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函数极限与连续性的定义

## 4.1.2  函数极限与连续性的定义
从上面可见函数极限可以有许多种类型，但基本思想是相同的。此外，还接触到了连续与间断（即不连续）的概念，它们与极限概念有直接关系。

所有这些都需要有严格的定义，这样才能为进一步的理论展开做好准备。
在给出定义之前，还要做一个小小的准备工作。这就是这里不仅需要以前已经多次使用的邻域概念（参见 §1．3．1区间与邻域），而且还需要一种新的邻域，即去心邻域（或空心邻域）．这就是数集

$$
O_\delta(a)-\{a\}=\{x|0<|x-a|<\delta\}
$$

称为以 $a$ 为中心，以 $\delta$ 为半径的去心 $\delta$ 邻域．
注意以下几种等价的记号，今后都会使用：

$$
\begin{aligned}
x \in O_\delta(a)-\{a\} & \Longleftrightarrow 0<|x-a|<\delta \\
& \Longleftrightarrow x \in(a-\delta, a) \cup(a, a+\delta)
\end{aligned}
$$

现在开始介绍函数极限的严格定义。

## 极限
在多种类型的函数极限中，我们从所谓基本类型的函数极限的定义开始，并对它作较详细的分析，然后用举一反＂$N$＂的办法推及其他．

**定义 4.1 （基本类型的函数极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义）**
设 $a, A$ 为有限数，函数 $f$ 在点 $a$的某一个去心邻域内有定义．若对每一个 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得当 $0<|x-a|<\delta$时，成立 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则称 $f$ 在 $x$ 趋于 $a$ 时有极限 $A$ ，也称 $f$ 在点 $a$ 有极限 $A$ ，或 $f$ 在 $x$ 趋于 $a$ 时收敛于 $A$ ，并记为

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A
$$

今后也将 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 记为

$$
f(x) \rightarrow A(x \rightarrow a) .
$$

但必须注意，这与过去将 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 简记为 $x_n \rightarrow a$ 不同，在函数极限的上述记法中，后面的＂$(x \rightarrow a)$ ＂不能随意省略，否则就完全不知道是在说什么了．

用逻辑记号可将定义 4.1 改写如下：

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in O_\delta(a)-\{a\}:|f(x)-A|<\varepsilon .
$$

**注** 如 §4．1．1 中所说，为了刻画函数 $f$ 在某一个点 $a$ 附近是否有某种趋势，定义4．1中所用的邻域是去心邻域。所关心的是 $x \rightarrow a$ 但 $x \neq a$ 的过程中 $f(x)$ 是否有确定的趋势，因此与 $f$ 在 $x=a$ 处是否有定义，以及在有定义时 $f(a)$ 等于什么没有关系．今后将会见到大量的函数极限例子表明这样的定义是合理的．图 4.4 的左分图就是函数极限定义的示意图．
 ![图片](/uploads/2025-01/c53e9d.jpg)
 
 然而，除了不考虑 $f$ 在点 $a$ 如何的函数极限概念之外，如果 $f(a)$ 确实有定义，则一个非常重要的问题就是 $f$ 在点 $a$ 的极限是否等于 $f(a)$ ．这就导致函数的连续性概念．同时请参看图 4.4 的右分图并与左分图作比较．

## 函数连续型
定义 4.2 （函数 $f$ 在某点连续的定义）设函数 $f$ 在点 $a$ 的某一个邻域中有定义，且有

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a),
$$

则称 $f$ 在点 $a$ 处连续．
**注 1** 用通俗的语言来说，函数 $f$ 于点 $a$ 连续就是当 $x$ 趋于 $a$ 时 $f(x)$ 趋于 $f(a)$ ，或者说当 $x$ 趋于 $a$ 时 $f$ 的极限为 $f(a)$ ．

用逻辑记号则可写为：

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a) \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in O_\delta(a):|f(x)-f(a)|<\varepsilon
$$

**注2** 连续性是在数学分析中最直观的概念之一。对于在点 $a$ 连续的函数 $f$ ，为了求极限 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ ，只要将 $x=a$＂代入＂$f(x)$ 中即可．这又可以写成

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f\left(\lim _{x \rightarrow a} x\right)
$$

即极限运算与函数 $f$（所代表的映射规则）可交换。例如在今后证明了所有初等函数在其定义域上处处连续之后，为了计算初等函数在其连续点处的极限，只要将该点的值代入即可。例如

$$
\begin{gathered}
\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^3+5 x+3\right)=2^3+5 \cdot 2+3=21 \\
\lim _{x \rightarrow 0} e^x=e^0=1
\end{gathered}
$$

下面介绍两个有关函数极限的基本定理。它们是第二章中数列极限的惟一性定理和有界性定理的平行推广（参见定理 2.4 和 2．5）．

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