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函数极限

## 4.1.1 数列极限的推广
我们知道数列也是一元实函数，即从正整数集 $N$ 映入实数集 $R$ 的映射．习惯上一般不将数列称为函数，而从第三章开始，所说的函数一般都是指以区间或区间的并为定义域的一元实函数．因此本章的函数极限是一个需要定义的新概念．

从函数角度来看，数列极限就是当 $n \rightarrow \infty$ 时 $x_n$ 所趋于的某个确定值．这种极限概念很自然可以推广为函数极限。下面模仿第二章中关于数列极限的示意图 2.2 ，作出类似的图 4.1 如下．这样就可以定义 $x \rightarrow+\infty$ 时的函数极限．

![图片](/uploads/2025-01/3cc578.jpg)
 
 具体来说，从数列极限定义 2.1 就可以依样画葫芦地写出 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 的定义为

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists M, \forall x \geqslant M:|f(x)-A|<\varepsilon
$$

当然需要一个前提条件，即函数 $f$ 在某个区间 $[a,+\infty)$ 上有定义．
我们将上述函数极限称为当 $x \rightarrow+\infty$ 时的**函数极限**．然而还存在其他类型的函数极限．例如，从函数 $y=\frac{1}{x}$ 的几何图像就可以猜测有

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0 \text { 和 } \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x}=0 \text {. }
$$

注 我们约定对这种情况也可以写为 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$ ．有的书中将这作为一种函数极限类型来考虑，本书则只是将不带符号的 $\infty$ 作为一种方便的记号使用，对于 $x \rightarrow \infty$ 就理解为 $|x| \rightarrow+\infty$ 。

回忆反三角函数中的 $y=\arctan x$ ，从它的定义，或者直接看它的几何图像，即图3．4，就有

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan x=-\frac{\pi}{2} .
$$

这样就已经出现了两种极限，即自变量趋于 $+\infty$ 和 $-\infty$ ．
现在再来看函数 $y=f(x)$ 的自变量趋于有限值时，对应的函数值是否会有趋于某个常数值的可能性？

**例题 4.1** 单位跳跃函数 $H(x)$ ，如右边的图4．2 所示：

$$
H(x)= \begin{cases}1, & x \geqslant 0 \\ 0, & x<0\end{cases}
$$

当 $x$ 从原点的左侧趋于它但始终不到达原点时，函数 $H(x)$ 的值恒等于 0 ，但却有

![图片](/uploads/2025-01/1df593.jpg)

$H(0)=1$ ．在原点的右侧则 $H(x)$ 恒等于 1 ．
 
 为了将这两种不同情况区分开来，在函数极限理论中规定，当 $x$ 趋于点 0 的一侧时，不允许 $x$ 取到 0 ．若在这样的过程中 $H(x)$ 的值有趋于某个常数值的趋势，就说存在**单侧极限**．这样就与 $H(0)$ 是什么不发生关系．对于 $H(x)$ 有以下结论：

$$
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} H(x)=0 \neq H(0), \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} H(x)=1=H(0) .
$$

其中用 $x \rightarrow 0^{-}$表示 $x$ 趋于 0 的左侧，用 $x \rightarrow 0^{+}$表示 $x$ 趋于 0 的右侧，又将以上两个单侧极限分别记为 $H\left(0^{-}\right)$和 $H\left(0^{+}\right)$．由于 $H\left(0^{+}\right)=H(0)$ ，而与 $H\left(0^{-}\right) \neq H(0)$不同，因此又称 $H(x)$ 在 $x=0$ 处右侧连续，但左侧不连续．这样就可以对 $H(x)$ 在原点的情况作出完全的刻画。

再看一个例子．
**例题 4.2** 设有函数 $f(x)= \begin{cases}0, & x \neq 0, \\ B, & x=0,\end{cases}$则可以看出，当 $|x|$ 趋于 0 但不等于 0 时函数值 $f(x)$ 始终是 0 ，因此就有

$$
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0
$$

这种趋势与 $B$ 是否为 0 不相干（参见图 4．3）．
进一步，若 $B=0$ ，则就有
 ![图片](/uploads/2025-01/4c0555.jpg)
 
 $$
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(0)
$$

这时我们称函数 $f(x)$ 于点 0 处连续．显然这完全符合我们的直观．
回顾第三章例题 3.7 的符号函数，即

$$
\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{aligned}
1, & x>0 \\
0, & x=0 \\
-1, & x<0
\end{aligned}\right.
$$

参看 $y=\operatorname{sgn} x$ 的图像，即图 3．8，就可以得到

$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{sgn} x=1, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \operatorname{sgn} x=-1 .
$$

可见 $\operatorname{sgn} x$ 于 $x=0$ 处存在两个单侧极限，但两侧都不连续．
再回顾第三章的例题 3.5 及其图 3．6，即 $y=|x|$ ，则可见它的图像处处连续，没有不连续点．

思考题：对照例题 3.6 及其图 3．7，即取最大整数函数 $y=[x]$ ，回答：该函数在每一点的两个单侧极限分别是什么？

今后将不连续点也称为**间断点**。

最后，回忆在数列极限中称 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n= \pm \infty$ 为非正常极限，认为它是有意义的 （参看定义 2．6），那么在函数极限中也需要考虑这类非正常极限，例如有

$$
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{-}}{-}} \tan x=+\infty, \quad \lim _{x \rightarrow-\frac{\pi^{+}}{2}} \tan x=-\infty
$$

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