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数学分析
第三篇 函数论
图形合成法
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2025-03-14 18:02
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图形合成法
## 3.2.6 图形合成法 作出给定函数的图像对许多问题的思考和解决有帮助．在本节先介绍一种快捷的作图方法，然后在 $\S 8.5$ 进一步介绍用微分学知识的作图方法． 最为简单的作图方法就是所谓的等距描点法．这就是计算若干个等距分点 $x_i$处的函数值 $f\left(x_i\right), i=1, \cdots, n$ ，然后将点 $\left(x_i, f\left(x_i\right)\right)$ 光滑连接而成曲线．容易理解这种方法存在很大的盲目性．若取点数太少则往往会遗漏掉图像的重要特征，取点数太多则计算量过大，而且也不一定能够得到好的结果． 图形合成法的思想是通过对简单图像作＂四则运算＂而得到较为复杂的图像．当然所得的是草图，但在很多情况下往往已经够用了．即使将来在学了微分学后会有更为精确的作图方法，但图形合成法仍有其价值． 下面举几个例子。 例题 3.10 用图形合成法作出函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 在 $x>0$ 时的图像． 解 如图 3.16 所示，将 $x>0$ 范围中的 $y=1 / x$ 的图像与 $y=x$ 的图像＂相加＂即可．为清楚起见，在中间的图中除了 $y=x$ 的图像（用粗线）之外，同时还作出了 $y=1 / x$ 的图像（用细线）．在右边的图中则用细线保留了 $y=x$ 和 $y=1 / x$ 的图像，而用粗线表示所求的函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图像．  例题 3.11 用图形合成法作出函数 $y=(x-1) \sqrt[3]{x^2}$ 的图像． 解 如图 3.17 所示，将 $y=x-1$ 的图像与 $y=\sqrt[3]{x^2}$ 的图像＂相乘＂即可．为清楚起见，在中间的图中除了 $y=\sqrt[3]{x^2}$ 的图像（用粗线）之外，同时还作出了 $y=x-1$ 的图像（用细线）．在右边的图中则用细线保留了 $y=x-1$ 和 $y=\sqrt[3]{x^2}$ 的图像，而用粗线表示所求的函数 $y=(x-1) \sqrt[3]{x^2}$ 的图像． 
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