最后更新: 2025-03-14 21:22 查看: 15 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

一致连续性的几个基本性质

## 一致连续性的几个基本性质
定理 5.10 （一致连续性的几个基本性质）（1）若 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，则 $f$一定在区间 $I$ 上处处连续，即 $f \in C(I)$ ．
（2）若 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，且区间 $J \subset I$ ，则 $f$ 也在区间 $J$ 上一致连续．
（3）若 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，且区间 $I$ 有界，则 $f$ 在区间 $I$ 上有界．
证（1）从一致连续性的定义知道，对于 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime}\left(\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\right.$ $\delta):\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．将 $x^{\prime}$ 取为区间 $I$ 中的一个固定点 $x_0$ ，又改记 $x^{\prime \prime}$ 为 $x$ ，则就可以看出 $f$ 在点 $x_0$ 连续．由于 $x_0$ 可以是区间 $I$ 的每一个点，包括可能的端点在内，因此 $f \in C(I)$ ．
（2）从定义即可推出．
（3）先对于 $\varepsilon=1$ ，由定义知 $\exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime}\left(\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta\right):\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<1$ ．由于区间 $I$ 有界，在其中插入有限个点，并与两个端点一起记为 $a<x_1<$ $x_2<\cdots<x_n<b$ ，使得其中相邻两点的距离均小于 $\delta$ ．于是区间 $I$ 中任何一点 $x$至少与某个 $x_i$ 的距离小于 $\delta$ ，从而有

由此可见只要取

$$
M=1+\max \left\{\left|f\left(x_1\right)\right|,\left|f\left(x_2\right)\right|, \cdots,\left|f\left(x_n\right)\right|\right\}
$$

就有 $|f(x)| \leqslant M \forall x \in[a, b]$ ，因此 $f$ 在 $I$ 上有界．
注 在例题 5.13 中的函数 $\frac{1}{x}$ 在开区间 $(0,1)$ 上无界，因此从刚才证明的性质 （3）的逆否命题就知道该函数在 $(0,1)$ 上不一致连续．

下面讲一致连续性的几个重要的结果．其中最主要的是 Cantor 定理．
下面讲一致连续性的几个重要的结果．其中最主要的是 Cantor 定理．

> 定理 5.11 （Cantor 定理）有界闭区间上的连续函数必定一致连续．

证 1 （用凝聚定理）用反证法．设 $f \in C[a, b]$ ，但 $f$ 在 $[a, b]$ 上不一致连续，则对于一致连续性的 $\varepsilon-\delta$ 定义用对偶法则就有

$$
\exists \varepsilon_0>0, \forall \delta>0, \exists x^{\prime}, x^{\prime \prime}\left(\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta\right):\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \geqslant \varepsilon_0
$$

取 $\delta_n=\frac{1}{n}$ ，就有 $x_n^{\prime}, x_n^{\prime \prime}$ ，满足

$$
\left|x_n^{\prime}-x_n^{\prime \prime}\right|<\frac{1}{n}
$$

同时使得

$$
\left|f\left(x_n^{\prime}\right)-f\left(x_n^{\prime \prime}\right)\right| \geqslant \varepsilon_0
$$

对每个正整数 $n$ 都这样做，就得到了两个数列 $\left\{x_n^{\prime}\right\}$ 和 $\left\{x_n^{\prime \prime}\right\}$ ．它们都在有界闭区间 $[a, b]$ 内，因此都是有界数列．

对于第一个数列 $\left\{x_n^{\prime}\right\}$ 用凝聚定理，就得到一个收玫子列 $\left\{x_{n_k}^{\prime}\right\}$ ，记其极限为

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}^{\prime}=\xi
$$

由于在两个数列之间存在关系（5．6），因此从

$$
x_{n_k}^{\prime \prime}=x_{n_k}^{\prime}+\left(x_{n_k}^{\prime \prime}-x_{n_k}^{\prime}\right)
$$

和

$$
\left|x_{n_k}^{\prime \prime}-x_{n_k}^{\prime}\right|<\frac{1}{n_k} \leqslant \frac{1}{k}
$$

可见有

$$
\left|x_{n_k}^{\prime \prime}-\xi\right| \leqslant\left|x_{n_k}^{\prime \prime}-x_{n_K}^{\prime}\right|+\left|x_{n_k}^{\prime}-\xi\right|<\frac{1}{n_k}+\left|x_{n_k}^{\prime}-\xi\right|
$$

令 $k \rightarrow \infty$ 得到

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}^{\prime \prime}=\xi
$$

这样就得到了收玫于同一个点 $\xi$ 的两个数列．
由于 $\xi \in[a, b]$ ，而 $f$ 在点 $\xi$ 连续，因此就有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}\left|f\left(x_{n_k}^{\prime}\right)-f\left(x_{n_k}^{\prime \prime}\right)\right|=0
$$

但从（5．7）我们看到，对每一个 $k$ 成立

$$
\left|f\left(x_{n_k}^{\prime}\right)-f\left(x_{n_k}^{\prime \prime}\right)\right| \geqslant \varepsilon_0
$$

由此引出矛盾．

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