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数学分析
第三篇 函数论
值域定理
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2025-03-14 21:18
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值域定理
## 5.2.2 值域定理 上面的介值定理告诉我们,区间上连续函数的值域一定是区间.其中的区间可以是任何一种类型,包括只含一个点的退化区间在内。下面的值域定理则表明,连续函数的定义域为有界闭区间时其值域也一定是有界闭区间。 定理 5.7 (值域定理)有界闭区间上的连续函数的值域一定是有界闭区间.换言之,设 $f \in C[a, b]$ ,则 $$ f([a, b])= R (f)=[m, M] $$ 其中 $m, M$ 分别表示函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上的最小值和最大值. 虽然可以直接证明值域定理,但从应用的角度来看,我们还是将值域定理分解为几个部分,也就是几个定理,并分别进行证明.同时这样也可以学到更多的方法.它们的关系如下: $$ \text { 值域定理 } \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \text { 有界性定理 } \\ \text { 最值定理 } \\ \text { 介值定理 } \Longleftrightarrow \text { 零点存在定理 } \end{array}\right. $$ 定理 5.8 (连**续函数的有界性定理**) 设函数 $f \in C[a, b]$ ,则 $f$ 于 $[a, b]$ 上有界. 证 1 (用凝聚定理)用反证法.设 $f \in C[a, b]$ ,但 $f$ 无界,则 $\forall G, \exists x \in[a, b]$ : $|f(x)| \geqslant G$ 。取 $G=n$ ,并记点 $x_n$ 满足 $\left|f\left(x_n\right)\right| \geqslant n$ 。对每个 $n$ 都如此做,就得到一个数列 $\left\{x_n\right\} \subse
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