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反函数的连续性定理

## 5.3.3 反函数的连续性定理
这里先简要地回顾第三章的 $\S 3.1$ 中的有关概念．
一般而言，设有映射 $f: X \rightarrow Y$ ，且有 $X= D (f), Y= R (f)$ ，则当 $f$ 为从 $X$到 $Y$ 的单射时，对于每一个 $y \in Y$ ，存在惟一的 $x \in X$ 与之对应，因此就生成了从 $Y$ 到 $X$ 的一个映射，称为 $f$ 的逆映射。记为 $f^{-1}: Y \rightarrow X$ ，即以 $Y$ 为定义域，以 $X$为值域。（但要注意记号 $f^{-1}$ 有时可能是指 $\frac{1}{f}$ ，这需要从上下文来区别它们．）

此外，还有两个恒等式

$$
f\left(f^{-1}(y)\right)=y \forall y \in R (f)
$$

与

$$
x=f^{-1}(f(x)) \forall x \in D (f) .
$$

这也可以表达为

$$
f \circ f^{-1}=id
$$

和

$$
f^{-1} \circ f=id
$$

其中 id 表示恒等映射（identity mapping）．当然上面两个恒等映射的定义域是不一样的。

在上述概念的基础上，在 $\S 3.2 .3$ 中的定理 3.1 解决了反函数的存在问题．本小节则讨论反函数的连续性问题．

定理 5.16 （**严格单调连续函数的反函数存在定理**）设 $f$ 是区间 $I$ 上的严格单调连续函数，则值域 $J= R (f)$ 是区间，反函数 $f^{-1}$ 是区间 $J$ 上的严格单调连续函数，且与 $f$ 具有相同的单调性．

证 只写出单调增加情况的证明．
从连续函数的介值定理知道 $J$ 是区间．用定理 3．1，从 $f$ 的严格单调增加可知 $f$ 是从定义域 $I$ 到其值域 $J$ 的单射，因此存在反函数 $f^{-1}$ ，

$$
D \left(f^{-1}\right)=J, \quad R \left(f^{-1}\right)=I
$$

而且 $f^{-1}$ 也是严格单调增加的．
由于 $f^{-1}$ 的定义域 $J$ 和值域 $I$ 都是区间，从定理 5.15 就知道 $f^{-1}$ 连续．
用这个定理可以从三角函数的连续性直接推出反三角函数的连续性（为此需要参见例题 3．1－3．4 中关于前 4 个反三角函数的定义方法）．

下一个例子在函数连续的前提下，将极值的存在问题与严格单调性联系起来。
例题 5.19 设函数 $f \in C(I)$ ，则 $f$ 在 $I$ 上为严格单调的充分必要条件是 $f$ 在 $I$ 中没有极值点。

证 必要性 $(\Longrightarrow)$ 。用反证法．若存在 $I$ 的内点 $x_0$ 为 $f$ 的极值点，则对于充分邻近该点的 $x_1<x_0<x_2$ ，就有 $f\left(x_1\right), f\left(x_2\right) \leqslant f\left(x_0\right)$ 或 $f\left(x_1\right), f\left(x_2\right) \geqslant f\left(x_0\right)$ 成立．这都与 $f$ 的严格单调性不相容．

充分性 $(\Longleftarrow)$ 。任取点 $a, b \in I, a<b$ 。
设有 $f(a)=f(b)$ ，则或者 $f$ 于 $[a, b]$ 上为常值函数，于是 $(a, b)$ 中处处为 $f$ 的极值点，或者 $f$ 在 $[a, b]$ 的最大值点和最小值点中至少有一个是极值点．这都与 $f$在 $I$ 上没有极值点的条件矛盾。

设 $f(a)<f(b)$ ，这时可以如下证明 $f$ 于 $I$ 上严格单调增加．
任取第三点 $c$ ．按照点 $c$ 与点 $a, b$ 的关系分三种情况讨论．
从连续函数的最值定理，即定理 5．9，若 $c<a<b$ ，则只能有 $f(c)<f(a)<$ $f(b)$ ，否则从 $f(c)=f(a)$ 或 $f(c)>f(a)$ 都会导致在 $(c, b)$ 中有 $f$ 的极值点．同样可知，若 $a<c<b$ ，则只能有 $f(a)<f(c)<f(b)$ ，否则 $f$ 在 $(a, b)$ 中有极值点．又同样可知若 $a<b<c$ ，则只能有 $f(a)<f(b)<f(c)$ ，否则 $f$ 在 $(a, c)$ 中有极值点．

于是 $a, b, c$ 三个点不论它们之间的顺序如何，若重记为 $x_1<x_2<x_3$ ，就满足不等式

$$
f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)<f\left(x_3\right)
$$

再加入第 4 个点，用同样的方法可以证明，不论这个点与 $x_1, x_2, x_3$ 的位置关系如何，若将它们重记为 $x_1<x_2<x_3<x_4$ ，则一定满足不等式

$$
f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)<f\left(x_3\right)<f\left(x_4\right) .
$$

现在任取 $x, y \in I, x<y$ ．若 $x=a, y=b$ ，则已经有 $f(x)<f(y)$ ；若 $x, y$ 有一个与 $a$ 或 $b$ 重合，则从（5．9）得到 $f(x)<f(y)$ ；若 $x, y$ 与 $a, b$ 全不相同，则可以从 （5．10）得到 $f(x)<f(y)$ ．这就证明了 $f$ 在 $I$ 上严格单调增加．

对于 $f(a)>f(b)$ 的情况可以用相同方法讨论，或者将上述讨论用于 $-f$ ，证明 $f$ 在 $I$ 上严格单调减少．

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