最后更新: 2023-10-02 10:39 查看: 308 次反馈纠错下载本文

实数理论

实数是数学上的一类数，包括有理数和无理数。任何有理数均可以表示为两个整数的商的形式，且都可以用有限小数或无限循环小数表示。而无限不循环小数则称为无理数。实数理论就是围绕着实数的关系集性质而研究出的一系列基本事实。

## 扩充有理数域

我们知道有理数域（记为 { $ \mathbb {Q} $ ）虽然稠密，但是并不完备（确界原理并不成立），单纯使用有理数并不能对函数等进行有效研究。因此，我们需要对有理数集进行扩充，构造出一个新的数集，使得确界原理得以成立。实际上现在我们已经知道这个更完备的数集是实数集。构造实数集有很多方法和理论，例如戴德金分划说、区间套说等。扩充后的实数域不仅和有理数域一样是阿基米德有序域，而且具有完备性。

为什么确界原理不成立的有理数域要被扩充为实数域？我们知道，微积分在各个领域应用广泛，而极限理论则为其提供了运算的理论依据，在这其中“收敛”的数列极限亦十分重要，它有许多有用的性质。如果我们将所有运算限制到有理数上，我们将不会得到某些数列的极限，尽管它们各项可能都是有理数，进而我们就很难甚至无法对它们进行进一步的运算，这样微积分理论就有很多漏洞，因此我们才需要扩充数域，并建立一个更完备的理论，由此严格的一步步推出实数理论以及极限论中的基本理论等。

## 无限小数公理

- 当 $a$ 为正整数时， $a=a .000 \cdots=(a-1) .999 \cdots$
- 当 $a$ 为负整数时， $a=a .000 \cdots=-(-a-1) .999 \cdots$
- 0 表示为 $0.000 \cdots$ 。
- 对于一个任意有限小数 $a=a_0 . a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \cdots\left(a_i\right.$ 为个位数非负整数， $i=1,2,3, \cdots, n ， a_n$ 不为 0 )，我们可以用如下两种方式将其表示成无限位数的小数。

1. $a=a_0 . a_1 a_2 a_3 \cdots a_n 000 \cdots$
2. $a=a_0 . a_1 a_2 a_3 \cdots\left(a_n-1\right) 999 \cdots$
   这样，所有的实数都可以用无限小数来表示了。关于这种表示的合理性，以及强化条件后表示的唯一性我们会在小数 表示公理中说明。

## 实数的公理化

实数最基本的性质是可以进行加、减、乘以及除运算。其中加法和乘法是基本运算。

1.  实数对加法有结合律: $x+y+z=x+(y+z), \forall x, y, z \in \mathbb{R}$;
2. 实数对加法有交换律: $x+y=y+x, \forall x, y \in \mathbb{R}$;
3. 加法运算有单位元 $0: x+0=x, \forall x \in \mathbb{R}$;
4. 实数对加法有逆元 (也即加法有逆运算减法) : $x+(-x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$;
5. 实数对乘法有结合律: $(x \cdot y) \cdot z=x \cdot(y \cdot z), \forall x, y, z \in \mathbb{R}$;
6. 实数对乘法有交换律: $x \cdot y=y \cdot x \forall x, y \in \mathbb{R}$;
7. 乘法运算有单位元 $1: 1 \cdot x=x, \forall x \in \mathbb{R}$;
8. 非零实数对乘法有逆元 (也即乘法有逆运算除法) : $x \cdot x^{-1}=1, \forall x \in \mathbb{R}-\{0\}$;
9. 乘法对加法有分配律: $x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z, \forall x, y, z \in \mathbb{R}$;
10. 自反性: $x \leqslant x, \forall x \in \mathbb{R}$;
11. 反对称性: 若 $x \leqslant y$ 且 $y \leqslant x$ ，那么 $x=y$;
12. 传递性: 若 $x \leqslant y, y \leqslant z$ ，那么 $x \leqslant z$;
13. 全序性：任意两个实数之间可以比较大小，对任意 $x, y \in \mathbb{R}$ ，要么 $x \leqslant y$ ，要么 $y \leqslant x$ ；
14. 序对加法相容: $x+z \leqslant y+z$ ，那么 $x \leqslant y$;
15. 序对乘法相容: $x z \leqslant y z, z>0$ ，那么 $x \leqslant y$.
16. 戴德金原理。
    上述1-9说明了 $\mathbb{R}$ 是一个数域，10-13说明了 $(\mathbb{R}, \leqslant)$ 是一个偏序集，14说明了偏序集 $(\mathbb{R}, \leqslant)$ 是一个全序集，10-15共 同说明了 $\mathbb{R}$ 是一个有序域，第16条揭示了实数域的完备性或连续性，我们称1-16都满足的集合为完备的有序域。
    一个集合只要满足如上十六条 (即完备的有序域)，就可称为是实数域，这是实数域的公理化定义。
    实际上我们可以看出，我们并不关心这个集合中的元素是什么，只要良定义了集合上的加法、乘法、全序关系，且满 足如上十六条，我们就说它是实数域。
    实数域的完备性还可用实数理论中的一组基本等价定理：Dedekind 定理、确界定理、区间套定理、单调有界定理、 Cauchy 收敛准则、Bolzano-Weierstrass 定理（聚点定理、致密性定理）以及 Heine-Borel 定理 (有限覆盖定理) 来 描述，其中，使用 Cauchy 收敛准则时必须再指明另一个附加条件 (阿基米德性) 才能和其它定理等价。

- Archimedes 性: 对任意的 $x, y>0$ ，存在正整数 $n$ ，使得 $n x \geqslant y$.

## 实数域的同构

引入有序域的同构概念:
如果一个从有序域 $\left(R_1 ;+_1, \cdot_1, \leqslant_1\right)$ 到 $\left(R_2 ;+_2, \cdot_2, \leqslant_2\right)$ 的双射 $\varphi$ 兼容加法、乘法和全序关系，即

1. $\forall x, y \in R_1, \varphi\left(x+{ }_1 y\right)=\varphi(x)+{ }_2 \varphi(y)$;
2. $\forall x, y \in R_1, \varphi\left(x \cdot \cdot_1 y\right)=\varphi(x) \cdot{ }_2 \varphi(y)$;
3. $\forall x, y \in R_1$ 如果 $x \leqslant{ }_1 y$ ，那么 $\varphi(x) \leqslant \leqslant_2 \varphi(y)$.
   我们可以证明，所有实数域都是互相同构的，因此任意一个都可作为这个数域的代表参与运算，这是实数域的唯一 性。

## 有理数域的扩充

实数域是作为有理数域的完备性扩充得到的，不管如何扩充，满足完备性的实数域在同构意义下是唯一的，且不能再做扩充。

有理数域是实数域的一个子有序域，且有理数在实数域中是稠密的，即对任意以有理数为元素的数列，它的极限若存在，必为一实数。

以上我们用抽象的方法“造出了”实数域，但是我们并没有牵扯到具体的数字，有理数域我们是可以罗列出元素的，但实数域我们没有办法罗列具体元素，因此，我们严谨的说，上述定义的唯一性是在存在性得到保证后的，实际上，存在性牵扯到实数该如何构造，基本的有 Dedekind 分割以及 Cantor 基本列方法。

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