最后更新: 2025-03-14 18:06 查看: 329 次纠错评论(0) 课件开VIP

函数的单调性与极值

## 3.3.4  函数的单调性
单调性的定义已经在前面给出（见定义 3．5），并在反函数的存在定理中起主要作用．这里再做一点补充，并提出单调区间的概念．

单调函数的图像具有明显的上升或下降特性．例如，在定义域 $(0,+\infty)$ 上的函数 $x, x^2$ 都是严格单调增加函数，而 $1 / x, 1 / x^2$ 都是严格单调减少函数．

这里认为以下事实是已知的：指数函数 $y=a^x$ 当 $a>1$ 时在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调增加，当 $0<a<1$ 时在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调减少；对数函数 $y=\log _a x$当 $a>1$ 时在 $(0,+\infty)$ 上严格单调增加，当 $0<a<1$ 时在 $(0,+\infty)$ 上严格单调减少；幂函数 $y=x^\mu$ 当 $\mu>0$ 时在 $(0,+\infty)$ 上严格单调增加，当 $\mu<0$ 时在 $(0,+\infty)$上严格单调减少．（实际上指数函数，对数函数和幂函数的一般性定义都需要以实数理论为基础，因此它们的单调性的严格证明也离不开实数理论．）

经常出现这样一种情况，即在一个区间上定义的函数并不是单调函数，但若将这个区间分成几个子区间之后，这个函数就可能在每个子区间上都是单调函数．在中学数学课程中遇到的函数多数都如此．称这样的区间为该函数的单调区间．例如，根据图 3.18 中所示函数图像，可将该函数的定义域分成若干个单调区间．图 3.19 则显示了更为复杂的情况．
 ![图片](/uploads/2025-01/445acc.jpg)

## 3.3.5 函数的极值与极值点
与函数的单调性和单调区间密切相关的是函数的极值和极值点．

定义 3.8 设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某一个邻域 $U\left(x_0\right)$ 上具有性质：

$$
f(x) \leqslant f\left(x_0\right) \forall x \in U\left(x_0\right),
$$

则称 $f\left(x_0\right)$ 是 $f$ 的一个**极大值**，称 $x_0$ 是函数 $f$ 的一个**极大值点**．类似地可以定义函数的极小值与极小值点．又将极小值与极大值统称为极值，将极小值点与极大值点统称为极值点．

在图 3.18 中可以看出点 $x_1, x_3, x_4, x_6, x_8$ 是 $f$ 的极大值点，点 $x_2, x_5, x_7$ 是极小值点．此外，开区间 $\left(x_3, x_4\right)$ 中的点既是极大值点又是极小值点．还可以注意到，极大值点 $x_6$ 处右侧图像不连续，而 $x_8$ 处的极大值小于 $x_2$ 处的极小值．

还可以将在性质（3．8）中仅当 $x=x_0$ 时成立等号的极大值称为严格极大值，相应地定义严格极大值点．类似地定义严格极小值和严格极小值点．这时在图 3.18的极值点中，点 $x_1, x_2, x_5, x_6, x_7, x_8$ 均为严格极值点．

从定义 3.8 和图 3.18 均可看出，若 $f$ 在点 $x_0$ 的左侧邻近（即以 $x_0$ 为右端点的区间）单调增加，而在点 $x_0$ 的右侧邻近单调减少，则点 $x_0$ 是 $f$ 的极大值点．对于极小值点有类似的结论．由此可见利用单调性来判定极值点存在是很有用的手段．但这只是充分而非必要的条件．一个函数在其极值点邻近可以表现出更为复杂的性态．图3．19就是一个例子，其中用粗黑线表示的函数图像在两条虚线限定的区域内作无限次振动，在极小值点 $x_0$ 的每一侧的任意邻近，函数都不是单调的．

注 图 3.19 中的图像是函数

$$
f(x)=\left\{\begin{aligned}
x^2\left(2+\sin \frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{aligned}\right.
$$

在 $x=0$ 邻近的情况．为了清楚起见在横坐标和纵坐标方向乘以不同的比例因子并作了平移．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：函数周期性、奇偶性、有界性

下一篇：函数极限

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)