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子列的定义

## 2.5.1 子列的定义
定义2．16 从一个给定的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，即从

$$
x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots
$$

中，抽取无限多项并保持其原有顺序，得到

$$
x_{n_1}, x_{n_2}, \cdots, x_{n_k}, \cdots
$$

这就是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的一个子列，记为 $\left\{x_{n_k}\right\}$ ，其中的 $n_k$ 表示子列的第 $k$ 项在原数列中的位置是第 $n_k$ 项．

为清楚起见，与数列（作为映射）$\left\{x_n\right\}$ 的自变量 $n$ 不同，我们将子列（作为映射）的自变量记为 $k$ 。

现在对定义 2.16 作进一步的解释。
具体来说，取子列的过程就是对一个数列从第一项起，选某项为子列的第 1 项，记为 $x_{n_1}, n_1$ 就是这一项在 $\left\{x_n\right\}$ 中的位置．然后从 $x_{n_1+1}$ 起，选某项作为子列的第 2 项，记为 $x_{n_2}, n_2$ 就是这一项在 $\left\{x_n\right\}$ 中的位置．如此继续就得到一个子列．

例如，抽取奇数项得到的奇数项子列为 $\left\{x_{2 k-1}\right\}$ ，其中的 $n_k=2 k-1$ ．于是这个子列的第 1 项是原数列的第 1 项，子列的第 2 项是原数列的第 3 项，如此等等．同样，抽取偶数项得到的偶数项子列为 $\left\{x_{2 k}\right\}$ ，其中的 $n_k=2 k$ ．于是这个子列的第 1项是原数列的第 2 项，子列的第 2 项是原数列的第 4 项，如此等等．

如上所述，子列的概念很简单，不难理解。但我们往往会对于其下标 $n_k$ 感到困惑，因此下面列出子列下标的几个基本性质，它们都隐含在定义 2.16 之中．

在子列下标记号 $n_k$ 中，$k$ 是正整数，$n_k$ 也是正整数。由于 $k$ 依次取到所有正整数，因此就生成一个数列 $\left\{n_k\right\}$ 。从子列定义可以推出它具有以下 3 个基本性质：
（1）作为数列来看，$\left\{n_k\right\}$ 是严格单调增加数列，即

$$
1 \leqslant n_1<n_2<\cdots<n_k<n_{k+1}<\cdots
$$

（2）对每个正整数 $k$ 满足不等式

$$
n_k \geqslant k
$$

这直接来自定义 2.16 ，即子列的第 $k$ 项决不可能取自原数列的前 $k-1$ 项之中（可用数学归纳法对此不等式作出证明）；
（3）从 $n_k \geqslant k$ 可见 $\left\{n_k\right\}$ 是正无穷大量，也就是

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} n_k=+\infty
$$

例如，奇数项子列的 $n_k=2 k-1$ ，偶数项子列的 $n_k=2 k$ ，都具有这 3 个性质．
还应知道，从定义 2.16 可以看出，数列 $\left\{x_n\right\}$ 本身也是自己的一个子列．这时 $n_k=k$ ．

此外有时还会用到子列的子列，这时对于数列 $\left\{x_n\right\}$ 的子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ 的子列，用记号 $\left\{x_{n_{k_j}}\right\}$ 表示．注意，这个子列的子列也是 $\left\{x_n\right\}$ 的子列．

关于子列的玫散性的最基本结论如下．

## 子列基本定理
定理 2.25 （子列基本定理）数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ 的充分必要条件是 $\left\{x_n\right\}$ 的每一个子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ 都收玫于 $a$ ，也就是说有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Longleftrightarrow \forall\left\{x_{n_k}\right\}: \lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}=a
$$

证 分两步来做．
充分性（ $\Longleftarrow)$ 是平凡的，因为数列本身就是自己的一个子列。
必要性 $(\Longrightarrow)$ 。这时 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N$ ：

$$
\left|x_n-a\right|<\varepsilon
$$

对于（每一个）子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ ，当 $k \geqslant N$ 时，由于子列下标的严格单调性和前述关于下标 $n_k$ 的性质（2），可以推出有

$$
n_k \geqslant n_N \geqslant N
$$

因此也就满足

$$
\left|x_{n_k}-a\right|<\varepsilon .
$$

这样就证明了 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}=a$ ．
注 上述定理还可推广到 $a= \pm \infty$ 的情况，也就是说只要 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 有意义，定理 2.25 就成立．留作练习题．

由上述定理可以得到几个有用的推论，它们是判定数列发散的有力工具．

> 推论1 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 有两个子列收敛于不同极限，则 $\left\{x_n\right\}$ 一定发散。

例如，例题 2.9 中的数列 $\left\{(-1)^{n-1}\right\}$ 的奇数项子列的每一项都等于 1 ，因此收玫于 1 ，而偶数项子列的每一项都等于 -1 ，因此收玫于 -1 ，从而推出 $\left\{(-1)^{n-1}\right\}$为发散数列。

下面一个推论要灵活一点，因为它不要求证明两个子列收玫，更不必求出它们的极限。

> 推论2 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 有两个子列，它们不可能收玫于同一个极限，则 $\left\{x_n\right\}$ 一定发散。

用下面的例题来说明如何应用上述推论 2 ，以及看出它与推论 1 的差别．
例题 2.42 证明数列 $\{\sin n\}$ 发散．
证 从正弦曲线 $y=\sin x$ 的 图像可以设法构造出两个子列．虽然我们并不知道它们是否收玫，但却能够证明它们（如果收玫的话）决不可能收玫于同一极限．这个方法是利用函数 $y=\sin x$ 在一个周期上的几何图像。

先看图 2.9 中介于 $2 k \pi$ 和 $(2 k+1) \pi$ 之间的（加黑的）子区间 $[2 k \pi+(\pi / 4), 2 k \pi+$ $(3 \pi / 4)]$ ．由于函数 $\sin x$ 在这个区间上的取值不小于 $\sin (\pi / 4)=\sqrt{2} / 2$ ，同时区间长度又大于 1 ，因此在该区间中一定存在一个正整数，取它为 $n_k$ ．对每个 $k$ 都这样做，就得到一个子列 $\left\{\sin n_k\right\}$ ．如果它收玫的话，其极限一定不小于 $\sqrt{2} / 2$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/003b46.jpg)
 类似地在图 2.9 上的区间 $[(2 k+1) \pi,(2 k+2) \pi]$ 中存在正整数 $n_k^{\prime}$ ，这样就得到第二个子列 $\left\{\sin n_k^{\prime}\right\}$ ．它如果收玫的话，极限一定不会大于 0 ．

因为收玫数列的每个子列都收玫于同一极限，而现在所构造出的两个子列即使都收玫，也不可能收玫于同一极限，从而就推知 $\{\sin n\}$ 是发散数列．

注 除了利用子列之外，还有其他方法可以证明数列 $\{\sin n\}$ 为发散数列．
下一个定理的内容已出现在 $\S 2.1$ 的练习题 5 中，由于其重要性在此特地将它列为定理。

**定理 2.26** 数列收玫的充分必要条件是它的奇数项子列和偶数项子列都收玫，且具有相同的极限．

在下面的定理中将子列概念与单调数列联系在一起，这为解决不少问题提供了方便．

**定理 2.27** 每个数列都有单调子列．
证 给定数列 $\left\{x_n\right\}$ ，若它有单调增加子列，则已不必再讨论．否则，我们来证明 $\left\{x_n\right\}$ 中一定存在严格单调减少子列．

设 $\left\{x_n\right\}$ 中不存在单调增加子列，则可以看出 ${ }^{(1)}$ 在数列中必有某一项为最大，取为 $x_{n_1}$ ，则对每个 $n>n_1$ 都成立 $x_n<x_{n_1}$ ．同样，考虑去掉前 $n_1$ 项后得到的数
列 $\left\{x_n\right\}_{n>n_1}$ ，它也不存在单调增加子列，这样又存在 $x_{n_2}$ ，满足 $n_2>n_1$ ，且对每个 $n>n_2$ 成立 $x_n<x_{n_2}<x_{n_1}$ ．如此继续下去就可以用数学归纳法得到严格单调减少的子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ ．

注 同样有用的是下面两个结论（留作练习题）：
（1）若数列 $\left\{x_n\right\}$ 无上界，则数列中必有发散于 $+\infty$ 的严格单调增加子列．
（2）若数列 $\left\{x_n\right\}$ 无下界，则数列中必有发散于 $-\infty$ 的严格单调减少子列．

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