最后更新: 2025-03-14 21:17 查看: 16 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

连续函数的介值定理

## 连续函数的介值定理
定理 5.6 （连续函数的介值定理）区间上的连续函数的值域一定是区间．
证 设 $f \in C(I)$ ，其中 $I$ 是区间（可以是任何一种区间）。为了证明值域 $R (f)$是区间，从第一章关于连通性的定义 1.7 和例题 1.2 可知只要证明它具有连通性就够了．这就是说，只要证明 $\forall a, b \in R (I)$ ，且 $a \neq b, \forall c \in(a, b)$（其中允许 $a>b)$ ， $\exists x \in I$ ，使得 $f(x)=c$ ．

从 $a, b$ 为值域 $R (f)$ 中的两个不同点知道，存在 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in I$ ，使得 $f\left(x^{\prime}\right)=$ $a, f\left(x^{\prime \prime}\right)=b$ ，且 $x^{\prime} \neq x^{\prime \prime}$ ．

不妨假定 $x^{\prime}<x^{\prime \prime}$ ．对于给定的 $c \in(a, b)$ ，定义辅助函数

$$
F(x)=f(x)-c .
$$

由于 $F$ 也是 $I$ 上的连续函数，且 $F\left(x^{\prime}\right) F\left(x^{\prime \prime}\right)=(a-c)(b-c)<0$ ，因此根据零点存在定理，在 $\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)$ 中方程 $F(x)=0$ 有根．这就证明了 $c \in R (f)$ ．

注1 由上述证明可知，介值定理的本质就是说，连续函数的定义域连通时，其值域也是连通的．但从应用来看，介值定理的下列形式可能更为方便：

介值定理的等价形式 设函数 $f$ 于区间 $I$ 上连续，且对于 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in I, x^{\prime}<x^{\prime \prime}$ ，有 $f\left(x^{\prime}\right)=a, f\left(x^{\prime \prime}\right)=b$ ，其中 $a \neq b$ ，则对于介于 $a, b$ 之间的每一个 $c$ ，存在 $\xi \in\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)$ ，使得成立 $f(\xi)=c$ ．

注2 在叙述介值定理时出现的两个区间可以是任何一种有界区间或者无界区间，包括只含一个点的退化区间．一般而言，值域为一点的情况就是常值函数的值域。

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