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有界开区间上的一致连续性定理

## 有界开区间上的一致连续性定理
定理 5.12 （有界开区间上的一致连续性定理）有界开区间上的连续函数为一致连续的充分必要条件是函数在两个端点处都存在单侧极限。

证 设 $f \in C(a, b)$ ，其中 $a, b$ 都是有限数，且 $a<b$ ．
充分性（ $\Longleftarrow)$ 。设存在 $f\left(a^{+}\right)$和 $f\left(b^{-}\right)$，则可以用 §5．1．4 中的连续延拓原理，定义辅助函数

$$
F(x)= \begin{cases}f\left(a^{+}\right), & x=a, \\ f(x), & a<x<b, \\ f\left(b^{-}\right), & x=b .\end{cases}
$$

这样就得到了在有界闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $F$ ．用 Cantor 定理，可见 $F$ 在 $[a, b]$ 上一致连续．这表明 $F$ 在 $(a, b)$ 上也一致连续（用定理 $5.10(2))$ ，而在 $(a, b)$ 上 $F=f$ ，因此 $f$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．

必要性 $(\Longrightarrow)$ ．只写出存在 $f\left(b^{-}\right)$的证明，关于存在 $f\left(a^{+}\right)$的证明是类似的．
根据 $f$ 在 $(a, b)$ 上一致连续的条件，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(a, b)\left(\mid x^{\prime}-\right.$ $\left.x^{\prime \prime} \mid<\delta\right)$ ，成立 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ 。于是当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(b-\delta, b)$ 时也成立 $\mid f\left(x^{\prime}\right)-$ $f\left(x^{\prime \prime}\right) \mid<\varepsilon$ 。根据函数极限的 Cauchy 收玫准则（即定理 4．12），就知道存在极限 $f\left(b^{-}\right)$．

下面的问题就是研究在无界区间上的连续函数何时为一致连续．这个问题没有简单的答案．下面看一些例子．

证 记 $f(+\infty)=A$ ．对给定的 $\varepsilon>0, \exists M>a, \forall x \geqslant M:|f(x)-A|<\frac{1}{2} \varepsilon$ ．于是 $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \geqslant M$ ，就有
 
$$
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant\left|f\left(x^{\prime}\right)-A\right|+\left|f\left(x^{\prime \prime}\right)-A\right|<\varepsilon
$$

（ $M$ 是根据 $\varepsilon>0$ 而取的，因此到这里不能认为 $f$ 在 $[M,+\infty)$ 上一致连续．）
在区间 $[a, M]$ 上用 Cantor 定理（即定理 5．11），对上述给定的 $\varepsilon>0, \exists \delta>0$ ， $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, M]$ ，只要满足 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，就成立 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．

留下的问题是 $x^{\prime}<M<x^{\prime \prime}$ 时如何才能使得 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|

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