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函数周期性、奇偶性、有界性

## 3.3.1 函数的周期性
设函数 $f$ 的定义域为 $X$ ．若存在正数 $T$ ，使得对于所有自变量 $x \in X$ ，只要有 $x+T \in X$ ，就成立

$$
f(x+T)=f(x)
$$

则称 $f$ 具有周期性，或称 $f$ 为**周期函数**，又称 $T$ 为 $f$ 的一个周期．若在周期函数的周期中存在最小数，则称之为最小周期．

周期函数的图像在沿 $x$ 轴方向平移距离 $T$ 时保持不变．例如，三角函数 $\sin x, \cos x$ 的图像就是如此，它们都是周期函数，最小周期为 $2 \pi$（见图 3.14 和 3．15）．

> 注 一个周期函数可以没有最小周期．这方面的平凡例子就是常值函数 $f(x) \equiv C$ ．具有这种特性的非平凡例子是 Dirichlet 函数

## 3.3.2 函数的奇性与偶性
设函数 $f$ 的定义域 $X$ 关于原点对称，即具有性质：对每个 $x \in R , x$ 与 $-x$ 同时属于或不属于 $X$ ，这时可以定义函数的奇偶性如下。

若对于所有 $x \in X$ 成立
$$
f(-x)=-f(x),
$$

则称 $f$ 为**奇函数**；若对于所有 $x \in X$ 成立

$$
f(-x)=f(x),
$$

则称 $f$ 为**偶函数**．

> 奇函数的图像关于坐标原点为中心对称，偶函数的图像关于 $y$ 轴对称．

例如，$x, x^3, \sin x, \tan x$ 是奇函数；$x^2, \cos x, \sqrt[3]{x^2}$ 是偶函数．

## 3.3.3 函数的有界性
设函数 $f$ 的定义域为 $X$ ，如果存在常数 $M$ ，使得对于每个 $x \in X$ ，都成立

$$
f(x) \leqslant M,
$$

则称 $f$ 为**上有界函数**，称 $M$ 为 $f$ 的一个上界．类似地定义下有界函数和下界．

若函数 $f$ 同时有上界和下界，则称 $f$ 为**有界函数**．

设 $f$ 为有界函数，它的上界与下界分别为 $M$ 和 $m$ ，则 $y=f(x)$ 的图像处于两条直线 $y=M, y=m$ 所围成的带状区域中。

例如， $\sin x$ 是在 $R$ 上的有界函数。每个不小于 1 的正数都是它的上界，每个不大于 -1 的负数都是它的下界。又如， $\tan x$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上没有上界，但有下界．

若 $f$ 不是有界函数，则称为无界函数．对于无界函数，若将它限制在定义域的某些子集上时可能是有界函数。

注 1 回顾 §1．3．3 的定义1．4，其中给出了实数集有界的定义．上面给出的函数有界的定义其实就是说函数的值域有界。这里可以再回顾定义 2.4 ，其中给出了数列有界的定义，它就是说将数列 $\left\{x_n\right\}$ 看成为映射时的值域有界，因此与本小节的函数有界性定义完全一致。

注 2 函数的有界性是一个比较简单的性质，但必须注意，除了说一个函数在其定义域上有界或无界之外，我们还经常说一个函数在它的定义域内的某个数集 （通常为区间）上有界或无界．此时必须将有关的区间说清楚．例如，函数 $y=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 或 $(0,+\infty)$ 上无界，但对于每一个给定的正数 $\delta>0$ ，这个函数在区间 $[\delta,+\infty)$ 上却是有界的．

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