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一致连续性

## 5.2.3 一致连续性
这是比连续性更为精细的数学概念，而且也不如连续性那样非常直观，因此需要做一些解释．

这里先回顾函数 $f$ 在点 $x_0$ 连续的定义（请参看第四章的图4．4的右分图）：

$$
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall\left|x-x_0\right|<\delta:\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon .
$$

由此可以看出，当 $f$ 在某个区间上处处连续时，对于其中每一个点 $x_0$ 的 $\delta$ 不仅与 $\varepsilon>0$ 有关，而且与点 $x_0$ 有关．

对此不难从几何上作出说明．如图 5.4 所示，其中粗黑线代表某个函数 $y=f(x)$ 的图像．为简明起见，设 $f$ 严格单调减少．先观察曲线 $y=f(x)$ 上的点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ ．根据连续性定义，对于给定的 $\varepsilon>0$ ，不等式 $\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ 就是

$$
f\left(x_0\right)-\varepsilon<f(x)<f\left(x_0\right)+\varepsilon
$$

这就是说函数值 $f(x)$ 应当落在两条水平直线

$$
y=f\left(x_0\right)+\varepsilon, \quad y=f\left(x_0\right)-\varepsilon
$$

之间．为了达到这个目的，需要对于自变量 $x$ 的取值范围加以限制．在图 5.4 中利
 ![图片](/uploads/2025-01/ecc298.jpg)
 
 用函数 $f$ 严格单调减少，在 $x$ 轴上标出了 $y=f\left(x_0\right) \pm \varepsilon$ 的两个原象为端点的开区间，且有 $f^{-1}\left(f\left(x_0\right)+\varepsilon\right)<f^{-1}\left(f\left(x_0\right)-\varepsilon\right)$ ．于是只要取 $\delta>0$ 充分小使得邻域 $O_\delta\left(x_0\right)$ 落在上述开区间内即可．这里 $\delta>0$ 不能太大是明显的．

现在用相同的 $\varepsilon>0$ ，但考虑图5．4 上的另一个点 $\left(x_0^{\prime}, f\left(x_0^{\prime}\right)\right)$ ，则可以发现相应的 $y=f\left(x_0^{\prime}\right) \pm \varepsilon$ 的两个原象在 $x$ 轴上所形成的开区间比前面的开区间大得多．这里 $\delta>0$ 的选取范围显然要大得多．

直观地来说，对于比较陡的曲线部分，则 $\delta$ 就需要取得小一些，而对于比较平坦的曲线部分，$\delta$ 就可以取得比较大．只有常值函数的图像是一条水平直线，这时对

于每个 $\varepsilon>0$ ，可以随意取 $\delta>0$ ．
我们将上述依赖关系写为

$$
\delta=\delta\left(\varepsilon, x_0\right) .
$$

一致连续性概念来自于下列问题：对于在某个区间 $I$（或其他定义域）上的连续函数 $f$ ，是否可能对于每个 $\varepsilon>0$ ，存在与点 $x_0$ 无关而只依赖于 $\varepsilon$ 的 $\delta=\delta(\varepsilon)$ ，使得对于任何 $x, x_0 \in I$ ，只要 $\left|x-x_0\right|<\delta$ ，就成立 $\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ ？如果可能，就称 $f$ 于 $I$ 上一致连续．由此可见，一致连续性是比连续性更为精细的概念，要求更高．

下面给出正式的定义。
**定义5．6（一致连续性的定义）**   设 $f$ 在区间 $I$ 上有定义，若对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>$ $0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in I\left(\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta\right):\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ，则称 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续 ${ }^{(1)}$ 。

为了理解一致连续性的真正含意，先看一个反面的例子是有益的．
例题 $5 . 1 3$ 证明：函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上不一致连续．
证 可以结合图 5．5 中 $f(x)=\frac{1}{x}$ 的图像来理解下面的证明．

用反证法．设 $f(x)=\frac{1}{x}$ 于 $(0,1)$ 上一致连续，则对于 $\varepsilon_0=1$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(0,1)$ 且 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，就成立

$$
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|=\left|\frac{1}{x^{\prime}}-\frac{1}{x^{\prime \prime}}\right|=\frac{\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|}{x^{\prime} x^{\prime \prime}}<\varepsilon_0=1 \text {. }
$$

现对于正整数 $n \geqslant 2$ 令（在图 5.5 中取 $n=2$ ）

$$
x^{\prime}=\frac{1}{n}, \quad x^{\prime \prime}=\frac{1}{2 n} .
$$

这时有

$$
\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|=\frac{1}{2 n}
$$

另一方面对于 $f(x)=\frac{1}{x}$ 则有

$$
\left|f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1^e}{2 n}\right)\right|=|n-2 n|=n \geqslant 2>1,
$$

可见只要取 $n$ 足够大，即使得

$$
n>\frac{1}{2 \delta}
$$

就可以使得 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|=\frac{1}{2 n}<\delta$ ，但 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|=n>$ $\varepsilon_0=1$ ，从而引出矛盾．
 ![图片](/uploads/2025-01/7e7e3e.jpg)
 
 
 > 注 这个例子明白告诉我们，一致连续是一种非局部性质，它不能由函数在所给的定义域中处处连续推出。因此今后在谈论一个函数一致连续或不一致连续时，必须首先说明目前是在哪一个区间上讨论问题。

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