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实数理论
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2023-10-02 10:39
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实数理论
实数是数学上的一类数,包括有理数和无理数。任何有理数均可以表示为两个整数的商的形式,且都可以用有限小数或无限循环小数表示。而无限不循环小数则称为无理数。实数理论就是围绕着实数的关系集性质而研究出的一系列基本事实。 ## 扩充有理数域 我们知道有理数域(记为 { $ \mathbb {Q} $ )虽然稠密,但是并不完备(确界原理并不成立),单纯使用有理数并不能对函数等进行有效研究。因此,我们需要对有理数集进行扩充,构造出一个新的数集,使得确界原理得以成立。实际上现在我们已经知道这个更完备的数集是实数集。构造实数集有很多方法和理论,例如戴德金分划说、区间套说等。扩充后的实数域不仅和有理数域一样是阿基米德有序域,而且具有完备性。 为什么确界原理不成立的有理数域要被扩充为实数域?我们知道,微积分在各个领域应用广泛,而极限理论则为其提供了运算的理论依据,在这其中“收敛”的数列极限亦十分重要,它有许多有用的性质。如果我们将所有运算限制到有理数上,我们将不会得到某些数列的极限,尽管它们各项可能都是有理数,进而我们就很难甚至无法对它们进行进一步的运算,这样微积分理论就有很多漏洞,因此我们才需要扩充数域,并建立一个更完备的理论,由此严格的一步步推出实数理论以及极限论中的基本理论等。 ## 无限小数公理 - 当 $a$ 为正整数时, $a=a .000 \cdots=(a-1) .999 \cdots$ - 当 $a$ 为负整数时, $a=a .000 \cdots=-(-a-1) .999 \cdots$ - 0 表示为 $0.000 \cdots$ 。 - 对于一个任意有限小数 $a=a_0 . a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \cdots\left(a_i\right.$ 为个位数非负整数, $i=1,2,3, \cdots, n , a_n$ 不为 0 ),我们可以用如下两种方式将其表示成无限位数的小数。 1. $a=a_0 . a_1 a_2 a_3 \cdots a_n 000 \cdots$ 2. $a=a_0 . a_1 a_2 a_3 \cdots\left(a_n-1\right) 999 \cdots$ 这样,所有的实数都可以用无限小数来表示了。关于这种表示的合理性,以及强化条件后表示的唯一性我们会在小数 表示公理中说明。 ## 实数的公理化 实数最基本的性质是可以进行加、减、乘以及除运算。其中加法和乘法是基本运算。 1. 实数对加法有结合律: $x+y+z=x+(y+z), \forall x, y, z \in \mathbb{R}$; 2. 实数对加法有交换律: $x+y=y+x, \forall x, y \in \mathbb{R}$; 3. 加法运算有单位元 $0: x+0=x, \forall x \in \mathbb{R}$; 4. 实数对加法有逆元 (也即加法有逆运算减法) : $x+(-x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$; 5. 实数对乘法有结合律: $(x \cdot y) \cdot z=x \cdot(y \cdot z), \forall x, y, z \in \mathbb{R}$; 6. 实数对乘法有交换律: $x \cdot y=y \cdot x \forall x, y \in \mathbb{R}$; 7. 乘法运算有单位元 $1: 1 \cdot x=x, \forall x \in \mathbb{R}$; 8. 非零实数对乘法有逆元 (也即乘法有逆运算除法) : $x \cdot x^{-1}=1, \forall x \in \mathbb{R}-\{0\}$; 9. 乘法对加法有分配律: $x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z, \forall x, y, z \in \mathbb{R}$; 10. 自反性: $x \leqslant x, \forall x \in \mathbb{R}$; 11. 反对称性: 若 $x \leqslant y$ 且 $y \leqslant x$ ,那么 $x=y$; 12. 传递性: 若 $x \leqslant y, y \leqslant z$ ,那么 $x \leqslant z$; 13. 全序性:任意两个实数之间可以比较大小,对任意 $x, y \in \mathbb{R}$ ,要么 $x \leqslant y$ ,要么 $y \leqslant x$ ; 14. 序对加法相容: $x+z \leqslant y+z$ ,那么 $x \leqslant y$; 15. 序对乘法相容: $x z \leqslant y z, z>0$ ,那么 $x \leqslant y$. 16. 戴德金原理。 上述1-9说明了 $\mathbb{R}$ 是一个数域,10-13说明了 $(\mathbb{R}, \leqslant)$ 是一个偏序集,14说明了偏序集 $(\mathbb{R}, \leqslant)$ 是一个全序集,10-15共 同说明了 $\mathbb{R}$ 是一个有序域,第16条揭示了实数域的完备性或连续性,我们称1-16都满足的集合为完备的有序域。 一个集合只要满足如上十六条 (即完备的有序域),就可称为是实数域,这是实数域的公理化定义。 实际上我们可以看出,我们并不关心这个集合中的元素是什么,只要良定义了集合上的加法、乘法、全序关系,且满 足如上十六条,我们就说它是实数域。 实数域的完备性还可用实数理论中的一组基本等价定理:Dedekind 定理、确界定理、区间套定理、单调有界定理、 Cauchy 收敛准则、Bolzano-Weierstrass 定理(聚点定理、致密性定理)以及 Heine-Borel 定理 (有限覆盖定理) 来 描述,其中,使用 Cauchy 收敛准则时必须再指明另一个附加条件 (阿基米德性) 才能和其它定理等价。 - Archimedes 性: 对任意的 $x, y>0$ ,存在正整数 $n$ ,使得 $n x \geqslant y$. ## 实数域的同构 引入有序域的同构概念: 如果一个从有序域 $\left(R_1 ;+_1, \cdot_1, \leqslant_1\right)$ 到 $\left(R_2 ;+_2, \cdot_2, \leqslant_2\right)$ 的双射 $\varphi$ 兼容加法、乘法和全序关系,即 1. $\forall x, y \in R_1, \varphi\left(x+{ }_1 y\right)=\varphi(x)+{ }_2 \varphi(y)$; 2. $\forall x, y \in R_1, \varphi\left(x \cdot \cdot_1 y\right)=\varphi(x) \cdot{ }_2 \varphi(y)$; 3. $\forall x, y \in R_1$ 如果 $x \leqslant{ }_1 y$ ,那么 $\varphi(x) \leqslant \leqslant_2 \varphi(y)$. 我们可以证明,所有实数域都是互相同构的,因此任意一个都可作为这个数域的代表参与运算,这是实数域的唯一 性。 ## 有理数域的扩充 实数域是作为有理数域的完备性扩充得到的,不管如何扩充,满足完备性的实数域在同构意义下是唯一的,且不能再做扩充。 有理数域是实数域的一个子有序域,且有理数在实数域中是稠密的,即对任意以有理数为元素的数列,它的极限若存在,必为一实数。 以上我们用抽象的方法“造出了”实数域,但是我们并没有牵扯到具体的数字,有理数域我们是可以罗列出元素的,但实数域我们没有办法罗列具体元素,因此,我们严谨的说,上述定义的唯一性是在存在性得到保证后的,实际上,存在性牵扯到实数该如何构造,基本的有 Dedekind 分割以及 Cantor 基本列方法。
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