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有界开区间上的一致连续性定理

## 有界开区间上的一致连续性定理
定理 5.12 （有界开区间上的一致连续性定理）有界开区间上的连续函数为一致连续的充分必要条件是函数在两个端点处都存在单侧极限。

证 设 $f \in C(a, b)$ ，其中 $a, b$ 都是有限数，且 $a<b$ ．
充分性（ $\Longleftarrow)$ 。设存在 $f\left(a^{+}\right)$和 $f\left(b^{-}\right)$，则可以用 §5．1．4 中的连续延拓原理，定义辅助函数

$$
F(x)= \begin{cases}f\left(a^{+}\right), & x=a, \\ f(x), & a<x<b, \\ f\left(b^{-}\right), & x=b .\end{cases}
$$

这样就得到了在有界闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $F$ ．用 Cantor 定理，可见 $F$ 在 $[a, b]$ 上一致连续．这表明 $F$ 在 $(a, b)$ 上也一致连续（用定理 $5.10(2))$ ，而在 $(a, b)$ 上 $F=f$ ，因此 $f$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．

必要性 $(\Longrightarrow)$ ．只写出存在 $f\left(b^{-}\right)$的证明，关于存在 $f\left(a^{+}\right)$的证明是类似的．
根据 $f$ 在 $(a, b)$ 上一致连续的条件，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(a, b)\left(\mid x^{\prime}-\right.$ $\left.x^{\prime \prime} \mid<\delta\right)$ ，成立 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ 。于是当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(b-\delta, b)$ 时也成立 $\mid f\left(x^{\prime}\right)-$ $f\left(x^{\prime \prime}\right) \mid<\varepsilon$ 。根据函数极限的 Cauchy 收玫准则（即定理 4．12），就知道存在极限 $f\left(b^{-}\right)$．

下面的问题就是研究在无界区间上的连续函数何时为一致连续．这个问题没有简单的答案．下面看一些例子．

证 记 $f(+\infty)=A$ ．对给定的 $\varepsilon>0, \exists M>a, \forall x \geqslant M:|f(x)-A|<\frac{1}{2} \varepsilon$ ．于是 $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \geqslant M$ ，就有
 
$$
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant\left|f\left(x^{\prime}\right)-A\right|+\left|f\left(x^{\prime \prime}\right)-A\right|<\varepsilon
$$

（ $M$ 是根据 $\varepsilon>0$ 而取的，因此到这里不能认为 $f$ 在 $[M,+\infty)$ 上一致连续．）
在区间 $[a, M]$ 上用 Cantor 定理（即定理 5．11），对上述给定的 $\varepsilon>0, \exists \delta>0$ ， $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, M]$ ，只要满足 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，就成立 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．

留下的问题是 $x^{\prime}<M<x^{\prime \prime}$ 时如何才能使得 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ？一种方法是利用 $f$ 在点 $M$ 的连续性。对上述给定的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta^{\prime}>0, \forall x \in O_{\delta^{\prime}}(M)$ ，成立 $|f(x)-f(M)|<\frac{1}{2} \varepsilon$ 。于是当 $x^{\prime} \leqslant M \leqslant x^{\prime \prime}$ ，且 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta^{\prime}$ 时，就有 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in O_{\delta^{\prime}}(M)$ ，从而满足 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant\left|f\left(x^{\prime}\right)-M\right|+\left|M-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．

综合以上就知道，对于给定的 $\varepsilon>0, \exists \delta^{\prime \prime}=\min \left\{\delta, \delta^{\prime}\right\}>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a,+\infty)$ ，成立 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．这样就证明了 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．

例题 5.15 设 $f$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续周期函数，证明：$f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。

证 设 $f$ 的周期为 $T>0$ ．对于函数 $f$ 在区间 $[0,2 T]$ 上用 Cantor 定理，知道 $f$ 在 $[0,2 T]$ 上一致连续．因此对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[0,2 T],\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$,成立 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．此外，还不妨假设上述 $\delta<T$ 。

现在对于每一对实数 $x_1, x_2$ ，设 $\left|x_1-x_2\right|<\delta$ ，我们要证明有 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\varepsilon$ 。不妨设 $x_1<x_2$ ．对于 $x_1$ ，必有某个整数 $n$ ，使得

$$
x_1 \in[n T,(n+1) T] .
$$

这时从 $x_1<x_2$ 和 $\left|x_1-x_2\right|<\delta<T$ 可知成立 $x_1<x_2<x_1+\delta<x_1+T$ ．于是有

$$
x_2 \in[n T,(n+2) T]
$$

这时 $x_1-n T, x_2-n T$ 都落在区间 $[0,2 T]$ 内，同时 $0<\left|\left(x_1-n T\right)-\left(x_2-n T\right)\right|=$ $\left|x_1-x_2\right|<\delta$ ，因此就有

$$
\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=\left|f\left(x_1-n T\right)-f\left(x_2-n T\right)\right|<\varepsilon
$$

这样就证明了 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续．

例题 5.16 证明：$f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
证（以下证明的不等式见 $\S 1.5$ 练习题 5（1））设 $0 \leqslant x^{\prime} \leqslant x^{\prime \prime}$ ，这时有

$$
x^{\prime \prime}=x^{\prime}+\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right) \leqslant\left(\sqrt{x^{\prime}}+\sqrt{x^{\prime \prime}-x^{\prime}}\right)^2
$$

两边开平方，就有

$$
\sqrt{x^{\prime \prime}} \leqslant \sqrt{x^{\prime}}+\sqrt{x^{\prime \prime}-x^{\prime}}
$$

也就是

$$
0 \leqslant \sqrt{x^{\prime \prime}}-\sqrt{x^{\prime}} \leqslant \sqrt{x^{\prime \prime}-x^{\prime}} .
$$

因此对 $\varepsilon>0$ ，只要取 $\delta=\varepsilon^2$ ，就可使得当 $0 \leqslant x^{\prime} \leqslant x^{\prime \prime}$ ，且 $\left|x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right|<\delta$ 时，就有

$$
\left|\sqrt{x^{\prime \prime}}-\sqrt{x^{\prime}}\right| \leqslant \sqrt{\left|x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right|}<\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon
$$

上面几个例题表明在无界区间上的某些函数可能是一致连续的．下面是无界区间上的不一致连续函数的几个例题。

例题 5.17 证明 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上不一致连续．
证 用反证法．若 $f(x)=x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，则对于 $\varepsilon=1, \exists \delta>0$ ， $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime}\left(\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta\right)$ ，有 $\left|x^{\prime 2}-x^{\prime 2}\right|<1$ ．

取 $x^{\prime}=x \geqslant 0, x^{\prime \prime}=x+\frac{\delta}{2}$ ，则有

$$
\left|x^{\prime 2}-x^{\prime \prime 2}\right|=\left|\left(x+\frac{\delta}{2}\right)^2-x^2\right|=\delta x+\frac{\delta^2}{4}<1
$$

但最后一个不等式当 $x$ 充分大时不可能成立．这表明我们的反证法假设是错误的。

例题 5.18 证明：函数 $f(x)=\sin x^2$ 在 $[0, \infty)$ 上不一致连续．
证 根据图 5.6 中的函数 $f(x)$ 的几何图像出发就可以设计出证明方法．取 $x_n^{\prime}=\sqrt{2 n \pi+\frac{\pi}{2}}$ ，则 $f\left(x_n^{\prime}\right)=1$ ．又取 $x_n^{\prime \prime}=\sqrt{2 n \pi}$ ，则 $f\left(x_n^{\prime \prime}\right)=0$ ．于是
 ![图片](/uploads/2025-01/582d7b.jpg)
 $\left|f\left(x_n^{\prime}\right)-f\left(x_n^{\prime \prime}\right)\right|=1$ ．以上结果对每个正整数 $n$ 成立．
然而另一方面有

$$
\begin{aligned}
\left|x_n^{\prime}-x_n^{\prime \prime}\right| & =\sqrt{2 n \pi+\pi / 2}-\sqrt{2 n \pi} \\
& =\frac{\pi / 2}{\sqrt{2 n \pi+\pi / 2}+\sqrt{2 n \pi}}
\end{aligned}
$$

可见 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_n^{\prime}-x_n^{\prime \prime}\right|=0$ ．
合并以上可见 $f(x)=\sin x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致连续．
小结 本节所介绍的主要定理都是有界闭区间上连续函数的基本性质，它们与区间的特性有密切联系，但其中还有不同之处，在此做一点说明。

零点存在定理和介值定理依赖于区间的连通性（见定义 1.7 和例题 1．2）。例如，对于定义在 $[0,1] \cup[2,3]$ 上的连续函数来说这两个定理的结论就不能成立．

有界性定理，最值定理和 Cantor 定理则依赖于区间的闭性和有界性．这里的闭性是指区间包含自己的端点在内．例如，对于定义在 $[0,1] \cup[2,3]$ 上的连续函数来说这三个定理的结论仍然成立．今后会知道，对于多元连续函数来说，只要定义域为有界闭集，这三个定理的结论也仍然成立．（当然这需要建立 $R ^n$ 中的有界闭集的定义和相应的函数连续性定义．）再进一步，还可以将有界闭集的概念推广到一般的拓扑空间中去．在这样的空间中不一定有距离概念，从而有界性都无从谈起．这时有界闭性概念为紧性概念所代替．定义紧性的方法是用有限覆盖定理中的结论，即若一个集合的开覆盖中必有有限子覆盖，则称此集合为紧集合．因此，在不少数学分析教科书中也将有界闭区间 $[a, b]$ 称为紧区间．这样也顺便说明了读者会注意到的一个问题，即为什么我们经常称 $[a, b]$ 为有界闭区间，而不只是简单地称它为闭区间．

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