最后更新: 2025-03-14 17:42 查看: 90 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

映射与逆映射

## 映射
映射是集合与集合之间的一种关系．本节列出有关映射的一般性概念．

**定义3.1** 设有两个集 $X$ 与 $Y$ ．如果存在一个对应规则 $f$ ，通过它对于每个 $x \in X$ 有惟一的 $y \in Y$ 与之对应，则称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作

$$
\begin{aligned}
& f: X \rightarrow Y, \\
& x \mapsto y=f(x) .
\end{aligned} ...(3.1)
$$

称 $X$ 为映射 $f$ 的**定义域**，记为 $D (f)$ ，称集合

$$
f(X)=\{y \in Y \mid y=f(x), x \in X\}
$$

为映射 $f$ 的**值域**，记为 $R (f)$ ．

将 $y=f(x)$ 称作在映射 $f$ 下 $x$ 的**象**，又将 $x$ 称作在映射 $f$ 下 $y$ 的**原象**（或逆象），$y$ 的原象全体记为 $f^{-1}(y)$ ，即有 $f^{-1}(y)=\{x \mid f(x)=y, x \in D (f)\}$ ．

**注1** 映射的记号（3．1）有两层意思，第一行的 $f: X \rightarrow Y$ 表示通过 $f$ 将整个集合 $X$ 映入到 $Y$ 中去，第二行则表示对每个 $x \in X$ ，有一个规则将它对应于一个 $y \in Y$ ，并将它记为 $y=f(x)$ 。

**注2** 从定义 3.1 可见，一个映射的给定取决于定义域 $X$ 和对应规则 $f$ ，值域 $f(X)$ 是由它们决定的．$f(X) \subset Y$ 总是成立的，但不一定有 $f(X)=Y$ 。

**注3** 定义3.1表明，对于每个 $x \in X$ 有且只有惟一的 $y$ 与之对应．这种映射称为**单值映射**．反之，如果允许对于 $x \in X$ 可以有多于一个 $y \in Y$ 与之对应，则称 $f$ 为**多值映射**．今后在不加说明时只用单值映射，简称为映射．

## 满射 单射 双射
以下几类映射是特别重要的：若对于每个 $y \in Y$ ，存在 $x \in X$ ，使得 $y=f(x)$ ，则称 $f$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的**满射**（即有 $f(X)=Y$ 成立）；

若对于 $X$ 中的每一对 $x_1, x_2$ ， $x_1 \neq x_2$ ，总是有 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$ ，则称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的单射；

若 $f: X \rightarrow Y$ 既是满射又是单射，则称 $f$ 为**双射**，或一一映射．（在 $\S 1.1$ 中已经给出了在两个集合之间的一一对应的很多例子，这种一一对应就是双射，即**一一映射**．）

## 逆映射
设 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的一一映射，则对每个 $y \in Y$ ，存在惟一的原象 $x$ 与之对应，从而生成从 $Y$ 到 $X$ 的一个新的映射．我们将它记为

$$
\begin{aligned}
& f^{-1}: Y=f(X) \rightarrow X \\
& y \mapsto x=f^{-1}(y)
\end{aligned}
$$

并将 $f^{-1}$ 称为 $f$ 的**逆映射**．当然逆映射 $f^{-1}$ 必是一一映射，而且它的逆映射，即 $\left(f^{-1}\right)^{-1}$ ，就等于 $f$ 。

逆映射 $f^{-1}$ 的定义域和值域分别等于原映射 $f$ 的值域与定义域，也就是有

$$
D \left(f^{-1}\right)= R (f), \quad R \left(f^{-1}\right)= D (f) .
$$

在一一映射 $f$ 及其逆映射 $f^{-1}$ 之间成立以下关系：对于每个 $x \in X$ 和每个 $y \in Y$ 分别成立恒等式：

$$
f^{-1}[f(x)]=x, \quad f\left[f^{-1}(y)\right]=y
$$

## 复合映射
复合映射的概念涉及到两个映射．设有 $g: X \rightarrow V$ 和 $f: U \rightarrow Y$ ，则在集合

$$
X^{\prime}=\{x \in X \mid g(x) \in U\}
$$

非空的前提下，对于 $x \in X^{\prime}, y=f(g(x))$ 有意义，从而确定了一个映射，记为

$$
\begin{aligned}
& f \circ g: X^{\prime} \rightarrow Y, \\
& x \mapsto y=(f \circ g)(x)=f(g(x)),
\end{aligned}
$$

称之为映射 $f$ 和 $g$ 的复合映射．
若引入 id 表示恒等映射（identity mapping），即由 $f(x)=x \forall x \in D (f)$ 定义的映射，则上述关于逆映射的两个恒等式可用复合映射写出为

$$
f^{-1} \circ f=id, \quad f \circ f^{-1}=id,
$$

注意其中两个恒等映射的定义域分别为 $X$ 和 $Y$ ．

注 注意在 $X^{\prime}=\varnothing$ 时不存在复合映射 $f \circ g$ ．此外，若同时存在 $f \circ g$ 和 $g \circ f$ ，则它们一般来说也不相同．例如上述两个恒等映射当 $X \neq Y$ 时就不相同．

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