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单调函数

## 单调函数
单调函数是数学分析中除了连续函数之外的另一类重要函数（参见定义 3.5 与 $\S 3.3 .4$ ）．从 $\S 3.2 .3$ 的反函数存在定理（即定理 3．1）及其应用已经看到单调函数的重要性．在 §4．2．7 中建立了单调函数极限存在定理（即定理 4．11）．本节则在连续性的基础上介绍单调函数的几个主要性质．

## 5.3.1  单调函数的间断点
在单调函数极限存在定理（即定理 4．11）的基础上就不难得到下列定理．
定理 5.13 若单调函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 中有间断点，则只能是第一类间断点中的跳跃点．

证 设 $f$ 在 $(a, b)$ 上单调增加．（当 $f$ 单调减少时考虑函数 $-f$ 即可．）
设 $x_0 \in(a, b)$ 是 $f$ 的间断点．在区间 $\left(a, x_0\right)$ 上 $f$ 以 $f\left(x_0\right)$ 为上界，因此存在 $f\left(x_0^{-}\right) \leqslant f\left(x_0\right)$ ．同样，在区间 $\left(x_0, b\right)$ 上 $f$ 以 $f\left(x_0\right)$ 为下界，因此存在 $f\left(x_0^{+}\right) \geqslant f\left(x_0\right)$ ．

合并以上就得到

$$
f\left(x_0^{-}\right) \leqslant f\left(x_0\right) \leqslant f\left(x_0^{+}\right)
$$

由于 $x_0$ 是 $f$ 的间断点，因此以上两个 $\leqslant$ 不会同时成为等号，从而 $x_0$ 必是第一类间断点，而且是跳跃点．

> 定理 5.14 单调函数的间断点至多为可列个．

证 只对于 $f$ 为单调增加情况写出证明．若 $f$ 单调减少，则可考虑 $-f$ ．
证明的基本思想是观察单调函数的值域有什么特性．可以画出 $f$ 的图形，然后关心其图形在 $y$ 轴上的投影，从而在 $y$ 轴上得到函数值域的几何表示（参见图 5．7）．

设 $f$ 在 $(a, b)$ 上单调增加，$x_0 \in$ $(a, b)$ 是 $f$ 的一个间断点．在定理 5.13的证明中已经建立了不等式

$$
f\left(x_0^{-}\right) \leqslant f\left(x_0\right) \leqslant f\left(x_0^{+}\right)
$$

且成立严格不等式 $f\left(x_0^{-}\right)<f\left(x_0^{+}\right)$。不妨称 $\left(f\left(x_0^{-}\right), f\left(x_0^{+}\right)\right)$为跳跃区间。

任取 $x \in\left(a, x_0\right)$ ，即有 $a<x<x_0$ 。在 $x$ 与 $x_0$ 之间插入一个 $t$ ，即有

![图片](/uploads/2025-02/ac05f0.jpg)

$$
a<x<t<x_0
$$

从 $f$ 单调增加知道有不等式

$$
f(x) \leqslant f(t) \leqslant f\left(x_0\right)
$$

固定 $x$ 与 $x_0$ ，并令 $t \rightarrow x_0^{-}$，则就成立

$$
f(x) \leqslant f\left(x_0^{-}\right) \leqslant f\left(x_0\right)
$$

同样可以证明只要 $x_0<x<b$ 就成立

$$
f\left(x_0\right) \leqslant f\left(x_0^{+}\right) \leqslant f(x)
$$

这样我们就证明了跳跃区间 $\left(f\left(x_0^{-}\right), f\left(x_0^{+}\right)\right)$与 $f$ 的值域 $R (f)=f((a, b))$ 或者不相交，或者只有惟一的公共点 $f\left(x_0\right)$ 。由此得到一个重要结论：单调函数的每个间断点对应的跳跃区间彼此不相交．

在每个跳跃区间中取一个有理数。由于这些区间彼此不相交，因此所得的有理数一定互不相同。于是跳跃区间就与有理数集 $Q$ 的一个子集一一对应。由于可列集的子集至多可列，因此定理的结论为真．
注 1 在第三章的例题 3.6 中的取最大整数函数 $y=[x]$ 就是有可列个间断点的单调增加函数的例子（参看图 3．7）．在有界区间上类似的例子也存在，请读者自己举一个例子。

注 2 从 Dirichlet 函数处处不连续可知，函数可以有不可列个间断点（参见例题 5．6）．Riemann 函数有可列个间断点，但它不是单调函数（参见例题 5．9）．

5．3．2 单调函数的值域性质
下一个定理为检验单调函数是否连续提供了非常实用的准则．
定理 5.15 若 $f$ 为区间 $I$ 上的单调函数，则有

$$
f \in C(I) \Longleftrightarrow R (f) \text { 是区间. }
$$

证 必要性（ $\Longrightarrow$ ）．用连续函数的介值定理（即定理 5．6）即得．
充分性 $(\Longleftarrow)$ ．只需讨论 $f$ 为单调增加的情况，若 $f$ 单调减少可讨论 $-f$ ．
用反证法．若 $f$ 有间断点 $x_0$ ，则当 $x_0$ 是区间 $I$ 的内点时，从定理 5.13 的证明中知道有

$$
f\left(x_0^{-}\right)<f\left(x_0^{+}\right),
$$

而从定理 5.14 的证明中又知道 $f$ 的值域与开区间 $\left(f\left(x_0^{-}\right), f\left(x_0^{+}\right)\right)$最多只有一个公共点 $f\left(x_0\right)$ ．这样就有

$$
R (f) \cap\left(-\infty, f\left(x_0^{-}\right)\right] \neq \varnothing, \quad R (f) \cap\left[f\left(x_0^{+}\right),+\infty\right) \neq \varnothing
$$

可见值域 $R (f)=f(I)$ 不是区间，从而引出矛盾．
对于区间 $I$ 有端点且该端点为间断点的情况，证明更为简单．例如，设 $f$ 在区间 $I$ 上单调增加，$I$ 有左端点 $a$ ，且 $f$ 在点 $a$ 不连续，则因 $f$ 以 $f(a)$ 为下界，因此存在 $f\left(a^{+}\right) \neq f(a)$ 。这时

$$
f(a)<f\left(a^{+}\right) \leqslant f(x) \forall a<x \in I
$$

因此值域

$$
f(I)= R (f) \subset\{f(a)\} \cup\left[f\left(a^{+}\right),+\infty\right),
$$

可见 $f(I)$ 不是区间．

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