最后更新: 2025-03-14 18:06 查看: 115 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

函数的单调性与极值

## 3.3.4  函数的单调性
单调性的定义已经在前面给出（见定义 3．5），并在反函数的存在定理中起主要作用．这里再做一点补充，并提出单调区间的概念．

单调函数的图像具有明显的上升或下降特性．例如，在定义域 $(0,+\infty)$ 上的函数 $x, x^2$ 都是严格单调增加函数，而 $1 / x, 1 / x^2$ 都是严格单调减少函数．

这里认为以下事实是已知的：指数函数 $y=a^x$ 当 $a>1$ 时在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调增加，当 $0<a<1$ 时在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调减少；对数函数 $y=\log _a x$当 $a>1$ 时在 $(0,+\infty)$ 上严格单调增加，当 $0<a<1$ 时在 $(0,+\infty)$ 上严格单调减少；幂函数 $y=x^\mu$ 当 $\mu>0$ 时在 $(0,+\infty)$ 上严格单调增加，当 $\mu<0$ 时在 $(0,+\infty)$上严格单调减少．（实际上指数函数，对数函数和幂函数的一般性定义都需要以实数理论为基础，因此它们的单调性的严格证明也离不开实数理论．）

经常出现这样一种情况，即在一个区间上定义的函数并不是单调函数，但若将这个区间分成几个子区间之后，这个函数就可能在每个子区间上都是单调函数．在中学数学课程中遇到的函数多数都如此．称这样的区间为该函数的单调区间．例如，根据图 3.18 中所示函数图像，可将该函数的定义域分成若干个单调区间．图 3.19 则显示了更为复杂的情况．
 ![图片](/uploads/2025-01/445acc.jpg)

## 3.3.5 函数的极值与极值点
与函数的单调性和单调区间密切相关的是函数的极值和极值点．

定义 3.8 设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某一个邻域 $U\left(x_0\right)$ 上具有性质：

$$
f(x) \leqslant f\left(x_0\right) \forall x \in U\left(x_0\right),
$$

则称 $f\left(x_0\right)$ 是 $f$ 的一个**极大值**，称 $x_0$ 是函数 $f$ 的一个**极大值点**．类似地可以定义函数的极小值与极小值点．又将极小值与极大值统称为极值，将极小值点与极大值点统称为极值点．

在图 3.18 中可以看出点 $x_1, x_3, x_4, x_6, x_8$ 是 $f$ 的极大值点，点 $x_2, x_5, x_7$ 是极小值点．此外，开区间 $\left(x_3, x_4\right)$ 中的点既是极大值点又是极小值点．还可以注意到，极大值点 $x_6$ 处右侧图像不连续，而 $x_8$ 处的极大值小于 $x_2$ 处的极小值．

还可以将在性质（3．8）中仅当 $x=x_0$ 时成立等号的极大值称为严格极大值，相应地定义严格极大值点．类似地定义严格极小值和严格极小值点．这时在图 3.18的极值点中，点 $x_1, x_2, x_5, x_6, x_7, x_8$ 均为严格极值点．

从定义 3.8 和图 3.18 均可看出，若 $f$ 在点 $x_0$ 的左侧邻近（即以 $x_0$ 为右端点的区间）单调增加，而在点 $x_0$ 的右侧邻近单调减少，则点 $x_0$ 是 $f$ 的极大值点．对于极小值点有类似的结论．由此可见利用单调性来判定极值点存在是很有用的手段．但这只是充分而非必要的条件．一个函数在其极值点邻近可以表现出更为复杂的性态．图3．19就是一个例子，其中用粗黑线表示的函数图像在两条虚线限定的区域内作无限次振动，在极小值点 $x_0$ 的每一侧的任意邻近，函数都不是单调的．

注 图 3.19 中的图像是函数

$$
f(x)=\left\{\begin{aligned}
x^2\left(2+\sin \frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{aligned}\right.
$$

在 $x=0$ 邻近的情况．为了清楚起见在横坐标和纵坐标方向乘以不同的比例因子并作了平移．

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