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连续函数的最值定理

## 连续函数的最值定理
定理 5.9 （连续函数的最值定理）有界闭区间上的连续函数一定能够取到值域的上确界和下确界（即有最大值和最小值）．

我们同样给出几个证明。
证 1 （从有界性定理出发用确界存在定理）设 $f \in C[a, b]$ ．根据有界性定理， $f$ 有上界，即值域 $f([a, b])= R (f)$ 有上界。根据确界存在定理，将 $R (f)$ 的上确界记为 $M$ 。

用反证法．设 $f$ 在 $[a, b]$ 的任何点上都取不到 $M$ ，则可以作辅助函数

$$
g(x)=\frac{1}{M-f(x)},
$$

且由于其分母在 $[a, b]$ 上不会取到 0 ，因此函数 $g \in C[a, b]$ ．再次根据有界性定理知道函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上有上界．将这个上界记为 $\mu$ ，则就有

$$
g(x)=\frac{1}{M-f(x)} \leqslant \mu \forall x \in[a, b] .
$$

由于分母处处大于 0 ，因此从上述不等式得到

$$
f(x) \leqslant M-\frac{1}{\mu} \forall x \in[a, b] .
$$

这表明比上确界 $M$ 小的一个数 $M-\frac{1}{\mu}$ 也是值域的上界，从而与上确界是最小上界相矛盾。这样就证明了 $f$ 一定能够取到值域的上确界 $M$ ，即 $f$ 有最大值．

用类似的方法或讨论 $-f$ 可证 $f$ 也能取到值域的下确界，即 $f$ 有最小值．
再给一个证明．
证 2 （用凝聚定理）只写出关于最大值的证明．
设 $f \in C[a, b]$ ，且 $M=\sup \{f([a, b])\}(=\sup \{ R (f)\})$ ．
根据上确界的第二定义，$\forall n, \exists x_n \in[a, b]$ ：

$$
M-\frac{1}{n}<f\left(x_n\right) .
$$

对每个 $n$ 都这样做，就得到区间 $[a, b]$ 中的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，它的每一项满足不等式（5．4）．
对这个数列用凝聚定理，得到收玫子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ ，记其极限为 $\xi$ ．由于 $[a, b]$ 为有界闭区间，因此 $\xi \in[a, b]$ ．

从（5．4）得到对每个 $k$ 成立不等式

$$
M-\frac{1}{n_k}<f\left(x_{n_k}\right) \leqslant M
$$

令 $k \rightarrow \infty$ ，就得到

$$
(M \leqslant) f(\xi)=\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_k}\right) \leqslant M,
$$

因此只能是 $f(\xi)=M$ ．这表明 $M$ 是值域的最大值．

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