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值域定理

## 5.2.2 值域定理
上面的介值定理告诉我们，区间上连续函数的值域一定是区间．其中的区间可以是任何一种类型，包括只含一个点的退化区间在内。下面的值域定理则表明，连续函数的定义域为有界闭区间时其值域也一定是有界闭区间。

定理 5.7 （值域定理）有界闭区间上的连续函数的值域一定是有界闭区间．换言之，设 $f \in C[a, b]$ ，则

$$
f([a, b])= R (f)=[m, M]
$$

其中 $m, M$ 分别表示函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上的最小值和最大值．
虽然可以直接证明值域定理，但从应用的角度来看，我们还是将值域定理分解为几个部分，也就是几个定理，并分别进行证明．同时这样也可以学到更多的方法．它们的关系如下：

$$
\text { 值域定理 } \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
\text { 有界性定理 } \\
\text { 最值定理 } \\
\text { 介值定理 } \Longleftrightarrow \text { 零点存在定理 }
\end{array}\right.
$$

定理 5.8 （连**续函数的有界性定理**） 设函数 $f \in C[a, b]$ ，则 $f$ 于 $[a, b]$ 上有界．
证 1 （用凝聚定理）用反证法．设 $f \in C[a, b]$ ，但 $f$ 无界，则 $\forall G, \exists x \in[a, b]$ ： $|f(x)| \geqslant G$ 。取 $G=n$ ，并记点 $x_n$ 满足 $\left|f\left(x_n\right)\right| \geqslant n$ 。对每个 $n$ 都如此做，就得到一个数列 $\left\{x_n\right\} \subset[a, b]$ ．

由于 $\left\{x_n\right\}$ 是有界数列，根据凝聚定理（即定理 2.28 ），存在收玫子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ ．将它的极限记为 $\xi$ ，即有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}=\xi
$$

由于 $\forall k, a \leqslant x_{n_k} \leqslant b$ ，因此 $\xi \in[a, b]$ ．
利用 $f$ 在点 $\xi$ 连续，用定理 4.5 （即连续性第二定义），就有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_k}\right)=f(\xi)
$$

但另一方面，从数列 $\left\{x_n\right\}$ 的构造过程，我们知道对于每一个 $k$ ，有 $\left|f\left(x_{n_k}\right)\right| \geqslant n_k$ ．因此只能有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}\left|f\left(x_{n_k}\right)\right|=+\infty
$$

由此引出矛盾。
再介绍一个证明。
证2（用闭区间套定理）用反证法．设 $f \in C[a, b]$ ，但 $f$ 无界．
记 $I_1=\left[a_1, b_1\right]$ ，其中 $a_1=a, b_1=b$ 。
取 $I_1$ 的中点，从 $I_1$ 得到两个闭子区间，它们的长度为 $\left|I_1\right|$ 的一半．由于 $f$ 在 $I_1$上无界，因此在两个闭子区间中至少有一个，使得 $f$ 在其上仍然无界。就取它为 $I_2$ 。如此归纳地构造出一个闭区间套 $\left\{I_n\right\}$ ，其中 $I_n=\left[a_n, b_n\right]$ ，它的长度 $\left|I_n\right|=$ $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^{n-1}} \rightarrow 0$ ，且使得 $f$ 在每一个 $I_n$ 上无界。

根据闭区间套定理，存在惟一的 $\xi \in I_n \forall n$ ，且

$$
a_n \uparrow \xi, b_n \downarrow \xi
$$

由于 $f$ 在点 $\xi$ 处连续，因此从局部有界性定理知道，$\exists \delta>0, \exists M>0$ ， $\forall x \in O_\delta(\xi) \cap[a, b]^{(1)}:|f(x)| \leqslant M$.

由于 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 同时收玫于 $\xi$ ，因此存在 $N, \forall n \geqslant N$ ，成立

$$
\left|a_n-\xi\right|<\delta,\left|b_n-\xi\right|<\delta .
$$

于是就有

$$
\left[a_n, b_n\right] \subset O_\delta(\xi) \cap[a, b],
$$

这表明当 $n \geqslant N$ 时，在每个 $\left[a_n, b_n\right]$ 上成立 $|f(x)| \leqslant M$ ．这与闭区间套的构造过程中保证 $f$ 在每一个 $\left[a_n, b_n\right]$ 上无界相矛盾。

证3（用有限覆盖定理）对于 $[a, b]$ 中的点 $x$ ，利用 $f$ 在该点连续，用连续函数的局部有界性定理，因此存在一个邻域 $O_\delta(x)$ ，使得 $f$ 在 $O_\delta(x)$ 上有界，其中 $\delta$ 与点 $x$ 有关．（若 $x$ 为区间端点则 $f$ 在 $O_\delta(x) \cap[a, b]$ 上有界．）

对每个 $x \in[a, b]$ 都这样做，得到 $[a, b]$ 的一个开覆盖．对它用有限覆盖定理就得到有限个邻域，它们覆盖了 $[a, b]$ ．由于 $f$ 在每个邻域上有界，而这时只要用有限个邻域就覆盖了 $[a, b]$ ，因此就推出 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界．

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