持其原有顺序，得到

$$
x_{n_1}, x_{n_2}, \cdots, x_{n_k}, \cdots
$$

这就是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的一个子列，记为 $\left\{x_{n_k}\right\}$ ，其中的 $n_k$ 表示子列的第 $k$ 项在原数列中的位置是第 $n_k$ 项．

为清楚起见，与数列（作为映射）$\left\{x_n\right\}$ 的自变量 $n$ 不同，我们将子列（作为映射）的自变量记为 $k$ 。

现在对定义 2.16 作进一步的解释。
具体来说，取子列的过程就是对一个数列从第一项起，选某项为子列的第 1 项，记为 $x_{n_1}, n_1$ 就是这一项在 $\left\{x_n\right\}$ 中的位置．然后从 $x_{n_1+1}$ 起，选某项作为子列的第 2 项，记为 $x_{n_2}, n_2$ 就是这一项在 $\left\{x_n\right\}$ 中的位置．如此继续就得到一个子列．

例如，抽取奇数项得到的奇数项子列为 $\left\{x_{2 k-1}\right\}$ ，其中的 $n_k=2 k-1$ ．于是这个子列的第 1 项是原数列的第 1 项，子列的第 2 项是原数列的第 3 项，如此等等．同样，抽取偶数项得到的偶数项子列为 $\left\{x_{2 k}\right\}$ ，其中的 $n_k=2 k$ ．于是这个子列的第 1项是原数列的第 2 项，子列的第 2 项是原数列的第 4 项，如此等等．

如上所述，子列的概念很简单，不难理解。但我们往往会对于其下标 $n_k$ 感到困惑，因此下面列出子列下标的几个基本性质，它们都隐含在定义 2.16 之中．

在子列下标记号 $n_k$ 中，$k$ 是正整数，$n_k$ 也是正整数。由于 $k$ 依次取到所有正整数，因此就生成一个数列 $\left\{n_k\right\}$ 。从子列定义可以推出它具有以下 3 个基本性质：
（1）作为数列来看，$\left\{n_k\right\}$ 是严格单调增加数列，即

$$
1 \leqslant n_1<n_2<\cdots<n_k<n_{k+1}<\cdots
$$

（2）对每个正整数 $k$ 满足不等式

$$
n_k \geqslant k
$$

这直接来自定义 2.16 ，即子列的第 $k$ 项决不可能取自原数列的前 $k-1$ 项之中（可用数学归纳法对此不等式作出证明）；
（3）从 $n_k \geqslant k$ 可见 $\left\{n_k\right\}$ 是正无穷大量，也就是

$$
\lim _{k \rightarrow \inft

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